Největší společný dělitel

Prezentace na téma: "Největší společný dělitel"— Transkript prezentace:

1 Největší společný dělitel
Eva Bomerová,

2 Vyřešte úlohy 1. V květinářství měli 186 bílých a 42 růžových růží. Jaký největší počet stejných kytic z nich mohou připravit? Kolik růžových a kolik bílých růží bude v jedné kytici? 2. Pozemek je 186 m dlouhý a 42 metrů široký. Jaká vzdálenost musí být mezi tyčemi plotu, má-li být v celých metrech a co největší? Kolik tyčí budeme potřebovat? 3. Truhlář chce nařezat z obdélníkové dřevěné desky o rozměrech 186 cm a 42 cm co největší čtverce tak, aby neplýtval a neměl žádný odpad. Jaká bude délka strany čtverce a kolik jich z desky nařeže?

3 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)

4 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Dělitelé čísla 186 jsou: 1, 2, 3, 6, 31, 62, 93,186

5 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Dělitelé čísla 186 jsou: 1, 2, 3, 6, 31, 62, 93,186 1 x 186 2 x x93 3 x x62 6 x x31

6 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Dělitelé čísla 186 jsou: 1, 2, 3, 6, 31, 62, 93,186 1 x 186 2 x x93 3 x x62 6 x x31 Dělitelé čísla 42 jsou: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

7 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Dělitelé čísla 186 jsou: 1, 2, 3, 6, 31, 62, 93,186 1 x 186 2 x x93 3 x x62 6 x x31 Dělitelé čísla 42 jsou: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 1 x 42 2 x 21 3 x 14 6 x x7

8 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Dělitelé čísla 186 jsou: 1, 2, 3, 6, 31, 62, 93,186 1 x 186 2 x x93 3 x x62 6 x x31 Dělitelé čísla 42 jsou: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 1 x 42 2 x 21 3 x 14 6 x x7 Společní dělitelé čísel 186 a 42 jsou tedy: 1, 2, 3, 6

9 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Dělitelé čísla 186 jsou: 1, 2, 3, 6, 31, 62, 93,186 1 x 186 2 x x93 3 x x62 6 x x31 Dělitelé čísla 42 jsou: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 1 x 42 2 x 21 3 x 14 6 x x7 Společní dělitelé čísel 186 a 42 jsou tedy: 1, 2, 3, 6 Největší společný dělitel čísel 186 a 42 je tedy: 6

10 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)

11 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky

12 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 186

13 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 144 42 42 186

14 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 144 42 42 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

15 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 102 42 42 42 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

16 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 102 42 42 42 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

17 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 60 42 42 42 42 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

18 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 60 42 42 42 42 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

19 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 18 42 42 42 42 42 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

20 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 18 42 42 42 42 42 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

21 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

22 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

23 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

24 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

25 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

26 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

27 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 6 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

28 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 6 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

29 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 6 6 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

30 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 6 6 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0

31 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 6 6 NSD 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 NSD

32 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 6 6 NSD 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 NSD

33 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 6 6 NSD 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 NSD

34 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 6 6 NSD 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 NSD

35 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 6 6 NSD 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 NSD NSD

36 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 6 6 NSD 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky Rozklad na součin prvočísel = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 NSD NSD

37 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 6 6 NSD 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky Rozklad na součin prvočísel = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 186 x93 x31 xx1 x2 x3 31 NSD NSD

38 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 6 6 NSD 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky Rozklad na součin prvočísel : = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 186 x93 x31 xx1 x2 x3 31 = NSD NSD

39 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 144 42 42 42 42 18 18 42 18 6 6 6 6 186 Euklidův algoritmus - aritmeticky Rozklad na součin prvočísel = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 186 x93 x31 xx1 x2 x3 31 NSD NSD

40 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 186 42 18 6 144 Euklidův algoritmus - aritmeticky Rozklad na součin prvočísel = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 186 x93 x31 xx1 x2 x3 31 NSD NSD

41 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 186 42 18 6 144 Euklidův algoritmus - aritmeticky Rozklad na součin prvočísel = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 186 x93 x31 xx1 x2 x3 31 x42 x21 xx7 xx1 x2 x3 x7 NSD NSD

42 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 186 42 18 6 144 Euklidův algoritmus - aritmeticky Rozklad na součin prvočísel = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 186 x93 x31 xx1 x2 x3 31 x42 x21 xx7 xx1 x2 x3 x7 186 = 2 · 3 · 31 NSD NSD

43 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 186 42 18 6 144 Euklidův algoritmus - aritmeticky Rozklad na součin prvočísel = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 186 x93 x31 xx1 x2 x3 31 x42 x21 xx7 xx1 x2 x3 x7 186 = 2 · 3 · 31 42 = 2 · 3 · 7 NSD NSD

44 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 186 42 18 6 144 Euklidův algoritmus - aritmeticky Rozklad na součin prvočísel = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 186 x93 x31 xx1 x2 x3 31 x42 x21 xx7 xx1 x2 x3 x7 186 = 2 · 3 · 31 42 = 2 · 3 · 7 NSD NSD

45 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 186 42 18 6 144 Euklidův algoritmus - aritmeticky Rozklad na součin prvočísel = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 186 x93 x31 xx1 x2 x3 31 x42 x21 xx7 xx1 x2 x3 x7 186 = 2 · 3 · 31 42 = 2 · 3 · 7 NSD NSD

46 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 186 42 18 6 144 Euklidův algoritmus - aritmeticky Rozklad na součin prvočísel = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 186 x93 x31 xx1 x2 x3 31 x42 x21 xx7 xx1 x2 x3 x7 186 = 2 · 3 · 31 42 = 2 · 3 · 7 NSD NSD

47 Největší společný dělitel čísel 186 a 42, NSD(186,42)
Euklidův algoritmus - geometricky 186 42 18 6 144 Euklidův algoritmus - aritmeticky Rozklad na součin prvočísel = 144 = 102 = x60 = x18 x = x24 x = xx6 x = x12 x = xx6 xx6 - 6 = xx0 186 : 42 = 4 x18 x 42 : 18 = 2 x6 x18 : 6 = 3 xx0 186 x93 x31 xx1 x2 x3 31 x42 x21 xx7 xx1 x2 x3 x7 186 = 2 · 3 · 31 42 = 2 · 3 · 7 NSD NSD NSD

48

49 Eukleidés též Euklides nebo Euklid (řecky Εὐκλείδης), žil asi 325 př. n. l. – asi 260 př. n. l. Byl to řecký matematik a geometr. Většinu života strávil v Alexandrii v Egyptě. Zdroj textu:

50 Eukleidés též Euklides nebo Euklid (řecky Εὐκλείδης), žil asi 325 př. n. l. – asi 260 př. n. l. Byl to řecký matematik a geometr. Většinu života strávil v Alexandrii v Egyptě. Euklidův algoritmus (též Eukleidův) je algoritmus, kterým lze určit největšího společného dělitele dvou přirozených čísel, tedy největší číslo takové, že beze zbytku dělí obě čísla. Zdroj textu:

51 Eukleidés též Euklides nebo Euklid (řecky Εὐκλείδης), žil asi 325 př. n. l. – asi 260 př. n. l. Byl to řecký matematik a geometr. Většinu života strávil v Alexandrii v Egyptě. Euklidův algoritmus (též Eukleidův) je algoritmus, kterým lze určit největšího společného dělitele dvou přirozených čísel, tedy největší číslo takové, že beze zbytku dělí obě čísla. Euklidův algoritmus je pojmenován podle starověkého filozofa Eukleida, který jej uvedl ve svém díle Základy (cca 300 př.n.l.), přestože tento postup zřejmě sám nevynalezl. Jedná se pravděpodobně o nejstarší lidstvu známý netriviální algoritmus, takže po jistou dobu se slovem algoritmus prakticky rozuměl Euklidův algoritmus. Zdroj textu:

52 Algoritmus = přesný postup, kterým lze vyřešit daný typ úlohy
Eukleidés též Euklides nebo Euklid (řecky Εὐκλείδης), žil asi 325 př. n. l. – asi 260 př. n. l. Byl to řecký matematik a geometr. Většinu života strávil v Alexandrii v Egyptě. Euklidův algoritmus (též Eukleidův) je algoritmus, kterým lze určit největšího společného dělitele dvou přirozených čísel, tedy největší číslo takové, že beze zbytku dělí obě čísla. Euklidův algoritmus je pojmenován podle starověkého filozofa Eukleida, který jej uvedl ve svém díle Základy (cca 300 př.n.l.), přestože tento postup zřejmě sám nevynalezl. Jedná se pravděpodobně o nejstarší lidstvu známý netriviální algoritmus, takže po jistou dobu se slovem algoritmus prakticky rozuměl Euklidův algoritmus. Algoritmus = přesný postup, kterým lze vyřešit daný typ úlohy Zdroj textu:

53 Algoritmus = přesný postup, kterým lze vyřešit daný typ úlohy
Eukleidés též Euklides nebo Euklid (řecky Εὐκλείδης), žil asi 325 př. n. l. – asi 260 př. n. l. Byl to řecký matematik a geometr. Většinu života strávil v Alexandrii v Egyptě. Euklidův algoritmus (též Eukleidův) je algoritmus, kterým lze určit největšího společného dělitele dvou přirozených čísel, tedy největší číslo takové, že beze zbytku dělí obě čísla. Euklidův algoritmus je pojmenován podle starověkého filozofa Eukleida, který jej uvedl ve svém díle Základy (cca 300 př.n.l.), přestože tento postup zřejmě sám nevynalezl. Jedná se pravděpodobně o nejstarší lidstvu známý netriviální algoritmus, takže po jistou dobu se slovem algoritmus prakticky rozuměl Euklidův algoritmus. Algoritmus = přesný postup, kterým lze vyřešit daný typ úlohy Mějme dána dvě přirozená čísla, uložená v proměnných u a v (u>v). Dokud v není nulové, opakuj: Do r ulož zbytek po dělení čísla u číslem v Do u ulož v Do v ulož r Konec algoritmu, v u je uložen největší společný dělitel původních čísel. Zdroj textu:

54 Algoritmus = přesný postup, kterým lze vyřešit daný typ úlohy
Eukleidés též Euklides nebo Euklid (řecky Εὐκλείδης), žil asi 325 př. n. l. – asi 260 př. n. l. Byl to řecký matematik a geometr. Většinu života strávil v Alexandrii v Egyptě. Euklidův algoritmus (též Eukleidův) je algoritmus, kterým lze určit největšího společného dělitele dvou přirozených čísel, tedy největší číslo takové, že beze zbytku dělí obě čísla. Euklidův algoritmus je pojmenován podle starověkého filozofa Eukleida, který jej uvedl ve svém díle Základy (cca 300 př.n.l.), přestože tento postup zřejmě sám nevynalezl. Jedná se pravděpodobně o nejstarší lidstvu známý netriviální algoritmus, takže po jistou dobu se slovem algoritmus prakticky rozuměl Euklidův algoritmus. Algoritmus = přesný postup, kterým lze vyřešit daný typ úlohy Mějme dána dvě přirozená čísla, uložená v proměnných u a v (u>v). Dokud v není nulové, opakuj: Do r ulož zbytek po dělení čísla u číslem v Do u ulož v Do v ulož r Konec algoritmu, v u je uložen největší společný dělitel původních čísel. Algoritmy vznikaly už dávno před zkonstruováním prvních počítačů. Samotné slovo "algoritmus" vzniklo ze jména perského matematika, který žil v 9. století a jmenoval se Mohammed al-Khowarizmí (v latinském přepise Algoritmus). Zabýval se především pravidly pro aritmetické operace s čísly. Zdroj textu:

55 Řešení úvodních úloh

56 Řešení úvodních úloh 1. V květinářství měli 186 bílých a 42 růžových růží. Jaký největší počet stejných kytic z nich mohou připravit? Kolik růžových a kolik bílých růží bude v jedné kytici? Mohou připravit šest stejných kytic. V každé bude 31 bílých a 7 růžových růží. 2. Pozemek je 186 m dlouhý a 42 metrů široký. Jaká vzdálenost musí být mezi tyčemi plotu, má-li být v celých metrech a co největší? Kolik tyčí budeme potřebovat? Největší vzdálenost mezi tyčemi bude 6 m. Obvod pozemku je 456 m. Budou potřebovat 76 tyčí. 3. Truhlář chce nařezat z obdélníkové dřevěné desky o rozměrech 186 cm a 42 cm co největší čtverce tak, aby neplýtval a neměl žádný odpad. Jaká bude délka strany čtverce a kolik jich z desky nařeže? Může nařezat čtverce o straně 6 cm. Obsah desky je 7812 cm2, obsah čtverce 36 cm2. Z jedné desky tedy nařeže 217 čtverců.