Přednáška 2.

Prezentace na téma: "Přednáška 2."— Transkript prezentace:

1 Přednáška 2

2 Laueho difrakční funkce:
kde Absolutní hodnota prvních dvou součinitelů je rovna jedné. Nás zajímá intenzita t.j. druhá mocnina tohoto výrazu: Funkce má maxima v bodech pro které platí:

3 ... zelená ... žlutá ... červená

4 ... zelená ... žlutá ... červená

5 ... zelená ... žlutá ... červená

6 ... zelená ... žlutá ... červená

7 Hlavní maxima v bodech:
Vyjádříme-li difrakční vektor v duální (reciproké bázi): i,j,k cyklicky změní se podmínka pro hlavní maxima na podmínku, že difrakční vektor musí být celočíselnou kombinací vektorů reciproké báze. Množina všech difrakčních vektorů pak tvoří pravidelnou mříž v tomto prostoru.

8 Každému bodu reciproké mřížky tedy připadá jeden možný difrakční bod
Každému bodu reciproké mřížky tedy připadá jeden možný difrakční bod. Difrakční intenzitu obvykle znázorňujeme kolečkem mající velikost či barvu v jisté relaci s intenzitou difraktovaného záření. Pak se můžeme snažit najít z takovýchto schemat první odhad symetrie reciproké mřížky.

9 Polohy atomů vyjadřujeme většinou vzhledem k základní buňce
Polohy atomů vyjadřujeme většinou vzhledem k základní buňce. Při tomto popisu snadno generujeme polohy translačně združených atomů. Co se stane zvolíme-li trojici vektorů báze jiným, ale ekvivalentním způsobem? Uvažujeme pouze takové transformace, které nemění základní translační symetrii. Maticově: Konvence: vektory přímé mříže a difrakční indexy píšeme jako řádky, naopak vektory reciproké a frakční souřadnice jako sloupcové vektrory.

10 Pro praktické zadávání matic je tato konvence trochu nehodná
Pro praktické zadávání matic je tato konvence trochu nehodná. Proto v našem programu Jana2006 píšeme jednotlivé výrazy pro transformace:

11 Všechny prvky matice musejí být celá čísla a determinant musí být proto celočíselný. To však musí platit i pro inverzní transformaci: a tedy determinat matice musí být roven +1. Záporný determinat -1 je nepřípustný, protože by měnil systém původně pravotočivý za levotočivý. To však vede i novým frakčním souřadnicím: To znamená, že frakční souřadnice se transformují inverzní maticí. Avšak frakční souřadnice jsou vyjádřeny sloupkovým vektorem a násobí se zleva:

12 Jak se změní reciproké vektory? Vyjdeme z definice:
To tedy znamená, že reciproké vektory se transformují stejně jako frakční souřadnice. Podobně lze ukázat, že souřadnice v reciprokém prostoru se transformují stejně jako vektory přímé báze. Domácí ůkol číslo 1.

13 Jak počítat geometrické charakteristiky struktury z frakčních souřadnic?
Převést frakční souřadnice do kartézských. Obvykle volíme kartézské souřadnice tak, aby kde Domácí úkol č.2 - Pokusit se odvodit trojúhelníkovou matici Použít metrický tensor: Vzdálenost je odmocnina ze skalárního součinu rozdílového vektoru se sebou samým:

14 Metrický tenzor: Vztah mezi metrickým tenzorem a transformační maticí:

15  existence třídimenzionální mříže definované vektory báze:
Operace symetrie Základní vlastnost třídimenzionálního krystalu – translační symetrie:  existence třídimenzionální mříže definované vektory báze: Jakákoliv jiná kombinace, která nemění objem základní buňky definuje tutéž mřížku. Pro identifikaci je nutná zavést jistou konvenci  redukovaná jinak Niggliho buňka Takové mřížkové parametry pak mohou sloužit jako základní identifikační znak

16 Podmínky, které musí splnit redukovaná buňka:
Eisenstain G. (1851). J.Math., 41, Gruber B. (1989). ActaCryst., A45, Křivý I. & Gruber B. (1976). ActaCryst., A32, Definice: Podmínka 1: Podmínka 2: jestliže pak Podmínka 3: jestliže pak Podmínka 4: buď platí nebo Podmínka 5: Podmínka 6:

17 Translační symetrie → rotační symetrie ?

18 Definice operace symetrie
   základní vlastnost unitární operace maticová reprezentace Množina všech operací symetrie krystalu – prostorová grupa. Zvláštní postavení má podmnožina (podgrupa) všech translací - Tato podgrupa translací je tak zvanou normální podgrupou prostorové grupy: kde je libovolný prvek prostorové grupy

19 Faktorová grupa založená na normální podgrupě:
S5T S2T S1T T S4T S3T Levé třídy (kosety) pak mohou být chápany jako prvky nové, konečné groupy. K popisu pak stačí vzít z každé třídy jednoho zástupce.

20 Omezení možných rotačních částí operací symetrie krystalu
Každou operaci symetrie lze vyjádřit v maticové formě: Toto vyjádření závisí na konkrétně použité bázi. Nejvýznamější je jednak vyjádření vzhledem k základním vektorům mříže a dále pak vyjádření vůči kartezskému systému.

21 Matice symetrie při přechodu z jedné báze do druhé se mění dle vztahu:
Kde matice transformace je definována jako vztah vektorů bází: Skutečnost, že operace symetrie má zachovávat vzdálenost, znamená, že musí být vlastní či nevlastní rotací a že lze tedy najít kartezský souřadný systém, ve bude mít tvar:

22 Na druhou stranu maticový tvar vyjádřený vzhledem k bázi definované vektrory mříže musí být celočíselná, aby byla v souladu s translační symetrií. Dva základní invariaty (determinant a stopa matice) operací symetrie nám pomohou při identifikaci a omezení možných rotací slučitelných s translační symetrií: Determinant: Stopa matice:

23 Z předchozího plyne: To znamená, že jsou přípustné jen n-četné rotační osy pro n=1,2,3,4 a 6 případně jejich kombinace s prostorovou inverzí. Tyto dva invarianty mohou také sloužit ke snadné identifikaci operací symetrie Příklad – dojčetná osa Monoklinní - monoklinní podél b

24 tetragonální hexagonální hexagonální

25 Omezení trnaslačních částí operace symetie
kde n je řád operace to znamená: ale to tedy musí být prvek translační podgrupy a proto: Toto je podmínka, která omezuje přípustné translační vektory. Neurčuje je však úplně jednoznačně. Části závislé na volbě počátku zůstavají volné.

26 Operátor: je projekčním operátorem:

27 Důkaz: Operátor X promítá libovolný vektor do invariantního podprostoru daného operace symetrie: To umožňuje rozdělit translační část operátoru symetrie do dvou částí: Ta první část - „intrinsic“ vlastní – nezávisí na volbě počátku a má fyzikální interpretaci – určuje podmínky vyhasínání reflexí.

28 Příklady a) dvojčetná osa podél osy a3, primitivní buňka Aplikace předchozího vztahu: Z toho vyplývá, že dvojčetná osa existuje buď sama o sobě nebo jako dvojčetná šroubová osa.

29 Aplikace předchozího vztahu:
Pro rovinu symetrie máme tedy tyto možnosti: obyčejná rovina kluzná rovina - a kluzná rovina - b kluzná rovina - n