Mnohostěny Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku.

Prezentace na téma: "Mnohostěny Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku."— Transkript prezentace:

1 Mnohostěny Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku

2 Rozcvička: Krychle má 9 různých rovin symetrie. Nakreslete je.

3 Řešení

4 Mnohostěn je část prostoru ohraničeného konečným počtem rovinných mnohoúhelníků.

5 Geometrický útvar nazveme konvexní,
právě když lze libovolné dva jeho body spojit úsečkou, jejíž každý bod náleží danému geometrickému útvaru.

6 Eulerova charakteristika mnohostěnu
Leonhard Euler je číslo E = s + v – h kde s je počet stěn, v počet vrcholů a h počet hran daného konvexního mnohostěnu.

7 Eulerova věta „ V každém konvexním mnohostěnu platí Eulerův vztah
s + v – h = 2 kde s je počet stěn, v počet vrcholů a h počet hran daného konvexního mnohostěnu.“

8 Keplerův „Kosmický pohár“
- sféra Merkuru opsán osmistěn, který je vepsán do sféry Venuše sféře Venuše opsán dvacetistěn sféra Země dvanáctistěn sféra Marsu čtyřstěn sféra Jupitera krychle sféra Saturnu Johannes Kepler

9 Existuje právě pět Platónových těles

10 Princip duality PT

11 Deltatopy V definici PT vynecháme požadavek na stejnou valenci vrcholů (q) a „mnohoúhelníky“ nahradíme „trojúhelníky“. Existuje právě 8 deltatopů. Název deltatopu v h s q = 3 q = 4 q = 5 1. čtyřstěn 4 6 2. dvojitý čtyřstěn 5 9 2 3 3. osmistěn 12 8 4. dvojitý pětiboký jehlan 7 15 10 5. siamský dvanáctistěn 18 6. 21 14 7. 24 16 8. dvacetistěn 30 20

12 Archimédova tělesa Archimédes ze Syrakus 287 – 212 př. n. l. - lze vytvořit z PT odříznutím vrcholů nebo hran tak, aby vznikly pravidelné konvexní mnohoúhelníky.

13 Hvězdicovité pravidelné mnohostěny
V definici PT jsou vynechány požadavky konvexnosti.

14 Pravidelné antihranoly
mají dvě protilehlé stěny (podstavy) tvořené shodnými pravidelnými n–úhelníky a ostatní stěny jsou shodné rovnoramenné trojúhelníky. pravidelný šestiúhelníkový antihranol (regular hexagonal antiprisma)

15 Platónova tělesa v biosféře
Mřížovka červená Virus dětské obrny Radiolaria (mřížovci)

16 Poincarého zobecnění Eulerovy věty
Pro mnohostěny platí s + v - h = 2 - 2r, kde r je (topologický) rod plochy. Zjednodušeně lze říci, že hodnota rodu plochy je rovna počtu v ní existujících „průchodů“.

17 11 pravidelných mnohostěnů rodu 2
druh p g v s h 1. 3 7 12 28 42 Ikosaedr +2 tunely 2. 8 6 16 24 Oktaedr + 2 tunely 3. 4 5 10 20 Krychle + 2 tunely 4. 9 18 Tetraedr + 2 tun. 5. Krychle + 1 tunel 6. Otevřené pentagonální těleso, duální samo k sobě 7. duální k 5. 8. duální k 4. 9. duální k 3. 10. duální k 2. 11. duální k 1.

18 Domácí úkol - rozmyslet
1. Najděte nekonvexní mnohostěn, který nesplňuje Eulerův vztah. 2.Najděte nekonvexní mnohostěn, který splňuje Eulerův vztah. 3.Je dán konvexní čtrnáctistěn s devíti vrcholy. Dokažte, že na něm existuje vrchol, ze kterého vychází aspoň 5 hran. 4.Určete počty rovin souměrnosti všech Platonových těles. 5.Na kolik částí se rozpadnou, provedeme-li všechny tyto řezy současně? 6.Kolik prvků mají grupy zákrytových pohybů Platonových těles?

19 Literatura Březina, F. a kol.: Stereochemie a některé fyzikálně chemické metody studia anorganických látek. UP, Olomouc 1994. Huylebrouck, D.: Regular Polyhedral Lattices of Genus 2: 11 Platonic Equivalents? In: Bridges Conference Proceedings, Pécs 2010. Molnár, J., Kobza, J.:Extremálne a kombinatorické úlohy z geometrie. SPN, Bratislava 1991. Molnár, J., Kobza, J.: Extremálne a kombinatorické úlohy z geometrie. SPN, Bratislava 1991. Vacík, J.: Obecná chemie. SPN, Praha 1986. Vacík, J. a kol.: Přehled středoškolské chemie. SPN, Praha 1996. Zimák, J.: Mineralogie a petrografie. UP, Olomouc 1993