FIIFEI-03 Elektrokinetika

Prezentace na téma: "FIIFEI-03 Elektrokinetika"— Transkript prezentace:

1 FIIFEI-03 Elektrokinetika
Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA , tel (026)

2 Hlavní body Elektrostatika II Elektrokinetika Elektrický dipól
jím vytvářené pole a jeho chování ve vnějším poli Chování dielektrik v elektrickém poli Elektrokinetika Elektrický proud Ohmův zákon, rezistance, rezistivita Přenos náboje, energie a výkonu. Sériové a paralelní zapojení rezistorů. Teplotní závislost rezistance. Termočlánek, Peltierův jev, Supravodivost.

3 Elektrický dipól I Látky mohou vytvářet nenulové elektrické pole, i když je v nich celkový náboj vykompenzován. Musí obsahovat takzvané multipóly, tedy částice (oblasti), v nich jsou těžiště kladného a záporného náboje v různých bodech. Vytvářená pole obecně nejsou centrosymetrická a mizí rychleji než pole bodového náboje.

4 Elektrický dipól II Nejjednoduším multipólem je elektrický dipól :
Skládá se ze dvou nábojů o stejné absolutní hodnotě ale různého znaménka +Q and –Q. Jejich vzájemnou polohu lze popsat vektorem Definujeme dipólový moment. Elektrické dipóly (multipóly) jsou důležité, protože jsou příčinou elektrického chování elektricky neutrální (i mikrosopicky!) hmoty.

5 Elektrický dipól III Pomocí dipólových momentů vysvětlujeme tedy základní chování nevodivých látek ve vnějším elektrickém poli. Oblasti látek (částice) mohou mít buď vlastní nebo indukovaný dipólový moment. Interakce dipólových momentů je také příčinou některých slabších ale důležitých meziatomových vazeb.

6 Chování elektrického dipólu ve vnějším poli
V homogenních elektrických polích působí na dipóly momenty síly , které se je snaží natočit do směru pole, tedy ztotožnit směr dipólového momentu se směrem vektoru elektrické intenzity (siločar). V polích nehomogenních jsou dipóly také taženy nebo posunovány.

7 Vložení vodiče do kondenzátoru I
Vložme vodivou destičku s plochou S a tloušťkou  < d do mezery mezi desky kondenzátoru S,d,0,. Vodivá destička obsahuje dostatek volných nosičů náboje, aby na svých plochách vytvořila nábojovou hustotu p stejnou, jako je hustota budící. V důsledku platnosti principu superpozice je pole uvnitř destičky přesně kompenzováno a tedy je nulové. Efektivně se mezera zmenšila na d - .

8 Test Vložení vodivé destičky s plochou S a tloušťkou  < d do mezery mezi desky kondenzátoru S,d,C, zvýší jeho kapacitu. Kam bychom měli destičku vložit, aby bylo zvýšení největší ? A) těsně k jedné z desek. B) aby byla rovinou symetrie. C) při zachování rovnoběžnosti na poloze nezáleží.

9 C: je to jedno ! Vložme destičku do vzdálenosti x od levé desky kondenzátoru. Získáváme sériovou kombinaci kondenzátorů, které mají stejnou plochu S, ale jeden má vzdálenost desek x a druhý d-x-. Tedy :

10 Vložení dielektrika do kondenzátoru I
Nabijme kondenzátor, odpojme od zdroje a měřme na něm napětí. Zaplňme nyní celou mezeru nevodivým, tzv. dielektrickým materiálem (destičkou). Pozorujeme : napětí pokleslo v poměru r = U0/U destička byla polem vtažena r nazýváme dielektrickou konstantou nebo (lépe) relativní permitivitou dielektrika. r obecně závisí na řadě veličin (T, f)!

11 Vložení dielektrika do kondenzátoru II
Co se stalo : Protože vložená destička je dielektrická nemá volné nosiče náboje, které by vytvořily nábojovou hustotu dostatečnou k úplné kompenzaci vnitřního pole. Pole ale zorientuje nebo předtím i vytvoří elektrické dipóly uvnitř dielektrika. Výsledkem je opět objevení se plošného náboje na deskách destičky. Nyní je ale plošná hustota indukovaného náboje nižší, takže dojde pouze k zeslabení pole. Nicméně se opět zvýší kapacita.

12 Vložení dielektrika do kondenzátoru III
Náboje zorientovaných dipólů se vykompenzují v celém objemu, kromě hraničních ploch. Na nich zůstává nenulová plošná nábojová hustota p < . Výsledné pole je opět superpozicí původního pole, vytvořeného původními hustotami  a pole indukovaného, vytvořeného indukovanými nábojovými hustotami p. V případě homogenní polarizace je indukovaná hustota náboje rovna p = P, což je polarizace neboli hustota dipólového momentu.

13 Vložení dielektrika do kondenzátoru IV
Vložení dielektrika je nejefektivnější způsob zvyšování kapacity. Protože se současně snižuje elektrické pole a zvyšuje mezní náboj, kterým lze kondenzátor nabít. Navíc mezní intenzita je pro většinu dielektrik větší než pro vzduch. Jsou tedy lepšími izolátory. Prohlubují potenciálovou jámu, ve které jsou volné elektrony.

14 *Hustota energie v dielektriku
V případě homogenních dielektrik lze definovat celkovou permitivitu :  = r0 a použít ji ve všech vztazích, v nichž ve vakuu vystupovala permitivita vakua. Tedy například hustotu elektrické energie v dielektriku lze psát jako : E2/2.

15 * Kondenzátor vyplněn dielektrikem částečně
Je-li možné zanedbat okrajové jevy, tedy, jsou-li příčné rozměry kondenzátoru i vloženého dielektrika zanedbatelné proti rozměrům ploch, můžeme takový systém považovat za určitou sério-paralelní kombinaci kondenzátorů

16 Elektrické proudy I Zatím jsme se zabývali rovnovážnými stavy.
Avšak než je jich dosaženo, dochází obvykle k pohybu volných nosičů náboje v nenulovém elektrickém poli, čili tam existují proudy. Často záměrně udržujeme na vodičích rozdíl potenciálů, abychom udrželi tok nosičů náboje, snažících se dosáhnout rovnováhy - elektrický proud. V určitém okamžiku je proud definován jako :

17 Elektrické proudy II Z fyzikálního hlediska rozlišujeme tři druhy proudu. První dva jsou přímo pohybem nosičů náboje: kondukční – pohyb volných nosičů náboje v látkách, pevných nebo roztocích konvekční – pohyb nábojů ve vakuu (např. elektronů v obrazovce) posuvný – je spojený s časovou změnou elektrického pole (nabíjení kondenzátorů, depolarizace dielektrik)

18 Elektrické proudy III Elektrické proudy mohou být uskutečněny pohybem nábojů obojí polarity. Podle konvence směřuje proud ve směru elektrického pole, čili stejně, jako kdyby pohybující se nosiče náboje byly kladné. Pokud jsou volné nosiče v určité látce záporné, jako například u kovů, pohybují se fyzicky proti směru konvenčního proudu.

19 Elektrické proudy IV Nejprve se budeme zabývat stacionárními proudy. Jedná se o zvláštní případ rovnováhy, kdy napětí a proudy v obvodech jsou stálá a konstantní. Stacionární proudy mohou být pouze konvekční nebo kondukční. Později se také zmíníme o časově proměnných proudech. Ty mohou být i posuvné.

20 Jednotkou proudu je 1 ampér se zkratkou A 1 A = 1 C/s.
Elektrické proudy V Jednotkou proudu je 1 ampér se zkratkou A 1 A = 1 C/s. Protože proudy lze relativně snadno měřit je právě ampér přijat jako základní elektrická jednotka v soustavě SI. Pomocí něj jsou potom definovány i další elektrické jednotky. Například 1 Coulomb : 1C = 1 As.

21 Elektrické zdroje I Abychom udrželi konstantní proud, například ve vodivé tyčce, musíme udržet konstantní elektrické pole, které se snaží přivést náboje v tyčce k rovnováze. To je ekvivalentní udržování konstantního rozdílu potenciálu neboli napětí mezi konci tyčky. K tomu slouží zdroj elektrického napětí.

22 Test Může být nabitý kondenzátor využit jako elektrický zdroj k dosažení stacionárního proudu? A) Ano B) Ne

23 Odpověď Odpověď je NE! Nabitý kondenzátor může být využit jako zdroj například k pokrytí krátkodobých výpadků jiných zdrojů. Vybíjecí proud kondenzátoru však je nestacionární. Proud totiž vybíjí kondenzátor, čili způsobuje pokles jeho napětí a proto i sám klesá.

24 Elektrické zdroje II Elektrický zdroj
je podobný kondenzátoru, ale musí obsahovat mechanismus, který doplňuje náboje odvedené z jednotlivých elektrod, aby napětí mezi nimi zůstalo zachováno. musí obsahovat síly neelektrické povahy (tzv. vtištěné např. chemické), které ho dobíjí. Musí například přenášet kladný náboj ze záporné elektrody na kladnou, a protože je mezi nimi napětí, konat tak práci. napětí mezi elektrodami je dáno rovnováhou mezi elektrickými a neelektrickými silami.

25 Elektrické zdroje III K udržení konstantního napětí při určitém konstantním proudu se dobíjení, čili i práce, musí vynakládat s určitou rychlostí, takže elektrický zdroj dodává do obvodu určitý výkon. Tam se výkon může transformovat na jiné formy, jako tepelný, světelný nebo mechanický. Část se ovšem vždy ztratí jako nechtěné teplo.

26 Elektrické zdroje IV Existují speciální dobíjitelné zdroje – akumulátory. Jejich vlastnosti jsou velmi podobně kondenzátorům, ale pracují při určitém, (téměř) konstantním napětí. Proto potenciální energie akumulátoru nabitého nábojem Q na napětí U je : Ep = QU , tedy NE QU/2 , jak by tomu bylo u kondenzátoru.

27 Ohmův zákon Každé vodivé těleso potřebuje jisté napětí mezi svými konci, aby vzniklo elektrické pole s dostatečnou intenzitou k dosažení proudu určité velikosti. Toto napětí a proud jsou si přímo úměrné podle Ohmova zákona : U = RI Konstanta úměrnosti se nazývá rezistance (odpor). Je to napětí potřebné k dosažení proudu 1 A, čili se jedná o schopnost vzdorovat průtoku proudu. Jednotkou odporu je 1 ohm : 1  = 1 V/A

28 Rezistance a rezistory I
Každé situaci, kdy jistým vodičem protéká při určitém napětí určitý proud, můžeme přiřadit určitou rezistanci. U ideálního rezistoru (odporu) je rezistance konstantní bez ohledu na napětí a proud. V elektronice se používají speciální součástky – rezistory, které jsou vyvíjeny tak, aby jejich vlastnosti byly blízké ideálním rezistorům. Rezistance obecně závisí na napětí, proudu, a řadě jiných veličin, které díky tomu lze přes ní měřit.

29 Rezistance a rezistory II
Důležitou informací o každém vodivém materiálu je jeho volt-ampérová charakteristika. Je to naměřená a (vhodně) vynesená závislost proudu na napětí nebo naopak. Může odhalit důležité vlastnosti látek. V každém bodě takové charakteristiky můžeme definovat diferenciální odpor (rezistanci) jako : dR = U/I Pro ideální odpor je tato veličina všude konstantní.

30 Rezistance a rezistory III
V elektronice se používá dalších speciálních součástek například variátorů, Zenerových diod nebo varistorů, které jsou vyvinuty tak, aby měly speciální V-A charakteristiku. Používá se jich například ke stabilizaci napětí. Závislosti rezistance na různých fyzikálních veličinách se využívá u různých senzorů.

31 Přenos náboje, energie a výkonu I
Ke zdroji o určitém napětí U připojme vodiči se zanedbatelným odporem jistý rezistor R. Získáváme jednoduchý elektrický obvod. Na odporu je stejné napětí jako na zdroji. Věnujme pozornost orientaci elektrického pole.

32 Přenos náboje, energie a výkonu II
Pole má snahu vyvolat proudy, které zdroj vybíjí v jeho vnitřku i vnějším obvodem. Proudy mají samozřejmě směr snižování potenciální energie. Ve zdroji ale jsou síly neelektrické povahy, které pohybují náboji proti směru pole, takže v celém obvodu se proud pohybuje stejným směrem. Ve zdroji vykonávají vnější síly práci, kterou pole vrací v rezistoru opět do vnějšího prostředí.

33 Přenos náboje, energie a výkonu III
Vezmeme náboj dq a obejdeme s ním obvod. Ve zdroji musíme, jako vnější činitel, vykonat práci proti poli Udq a pole vykoná práci –Udq. V rezistoru koná pole práci Udq, čili vnější činitel koná práci –Udq. Celková práce vykonaná jak vnějším činitelem tak i polem je rovna nule, což je samozřejmě ekvivalentní konzervativnosti elektrického pole. Derivujeme-li časem, dostáváme výkon : P = UI. A po dosazení za rezistanci : P = U2/R = RI2.

34 Přenos náboje, energie a výkonu IV
Neelektrické síly tedy ve zdroji odevzdávají výkon P = UI. Ten je elektrickým obvodem přenesen do spotřebiče jako výkon elektrický. Tam se opět mění na výkon neelektrický (teplo, světelný…). Výhoda je v tom, že zdroj může být ve velké dálce od spotřebičů a výkon se relativně jednoduše a s relativně malými ztrátami přenáší prostřednictvím elektrického pole.

35 Přenos náboje, energie a výkonu V
Ve skutečnosti ztráty v přívodních vodičích nemohou být zanedbány, zvláště při přenosu na dlouhou vzdálenost. Protože ztráty závisí na I2, přenáší se výkon při co nejvyšším napětí a nejnižším proudu. Např. při přechodu z 380 V na 35 kV se ztráty sníží cca krát.

36 Měrný odpor a vodivost I
Mějme ohmický vodič, tedy takový, jaký splňuje Ohmův zákon: U = RI Rezistance R závisí na geometrii a na vlastnostech materiálu vodiče. Mějme vodič délky l a průřezu S, definujeme měrný odpor (rezistivitu)  a její reciprokou hodnotu, měrnou vodivost  :

37 Měrný odpor a vodivost II
Měrný odpor je schopnost látek vzdorovat průtoku elektrického proudu. Při stejném tvaru je k dosažení určitého proudu u látek s velkou rezistivitou potřeba větší napětí. Jednotkou rezistivity v SI je 1  m. Měrná vodivost je naopak schopnost vést proud. Jednotkou měrné vodivosti v SI je 1 -1m-1. Jednotka vodivosti je siemens 1 Si = 1 -1.

38 Měrný odpor a vodivost III
materiál  [m]  [K-1] stříbro měď Al W Fe grafit 3 – Si – sklo

39 Volné nosiče nábojů I Obecně jsou volnými nosiči náboje nabité částice nebo pseudočástice, které se mohou ve vodičích volně pohybovat. Mohou jimi být elektrony, díry a různé ionty. Vodivostní vlastnosti látek závisí na tom, jak volně se nosiče mohou pohybovat, což hluboce souvisí se strukturou příslušné látky.

40 Volné nosiče náboje II V pevných vodičích, sdílí každý atom své nejslaběji vázané (valenční) elektrony s ostatními atomy. Ty se tedy mohou více nebo méně volně pohybovat v celém objemu vodiče. V nulovém elektrickém poli se elektrony pohybují chaoticky velkými rychlostmi náhodnými směry a často se sráží s atomy. Připomíná to chaotický pohyb molekul plynu, což vede k používání (ne úplně přesného) názvu elektronový plyn.

41 Volné nosiče náboje III
V nenulovém poli mají elektrony též jistou relativně malou driftovou rychlost v opačném směru než je směr pole. Nepružné srážky s atomy jsou hlavním mechanismem zodpovědným za rezistivitu (kovů při normální teplotě) a samozřejmě také za ztráty energie (výkonu) ve vodičích.

42 Otázka Driftová rychlost nosičů náboje je řádově 10-4 m/s.
Jak je možné, že se žárovka v místnosti rozsvítí po zapnutí vypínače prakticky okamžitě?

43 Odpověď Sepnutím vypínače, připojíme napětí na konce vodiče, čímž vytvoříme elektrické pole poděl něj. To uvede do pohybu nosiče náboje. Protože elektrické pole se vytvoří rychlostí světla c = m/s, nosiče náboje se dají do pohybu (prakticky) současně.

44 Teplotní závislost měrného odporu I
Ve většině případů je teplotní chování blízké lineárnímu . Definujeme změnu měrného odporu vzhledem k jisté referenční teplotě t0 (0 nebo 20° C):  = (t) – (t0) Relativní změna měrného odporu je přímo úměrná změně teploty :

45 Teplotní závislost měrného odporu II
 [K-1] je lineární teplotní koeficient. Je určen teplotní závislostí n a vd. Může být i záporný, např. u polovodičů (ale ty mají chování exponencíální). V případě většího roszahu teplot nebo vyšší požadované přesnosti musíme přidat další (kvadratický) člen : /(t0) =  t +  (t)2 + …  (t) = (t0)(1 +  t +  (t)2 + …)

46 Konec přednášky

47 Seriové zapojení rezistorů
Rezistory, zapojenými seriově, prochází stejný společný proud. Současně napětí na všech dohromady musí být součet napětí na rezistorech jednotlivých. Seriové zapojení tedy můžeme nahradit jedním rezistorem, pro jehož rezistanci platí : R = R1 + R2 + …

48 Paralelní zapojení rezistorů
Jsou-li rezistory zapojeny paralelně, je na každém stejné společné napětí. Současně se celkový proud dělí mezi ně a je tedy součtem proudů jednotlivými rezistory. Paralelní zapojení tedy můžeme nahradit jedním rezistorem, pro jehož rezistanci platí 1/R = 1/R1 + 1/R2 + …

49 Termočlánek I Termočlánek je příkladem čidla, které převádí nějakou fyzikální veličinu (zde teplotu) na veličinu elektrickou, obvykle snáze dále zpracovatelnou. Na rozdíl od jiných běžných teplotních čidel, odporového teploměru (např. Pt100) nebo termistoru, u nichž se měří závislost vodivosti na teplotě, termočlánek je zdrojem napětí.

50 Termočlánek II Činnost termočlánku je založena na Seebeckovu neboli termoelektrickém jevu (Thomas 1821), který spočívá v tom, že na vodiči, jehož dva konce mají rozdílnou teplotu, se objevuje napětí. Toto napětí je úměrné velikosti teplotního rozdílu a materiálovému parametru, tzv. Seebeckově koeficientu.

51 Termočlánek III Jako termočlánek se tedy hodí dvojice vodičů s dostatečně odlišnou hodnotou Seebeckova koeficientu. V praxi se užívá asi deseti vybraných dvojic materiálů. Liší se např. vhodností pro určité rozpětí teplot nebo do různých prostředí. Značí se J, K ... a jejich kalibrace je známá. Pro přesné měření se používá zpravidla polynom 8. stupně s koeficienty odlišnými pro kladné a záporné teploty. Při použití jednoho termočlánku je nepříjemná závislost na pokojové teplotě.

52 Termočlánek IV Moderní přístroje (s mikroprocesorem) si často pokojovou teplotu měří a simulují “studený spoj” a stačí jim tedy termočlánek jeden. Mohou se ale použít jenom ty typy termočlánků, na který jsou naprogramovány a musí se přesně dodržet instrukce, který vodič se připojuje ke které zdířce. Manuální korekce termočlánku se musí provádět na úrovni napětí.

53 Peltierův jev Popsaný jev funguje i obráceně. Teče-li elektrický proud spojem dvou různých vodičů, může se z tohoto bodu odebírat nebo do něj přinášet teplo. Tento jev se nazývá jevem Peltierovým (Jean 1834). Komerčně jsou dostupné peltierovy články, s jejichž pomocí lze elegantně temperovat určitou oblast v rozpětí teplot cca – 50 až 200 °C. Lze jich ve speciálních případech použít i jako zdrojů napětí, např. u kosmických sond.

54 Supravodivost I H. K. Onnes v roce 1911 zjistil, že u rtuti pod tzv. kritickou teplotou Tc = 4.2 K se měrný odpor snižuje řádově na    m, což je efektivně nula, protože to je 1016 méně než je hodnota při pokojové teplotě. Smyčkový proud v supravodivém materiálu teče bez znatelných ztrát a proto může existovat několik let bez dodávání energie! Před tímto slidem jsem skončil

55 Supravodivost Hg (Kamerling Onnes 1911)
0,24 R [Ω] 0,16 0,08 2 4 6 T [K]

56 Kritické teploty supravodivých materiálů (teplota varu tekutého dusíku 77K)
Al 1,2 K In 3,4 K Sn 3,7 K Pb 7,2 K Nb 9,3 K Nb3Sn 18 K Nb3Ge 23 K YBa2Cu3O7 90 K ?

57 Supravodivost II V současnosti jsou vyvinuty materiály na bázi Y, Ba, Cu, které mají kritickou teplotu Tc  160 K, například: YBa2Cu3O7 Tyto keramické látky jsou za normální teploty nevodivé, zatímco u dobrých vodičů nelze dosáhnout supravodivosti při žádné teplotě. Supravodivost je kvantový jev, který spočívá v tom, že elektrony se látkou pohybují v párech, čímž se snižuje možnost jejich současně interakce s atomy mřížky a tudíž ztrát energie.

58 Supravodivost III Existence supravodivých materiálů při běžných teplotách by měla obrovský význam v mnoha oblastech vědy a techniky. Proto je jejich vývoj otevřenou oblastí výzkumu. V současnosti spočívají hlavní problémy využití v nevhodných mechanických vlastnostech a v závislosti Tc na různých faktorech, zvláště na magnetickém poli.

59 Skalární součin Ať Definice I (ve složkách) Definice II
Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

60 Potenciál elektrického dipólu I
Mějme náboj –Q v počátku a +Q v bodě, určeném vektorem Jaký je potenciál v bodě ? Použijeme princip superpozice a gradient :

61 Potenciál elektrického dipólu II
První dva pomalu klesající výrazy se zruší : Potenciál je tedy symetrický podle své osy a bod v polovině spojnice nábojů je inverzním středem symetrie. Potenciál klesá jako 1/r2! ^

62 Elektrický dipól – Moment síly
Mějme homogenní pole s intenzitou Síly na oba náboje přispívají ve shodném smyslu k momentu síly : Obecně je moment síly vektorový součin: ^

63 Elektrický dipól - tah Mějme nehomogenní elektrické pole, jehož intenzita se mění jen v jednom směru dipól paralelní se siločárami (-Q v počátku). Obecně : ^

64 Vektorový součin I Ať Definice (ve složkách) Velikost vektoru
Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku tvořeného vektory

65 Vektorový součin II Vektor je kolmý k rovině vytvořené vektory a a společně vytváří pravotočivý systém. ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)} ^

66 Intenzity v okolí zakřivenějších povrchů jsou větší
Mějme velkou a malou vodivou kouli o poloměrech R a r, které jsou vodivě spojeny např. drátkem. Když tento útvar nabijeme, rozloží se přebytečný náboj na Q a q tak, aby byl všude stejný potenciál : Hustota náboje na menší kouli je tedy větší! ^

67 Polarizace  Hustota dipólového momentu I
Mějme jistý objem V homogenně zpolarizovaného materiálu, malý z hlediska makroskopického, ale velký z hlediska mikroskopického. Můžeme ho považovat za reprezentativní pro celý vzorek :

68 Polarizace  Hustota dipólového momentu II
Předpokládejme, že jeden dipól s momentem p = lq lze uzavřít do hranolu o objemu v = sl. Objem V homogenně zpolarizovaného dielektrika je sestaven z těchto hranolků, čili polarizace v něm musí být stejná jako polarizace v každém z nich : ^

69 Termočlánek V Spojme dva vodiče A a B v jednom bodě a umístěme jej v prostředí o teplotě t1. Na opačných koncích vodičů, které jsou v pokojové teplotě t0, budou vůči spoji napětí: uA=kA(t0-t1) a uB=kB(t0-t1) Připojíme-li mezi konce voltmetr naměříme: uAB = uB - uA= (kB - kA)(t0 – t1)

70 Termočlánek VI Jednou z možností, jak se této závislosti zbavit je použití dvojice termočlánků. Vytvořme druhý spoj vodičů A a B a umístěme jej do prostředí o známé teplotě t2. Jeden z vodičů, např. B potom (v místě s pokojovou teplotou t0) přerušíme. Napětí bodů přerušení X a Y vůči prvnímu společnému bodu obou vodičů budou: uX = kB(t0 – t1) uY = kA(t2 – t1) + kB(t0 – t2)

71 Termočlánek VII ^ Napětí mezi těmito body potom bude:
uXY = uY - uX = kA(t2 – t1) + kB(t0 – t2) - kB(t0 – t1) tedy: uXY = (kB- kA)(t1 - t2) Závislost na pokojové teplotě tedy skutečně mizí. Ovšem za cenu nutnosti použít lázně s referenční teplotou. Pro ni se obvykle využívá dobře definované teploty fázových přechodů, například u systému voda-led. Pozor ale na závislost na tlaku. ^