Plošné konstrukce, nosné stěny

Prezentace na téma: "Plošné konstrukce, nosné stěny"— Transkript prezentace:

1 Plošné konstrukce, nosné stěny
Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Plošné konstrukce, základní znaky Plošné konstrukce rovinné Základní rovnice matematické teorie pružnosti Nosné stěny Metody řešení nosných stěn Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

2 Plošné konstrukce, základní charakteristika
Prut je trojrozměrné těleso, jehož jeden rozměr (délka) je podstatně větší než zbývající dva rozměry. Plošný konstrukční prvek je trojrozměrné těleso, jehož dva rozměry jsou podstatně větší než zbývající jeden rozměr (tloušťka). Množinou bodů dělících tloušťku plošného prvku na dvě stejné části je střednicová plocha.

3 Plošné konstrukce, základní charakteristika
Rovinnou střednicovou plochu mají nosné stěny desky Zakřivenou střednicovou plochu mají skořepiny membrány

4 Nosné stěny Idealizují se jako rovinný obrazec (nejčastěji ve svislé rovině), může mít otvory Zatížení působí pouze ve střednicové rovině a může být vyvoláno idealizovanými bodovými silami idealizovanými liniovými silami vlastní tíhou změnou teploty Vazby mohou být liniové bodové

5 Nosné stěny, příklady

6 Nosné stěny, příklady

7 Nízký a vysoký stěnový nosník

8 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 1
Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 1. rovnice rovnováhy

9 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 2
Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 2. geometrické rovnice

10 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 2
Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 2. geometrické rovnice, rovnice kompatibility (slučitelnosti) Obdobně lze odvodit další podmínky kompatibility V prostoru je celkem 6 rovnic kompatibility Nejsou-li tyto rovnice splněny, není deformované těleso bez mezer nebo vzájemných průniků

11 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru – 3
Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru – 3. Hookův zákon

12 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 3
Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 3. Hookův zákon, pokračování

13 Předpoklady řešení nosných stěn
Fyzikální linearita Geometrická linearita Konstrukční linearita, všechna vnitřní a vnější vazby zůstávají zachovány při všech zatíženích působících na konstrukci Pak lze využít - princip superpozice Princip Saint-Venantův: V bodech tuhého tělesa, dostatečně vzdálených od působišť vnějších sil, napětí velmi málo závisí na detailním způsobu realizace těchto zatížení

14 Metody řešení nosných stěn, základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině
Klasická úloha pro rovinný případ napjatosti. Pro střednicí v rovině xy je:

15 Řešení nosných stěn, pokračování
Po dosazení Hookova zákona do rovnice kompatibility je: Při konstantních objemových silách: Po úpravě: Laplaceův operátor 2. řádu

16 Řešení nosných stěn, pokračování

17 Řešení nosných stěn, stěnová rovnice

18 Nosné stěny, okrajové podmínky
Statické (tzv. 1. problém pružnosti) Výslednice napětí na okraji (hranici) řešené oblasti (stěny, desky) musí být rovna výslednici povrchových sil Deformační (tzv. 2. problém pružnosti) Přetvoření na okraji (hranici) řešené oblasti (stěny, desky) musí odpovídat vnějším vazbám (předepsaným hodnotám) Smíšené (tzv. 3. problém pružnosti) V rovinných úlohách musí být v každém bodě okraje splněny vždy dvě okrajové podmínky. Jedna z nich může být statická, druhá deformační.

19 Nosné stěny, příklad řešení
a, b, c určíme z okrajových podmínek F vyhovuje stěnové rovnici, neboť:

20 Nosné stěny, příklad řešení
Složky napětí: Okrajové podmínky:

21 Nosné stěny, příklad řešení, pokračování
Po dosazení do Airyho funkce je: složky napětí: Tyto vztahy jsme odvozovali v PP, viz Grashofův vzorec, pro obdélníkový průřez a pro jednotkovou šířku konzoly

22 Nosné stěny,některé metody řešení
Metody využívající stěnovou rovnici: Inverzní metoda (viz předchozí příklad) Metoda sítí Fourierova metoda Přibližné metody: Energetické metody (např. Ritzova metoda) Metoda konečných prvků

23 Základní tvary konečných prvků používaných pro řešení nosných stěn

24 MKP, příklady diskretizace stěnového obrazce

25 MKP, příklady modelování zakřiveného okraje

26 Základní kroky v MKP při řešení stěn
Analýza stěnového prvku – vede k sestavení matice tuhosti prvku a zatěžovacího vektoru prvku Analýza stěnového obrazce vede k sestavení matice tuhosti konstrukce a zatěžovacího vektoru při respektování okrajových podmínek: Vyřešení soustavy lineárních rovnic Závěrečný výpočet stěnového obrazce

27 Příklad řešení nosné stěny MKP

28 Příklad řešení nosné stěny MKP, výpočtový model stěnového obrazce

29 Příklad řešení nosné stěny MKP, průběh vnitřních sil na levém (vetknutém) okraji

30 Příklad řešení nosné stěny MKP, průběh vnitřních sil na ose symetrie

31 Rovinný případ deformace, základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině
Pro střednici v rovině xy je:

32 Rovinný případ deformace, základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině

33 Příklady rovinného stavu deformace

34 Příklady rovinného stavu deformace

35 Plošné konstrukce, desky
Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Plošné konstrukce, desky Rozdělení desek Předpoklady a řešení tenkých desek Metody řešení tenkých desek Skořepiny Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

36 Desky Idealizují se jako rovinný obrazec (nejčastěji ve vodorovné rovině), může mít otvory Zatížení působí pouze kolmo ke střednicové rovině a může být vyvoláno idealizovanými bodovými silami (momenty) idealizovanými liniovými silami (momenty) idealizovanými plošnými silami vlastní tíhou změnou teploty Vazby působí kolmo ke střednicové rovině a mohou být bodové (proti posunům) liniové (proti posunům a pootočením) plošné 36

37 Desky, příklady 37

38 Desky, příklady podpor desek
38

39 Desky, příklady 39

40 Pravoúhlé desky, volba souřadného systému
40

41 Desky, rozdělení Desky lze rozdělit dle rozměrů :
membrány h/l < 1/80, velmi tenké desky h/l = 1/50 až 1/80, tenké desky h/l = 1/10 až 1/50, hrubé desky h/l = 1/5 až 1/10, prostorová tělesa h/l > 1/5. Dle deformace: s malými deformacemi |wmax| <1/300 a současně |wmax| <h/4 a |jmax| < p/60 se středními, případně velkými deformacemi |wmax| > 1/300, řešení patří k nelineárním úlohám pružnosti 41

42 Desky, tenké desky s malými deformacemi, předpoklady řešení
Autorství lineární teorie desek se přisuzuje Kirchhoffovi. Je založeno na těchto předpokladech: 1. Deformace střednicové plochy jsou malé. 2. Normálová napětí sz jsou v porovnání s napětím sx, a sy malá a zanedbávají se. 3. Body ležící před deformaci na normále ke střednici leží na ní i po deformaci (tzv. špendlíková hypotéza). Nemění se také jejich vzdálenost ez.=0. Důsledkem je, že přetvoření lze vyjádřit jako funkci ohybové plochy w(x,y), gxz=gyz=0. 4. Body na střednicové ploše desky mají nulové normálové napětí a přemísťují se pouze ve směru osy z (podmínkou je symetrie tvaru a materiálu desky. 42

43 Desky, příklady reálného průběhu napětí sz
Schéma rozložení napětí při plošném zatížení a), reálný průběh napětí sz na obr. b). 43

44 Tenké desky, předpoklady o deformaci
Střednice desky se pohybuje pouze ve směru osy z. Normála ke střednici n před zatížením zůstává normálou i po zatížení n´. Posunutí bodu K v rovině xy ležícího mimo střednici do bodu K´ lze vyjádřit jako funkci u=f1(w), obdobně v=f2(w). 44

45 Tenké desky, řešení 45

46 Tenké desky, řešení, pokračování
46

47 Tenké desky, řešení, pokračování
47

48 Desky, průběh složek napětí a složek měrných vnitřních sil
Kladný smysl vnitřních sil je zřejmý z obr. Na tzv. kladných ploškách jsou orientovány ve směru kladných os x,y (ohybové momenty vyvolávají tah ve spodních vláknech a kladné kroutící momenty mají směr kladných tečných napětí). Na záporně orientovaných ploškách je to opačně. 48

49 Desky, odvození složek měrných vnitřních sil
Měrné vnitřní síly mají význam intenzity vnitřních sil, jsou vztaženy k jednotkové délce příslušného řezu. Označují se malými písmeny. 49

50 Desky, odvození složek měrných (posouvajících) vnitřních sil
50

51 Desky, transformace složek měrných vnitřních sil, hlavní momenty
51

52 Desky, podmínky rovnováhy
52

53 Desky, podmínky rovnováhy, pokračování
53

54 Desky, podmínky rovnováhy, pokračování, desková rovnice
54

55 Desky, desková rovnice pro pravoúhlé desky
parciální diferenciální rovnice 4. řádu, lineární nehomogenní (má pravou stranu) eliptického typu Pro p=0 jde o biharmonickou rovnici. Každá biharmonická funkce odpovídá průhybové ploše desky zatížené jen na okrajích. 55

56 Okrajové podmínky desky
Řešení rovnice desky musí odpovídat daným okrajovým podmínkám (vždy dvě na okraji). Okraj vetknutý: na okraji nulový průhyb i pootočení 56

57 Okrajové podmínky desky, okraj prostě podepřený
Na okraji nulový průhyb a nulový moment mx. Deformační vyjádření OP: 57

58 Okrajové podmínky desky, okraj prostě podepřený, pokračování
Desková rovnice umožňuje plnit na okraji pouze dvě podmínky. Mělo by zde být ještě třetí podmínka mxy=0. Řeší se tzv. doplněnou posouvající silou. 58

59 Okrajové podmínky desky, okraj volný
Na nezatíženém okraji by měly být splněny tři podmínky, a to: Předepisujeme však jen dvě podmínky: 59

60 Desky, metody řešení Přímé řešení deskové rovnice v uzavřeném tvaru neexistuje. Aplikují se přibližné metody, ke kterým např. patří: Navierovo řešení, založené na rozvoji funkce zatížení a průhybu do Fourierových řad Metoda sítí Metoda konečných prvků 60

61 Desky, příklad řešení metodou sítí
61

62 Desky, příklad řešení metodou sítí
62

63 Deskový pás Je nejjednodušší případ deskové konstrukce 63

64 Desky, příklady 64

65 Desky kruhové 65

66 Tlusté desky, Mindlinova teorie
Body normály ke střednicové rovině zůstávají po deformaci na přímce. Ta již obecně není normálou ke střednicové rovině. Vedle neznámé w, jsou zde ještě neznámé jx a jy, respektive 66

67 Skořepinové konstrukce
Plošné konstrukce se zakřivenou střednicovou plochou 67

68 Skořepinové konstrukce, příklady
68

69 Příklad válcové skořepiny
69