mechanika statika dynamika

Prezentace na téma: "mechanika statika dynamika"— Transkript prezentace:

1 mechanika statika dynamika
Dynamika I, 1. přednáška Předmět Dynamika je součástí většího předmětu Mechanika. I samotný předmět Mechanika můžeme chápat v širším rámci a dělit jej na mechaniku vnějších sil (statika a dynamika) a mechaniku vnitřních sil (pružnost a pevnost). mechanika statika dynamika Statika se zabývá působením sil na tělesa, která jsou v klidu. Dynamika se zabývá působením sil na pohybující se tělesa. Zabývá se vztahem mezi silami a pohybem.

2 Základy mechaniky položil Isaac Newton (1642-1727)
Dynamika I, 1. přednáška Základy mechaniky položil Isaac Newton ( ) ve svém díle „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687). Lze je shrnout do čtyř tzv. Newtonových zákonů. 1. Newtonův zákon - zákon setrvačnosti. Těleso zůstává v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, jestliže není přinuceno vnějšími silami tento svůj stav změnit. 2. Newtonův zákon - zákon síly. Působí-li na těleso vnější síla, je změna rychlosti tělesa přímo úměrná této působící síle, přičemž konstantou úměrnosti je hmotnost tělesa. Tento zákon obvykle vyjadřujeme ve formě rovnice : tedy hmotnost · zrychlení = síla 3. Newtonův zákon - zákon akce a reakce. Dvě tělesa, která jsou ve vzájemném kontaktu, na sebe působí silami stejně velkými, opačně orientovanými.

3 a nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi oběma tělesy.
Dynamika I, 1. přednáška Newtonův gravitační zákon. Dvě tělesa se navzájem přitahují silou, přímo úměrnou hmotnosti obou těles a nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi oběma tělesy. V matematické podobě pak : k = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta, m1 - hmotnost jednoho tělesa, m2 - hmotnost druhého tělesa, r - vzdálenost mezi tělesy. Na povrchu Země pak je : m1 = 5,98·1024 kg - hmotnost Země, r = km - poloměr Země. Přitažlivá (tíhová) síla pak je : kde g je gravitační zrychlení :

4 V dynamice se budeme zabývat pohybem tří základních typů objektů.
Dynamika I, 1. přednáška V dynamice se budeme zabývat pohybem tří základních typů objektů. Bod - je objekt, jenž nemá žádné rozměry . Je zřejmé, že tento pojem je pojmem abstraktním. Žádné reálně těleso nemůže být skutečně bodem. Přesto je tato abstrakce užitečná a mnoho případů pohybu reálného tělesa lze se zanedbatelnou chybou zredukovat na pohyb hmotného bodu. Těleso - je objekt nezanedbatelných rozměrů, nedeformovatelný. V mechanice zavádíme předpoklad absolutně tuhého tělesa. To znamená, že deformace tělesa vlivem působících sil je zanedbatelná. Dynamika poddajných těles (jejichž deformace není zanedbatelná) přesahuje rozsah tohoto učebního textu. Soustava těles - je objekt, složený z několika těles, jejichž vzájemná poloha se může měnit. Soustavu těles nazýváme mechanismem.

5 dynamika kinematika dynamika
Dynamika I, 1. přednáška Zabývá-li se dynamika vztahem mezi pohybem a silami, pak je účelné zkoumat nejprve samotné zákonitosti pohybu a teprve pak se ptát na závislost na silách. dynamika kinematika dynamika jen pohyb pohyb a síly Kinematika se zabývá zákonitostmi pohyb. Vztahem mezi základními kinematickými veličinami, t.j. časem, dráhou, rychlostí a zrychlením. Dynamika se zabývá vztahem mezi základními veličinami dynamiky, t.j. hmotou, pohybem a silami.

6 Kinematika - nauka o pohybu
Dynamika I, 1. přednáška Kinematika - nauka o pohybu Kinematika se zabývá popisem a vyšetřováním pohybu bodu, tělesa nebo soustavy těles. Pohybem rozumíme změnu polohy v čase. Polohou je míněna poloha v prostoru, ve kterém se bod nebo těleso nachází. Prostor je spojitý (bod může v prostoru zaujmout jakoukoliv polohu). Trojrozměrný prostor - směr dopředu-dozadu, doprava-doleva, nahoru-dolů. Dvourozměrný prostor - rovina, obecně však jakákoliv plocha. Jednorozměrný prostor - křivka, ve zvláštním případě přímka. V trojrozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně určena třemi souřadnicemi. Ve dvourozměrném prostoru je poloha bodu určena dvěma souřadnicemi. V jednorozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně dána jedinou souřadnicí. Čas je jednorozměrná, spojitá, skalární veličina, jeho změna je nezávislá, plyne rovnoměrně vždy dopředu a je absolutní, tedy pro všechna tělesa a pro všechny pozorovatele společný.

7 Stupeň volnosti je možný nezávislý pohyb.
Dynamika I, 1. přednáška Jedním ze základních pojmů kinematiky a mechaniky je stupeň volnosti. Pohyblivost jakéhokoliv objektu je dána počtem stupňů volnosti. Stupeň volnosti je možný nezávislý pohyb. z y x „Možný pohyb“ - není důležité, zda pohyb skutečně nastane. Důležité je, že může nastat (nic mu nebrání). Hmotný bod padá volným pádem v prostoru. Padá svisle dolů. Ale mohl by se pohybovat i ve dvou vodorovných směrech (třeba kdyby zafoukal vítr). Může tedy vykonávat tři pohyby, má tři stupně volnosti. „Nezávislý pohyb“ - mezi dvěma pohyby, jež představují dva stupně volnosti, nesmí platit žádný explicitní vztah, daný vnějšími okolnostmi. x Hmotný bod je vázán ke kruhové trajektorii. Vykonává pohyb ve dvou směrech - x a y. Pohyb v jednom směru (např. y) však je určen pohybem v jiném směru (x). Jen jeden z těchto pohybů je nezávislý, bod má jeden stupeň volnosti. y

8 Může se pohybovat pouze daným směrem.
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Hmotný bod, jehož pohyb je pevně vázaný na danou křivku (dráhu, trajektorii), má 1º volnosti. Může se pohybovat pouze daným směrem. Například pohyb vlaku je vázán k dané trajektorii - ke kolejím. Navlékneme-li korálek na drát, bude jeho pohyb vázán k dané trajektorii.

9 je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti Hmotný bod, jenž se může pohybovat v rovině nezávisle ve dvou směrech, má 2º volnosti. Rugbyový míč, vržený hráčem, se pohybuje nezávisle ve směru vodorovném a svislém. Rovinnost plochy, k níž je vázán pohyb bodu, není nutnou podmínkou. Turista, toulající se po horách, mění svou polohu ve třech směrech. Jeho nadmořská výška však není nezávislá, závisí na jeho geografických souřadnicích. Má tedy 2º volnosti.

10 je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti Hmotný bod, jenž se může pohybovat v prostoru nezávisle ve třech směrech, má 3º volnosti. Zafouká-li boční vítr, rugbyový míč se vychýlí z roviny, v níž byl vržen. Bude nezávisle měnit svou polohu jak ve svislém směru (nahoru a dolů), tak ve dvou vodorovných směrech (dopředu a do strany). Poloha letadla, sledovaného střediskem letového provozu, je dána dvěma geografickými souřadnicemi a nadmořskou výškou. Má 3º volnosti.

11 Těleso, konající rovinný pohyb, se může pohybovat nezávisle
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Těleso, konající rovinný pohyb, se může pohybovat nezávisle ve dvou směrech a může se otáčet. Má 3º volnosti. Lodička na hladině může plout dopředu a do stran a může se otáčet. y pohyb ve směru osy y pohyb ve směru osy x x rotace okolo osy z z všechny pohyby současně

12 Koule se pohybuje vodorovně kupředu
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Koule se pohybuje vodorovně kupředu a současně se otáčí (nezávisle na dopředném pohybu). Svislý pohyb je znemožněn vazbou. Má tedy 2º volnosti. je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti

13 Mince se valí bez prokluzu po vodorovné podložce.
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Mince se valí bez prokluzu po vodorovné podložce. Svislý pohyb je znemožněn vazbou. Mince se pohybuje vodorovně kupředu a současně se otáčí. Tyto pohyby však nejsou nezávislé (protože nedochází k prokluzu). Otočí-li se mince jednou dokola (o 360º), posune se kupředu o dráhu přesně rovnou obvodu mince. Jen jeden z obou pohybů je nezávislý - mince má 1º volnosti. je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti

14 Těleso volné v prostoru se může pohybovat ve třech směrech a může se
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Těleso volné v prostoru se může pohybovat ve třech směrech a může se otáčet okolo tří os. Má 6 º volnosti. Například helikoptéra při letu nebo družice na oběžné dráze. je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti

15 kolik stupňů volnosti objekt má.
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1 souřadnice dráha s v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) 2 souřadnice x, y 3 souřadnice a úhel natočení f v prostoru (3 rozměrný prostor) x, y, z 6 souřadnic x, y, z a tři úhly natočení, např. a, b, g Okamžitá poloha objektu je jednoznačně určena tolika nezávislými souřadnicemi, kolik stupňů volnosti objekt má. Objekt má tolik stupňů volnosti, kolik nezávislých souřadnic je zapotřebí k jednoznačnému určení jeho polohy.

16 Pohyb bodu Dynamika I, 1. přednáška
Pohyb bodu po dané dráze - základní kinematické veličiny. čas značíme t z anglického slova time základní jednotkou je [s] {sekunda} dalšími jednotkami jsou [min, hod, ...] {minuta, hodina, ...} dráha, souřadnice značíme s, x, y, ... základní jednotkou je [m] {metr} dalšími jednotkami jsou [cm, km, ...] {centimetr, kilometr, ...} rychlost značíme v z anglického slova velocity základní jednotkou je [m/s, m·s-1] {metr za sekundu} dalšími jednotkami jsou [km/hod] {kilometr za hodinu} zrychlení značíme a z anglického slova acceleration základní jednotkou je [m/s2, m·s-2] {metr za sekundu na druhou}

17 Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.
Dynamika I, 1. přednáška Veličiny čas a dráha nebudeme explicitně definovat, spolehneme se na intuitivní chápání jejich významu. Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. Tuto rychlost nazveme střední rychlostí nebo průměrnou rychlostí. Okamžitá rychlost - nekonečně malá změna dráhy za nekonečně malý přírůstek času. Tuto limitu definuje matematika jako derivaci. Okamžitá rychlost je derivace dráhy podle času.

18 Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.
Dynamika I, 1. přednáška Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. s Rychlost může být kladná (vzdálenost od počátku se zvětšuje).

19 Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.
Dynamika I, 1. přednáška Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. s Rychlost může být i záporná (vzdálenost od počátku se zmenšuje).

20 Dynamika I, 1. přednáška Abychom snadno rozlišovali kladnou a zápornou rychlost, zavádíme pojem orientovaná souřadnice. Kladná rychlost v znamená nárůst dráhy (souřadnice), proto je kladná rychlost orientována vždy ve směru nárůstu příslušné souřadnice.

21 Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za čas.
Dynamika I, 1. přednáška Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za čas. Zrychlení je zrychlení průměrné neboli střední. Okamžité zrychlení je derivace rychlosti podle času.

22 Dynamika I, 1. přednáška zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za přírůstek času zrychlení je derivace rychlosti podle času zrychlení je druhá derivace dráhy podle času zrychlení je rovno rychlosti, násobené derivací rychlosti podle dráhy zrychlení je rovno jedné polovině derivace kvadrátu rychlosti podle dráhy

23 Dynamika I, 1. přednáška Kladné zrychlení je orientováno stejně, jako kladná rychlost, tedy ve směru nárůstu souřadnice. Úplné kinematické řešení.

24 Dynamika I, 1. přednáška Shrnutí

25 Dynamika I, 1. přednáška A) pohyb rovnoměrný : je takový pohyb, jehož rychlost je konstantní v = konst. rychlost je konstantní, její změna (derivace) je nulová s - okamžitá dráha s0 - počáteční dráha (v závislosti na volbě souřadného systému může být nulová) t - okamžitý čas t0 - počáteční čas - obvykle volíme t0=0

26 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky t = v = v0

27 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem řešení určitým integrálem integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky

28 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky t = s = s0

29 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem řešení určitým integrálem integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky

30 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. alternativní řešení diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem integrační konstantu C určíme z počátečních podmínek t = s = s0, v = v0

31 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. alternativní řešení diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem řešení určitým integrálem integrační konstantu C určíme z počátečních podmínek

32 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. shrnutí

33 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. Špičkové sportovní auto zrychluje z klidu na rychlost v = 100 km/hod (27,8 m/s) za čas t = 5 s. Jeho zrychlení tedy je a = 5,6 m/s2. Dráha rozjezdu pak je s = 70 m.

34 Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se harmonicky mění.
Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se harmonicky mění. f v r y y T r f T w t amplituda [m] kruhová frekvence [s-1] frekvence [Hz] perioda [s] počáteční úhel f, fázový posuv [-]

35 Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se harmonicky mění.
Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se harmonicky mění. f v r y y T r f T w t amplituda [m] max. rychlost [m/s] max. zrychlení [m/s2]

36 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a Pro jednoduchost provedeme řešení s nulovými počátečními podmínkami.

37 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a Pro čas, narůstající nade všechny meze, se průběh blíží ustálené hodnotě :

38 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a V ustáleném stavu se rychlost již nebude měnit, bude konstantní (v = vustálená = konst). Zrychlení tedy bude nulové.

39 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a časová konstanta [s]

40 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a separace proměnných

41 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. m G y k = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta, M = 5,98·1024 kg - hmotnost Země, R = km - poloměr Země. Země R na povrchu Země (y=0) :

42 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. v, a m G y Země R

43 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. v, a m G y v0 Země R

44 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. v, a m G y v0 Země R