Stáhnout prezentaci
Prezentace se nahrává, počkejte prosím
1
Speciální funkce a transformace ve zpracování obrazu
1.část Barbara Zitová Fourierova transformace wavelety: něco málo teorie wavelety: aplikace v DZO
2
Fourierova transformace
= oscilační X úhlová frekvence k
3
Vlastnosti linearita konvoluce convolution theorem =
posun shift theorem rotace F(R(f)) = R(F(f)) změna měřítka similarity theorem
4
Fourierova transformace - 2D
F( x ,y ) = f( kx ,ky ) = real, u=v imag, u=v
5
Peridoické prodloužení
6
4 / N 6.5 / N 17 / N 19 / N
7
Použití filtrace registrace reprezentace objektů reprezentace textur
interpolace reprezentace objektů reprezentace textur
8
Filtrace ve frekvenční oblasti
= high pass Gaussian high pass band pass low pass Gaussian low pass directional
9
Low pass step filtr
10
Butterworth filtr low pass high pass n= 1, 4, 16
11
Butterworth filtr
12
Filtrace periodického poškození
Inverzní filtrace Známý typ PSF
13
Registrace - fázová korelace
kros korelace + F ( Image(x,y)) . F * ( Window(x,y)) = e 2π i (x TX + y TY ) | F ( Image(x,y)) . F * ( Window(x,y)) | SPOMF symmetric phase - only matched filter
14
Log-polar transformace
15
RTS registrace F(R(f)) = R(F(f)) FT | | log-polar FT fázová korelace
- periodicita amplitudy - > 2 úhly log(abs(FT)+1) problémy s diskrétním prostředím
17
Fourierovy deskriptory
f(t) = x(t) + iy(t) Posun - změna F(0) Rotace - změna fáze Měřítko - vynásobení konstantou Změna start bodu - posun v 1D reprezentaci
18
Fourierovy deskriptory
periodická funkce souřadnice f(t) = x(t) + iy(t) vzdálenost od těžiště f(t) = ([x(t) – xc]2+ [y(t) - yc]2)1/2 plocha
19
Fourierovy deskriptory - interpolace
separace - tvar - pozice - měřítko - orientace medicínské řezy
20
Textury - popis
21
Textury - popis
22
Fourierova transformace
- základní stavební prvky FT pro každou frekvenci – sinusoida dané frekvence porovnána se signálem obsahuje-li signál danou frekvenci – korelace je velká velké FT koeficienty nemá-li signál žádnou část dané frekvence, korelace na dané frekvenci je malá/nulová malý / nulový FT koeficient
23
Okénková Fourierova transformace
24
Okénková Fourierova transformace
25
Okénková Fourierova transformace
výpočet různých FT pro po sobě jdoucí časové intervaly time-frequency reprezentace „1-D time domain“ „2-D time-frequency“ volba okna tvar, šířka šířka okna – signál v něm stacionární širší okno – menší „time“ rozlišení
26
Volba okna Dva extrémy W(t) nekonečně široké klasická FT
výborné „frequency“ rozlišení, žádná „time“ informace W(t) nekonečně úzké konstanta výborné „time“ rozlišení, žádná „frequency“ informace Okno zvoleno – rozlišení nastaveno v obou oblastech Gaussovské okno – nejmenší
27
Obě rozlišení nemohou být libovolně velké!
Heisenbergův princip t * f > 1/(4 ) Gaborův princip neurčitosti t Time rozlišení: separace 2 „špicí“ v časové oblasti f Frequency rozlišení : separace 2 spektrálních komponent Obě rozlišení nemohou být libovolně velké! Pouhé intervaly!!
28
FT versus wavelets - plocha
29
Waveletová transformace
Základy teorie Aplikace
30
Historie Wavelet · 1909 Alfred Haar - Haar b áz e . · 1946 Gabor - ne
orthogonální neomezené wavelety 1976 Croisier, Esteban a Galand - filter banks pro dekompozici a rekonstru kci signálu 1982 Jean Morlet použil Gabor wavelety k modelování seismických signálů
32
Aplikace wavelet Komprese Problematika rozmazání Odstraňování šumu a poškození Detekce struktur Registrace Fúze dat s různým rozlišením Reprezentace
33
O co tady jde ? „Laplacian“ pyramida
34
K čemu směřujeme ?
35
Haarova waveleta
36
kompaktní dyadická ortonormální
39
g = [ , ] h = [ , ]
40
g* = [ , ] h* = [ , ]
42
Haar waveleta Mexican hat waveleta
44
Wavelet transformace Okno proměnné šířky
analýza vysokých frekvencí úzké okno pro lepší „time“ rozlišení analýza nízkých frekvencí širší okno pro lepší „frequency“ rozlišení
45
Okénková Fourierova transformace
translace, dilatace a > 0, R R waveletová transformace
46
Waveletová transformace
h a, => a,b - matečná waveleta (mother wavelet) - wave... osciluje - ….let dobře lokalizovaná kolem 0, mizí rychle - = 0 - | |2 < - FT() a,b v 0 - 0, v - 0 - něco jako band-pass filtr ve FT 2 < ∞ a,b x - b a > 0, R b R, normalizace přes škály
47
Haar waveleta Mexican hat waveleta
48
Shannon waveleta Morlet waveleta
49
Daubechies 4 waveleta
50
Spojitá waveletová transformace
a,b* a, b a,b a, b c - záleží na WF(a,b) = f (t), a,b a > 0, R b R REDUNDANTNÍ!! – diskretizace a,b
51
Dyadická síť – diskretizace a, b
„time“ vzorkování u nízkých frekvencí – řídké stačí b a vzorkované na log stupnici b vzorkované hustěji u malého a log a obvykle a0 = 2 a b0 = 1, což vede na dyadickou síť
52
Dyadická waveletová transformace - waveletové řady
- < m, n < m, n Z binární škálování - zmenšování o faktor 2 dyadický posun - posun o k/2j m,n - ortonormální báze L2(R) m,n ,k,l = m,k n,l f(x) = c m,n ,m,n c m,n = f (x), m,n - Přeurčenost
53
Diskrétní waveletová transformace - cesta
Kompaktní dyadická waveletová transformace - f(x), m,n nenulové na [0,1], jednotkový interval j j = 2m + n, m = 0,1, … n = 0, 1, … 2j - 1 pro libovolné j je m je největší takové, že 2m j, n = j - 2m f(x) = c j ,j c j = f (x), j - Diskretizace f … f (i x) N vzorků … mocnina 2 spojité
55
Diskrétní waveletová transformace
Kompaktní dyadická waveleta Diskretizace f …. f (i x) N vzorků … mocnina 2 j f(x) = c j ,j c j = f (x), j = f(x) j 1 N diskrétní
56
FT - spojitá funkce x spojitá funkce
FŘ - periodická funkce x řada koeficientů DFT - navzorkovaná funkce x navzorkované spektrum SWT - spojitá funkce x spojité a,b WŘ - spojitá funkce x řada koeficientů DWT - navzorkovaná funkce x konečná řada koeficientů
57
Waveletová transformace - dekompozice
58
V10 W6 W9 W5 W8 V5 W7 Haar waveleta
59
Waveletová dekompozice funkce f
Vj Vj0 WJ-1 základ + detaily různého měřítka
61
Mutliresolution analysis (MRA)
- postup pro konstrukci ortonormálních bází - L2 prostor - vnořená sekvence uzavřených podprostorů Vi - každé Vi odpovídá jednomu měřítku - plně určeno volbou škálovací funkce
62
Platí: nárůst i - jemnější rozlišení scale invariance
63
shift invariance funkce ij (x), kde tvoří ortonormální bázi Vi … škálovací funkce „father wavelet“ Pi(f) - ortonormální projekce f do Vi , pak škálovací koeficienty reprezentace chyby ( detailu ) Vi+1 - Vi ortonormální doplněk Wi
64
Platí: každý Wi je generován posuny i, j waveleta škálová invariance
translační invariance ortonormalita Wi a Wk waveletové koeficienty
65
Waveletová transformace - dekompozice
Vj Vj0 Wj0 Wj-1
66
škálovací koeficienty
waveletové koeficienty … vyhlazovací (smoothing) funkce - nenulový (=1) - = 0 - a FT() dobrý pokles ( lokalizace v obou oblastech) - kompaktní , - nulové krom určitého konečného intervalu
67
V0 V1 V0 V1 dilatační rovnice W0 V1 V0 V1 W0
68
Haar waveleta g = [ , ] h = [ , ]
69
Poznámky k h a g hN-1-j = (-1) j g j
h,g quadrature mirror filtry (|H|2 + |G|2 = 1) h = 2 g = 0 h - low pass filtr g - high pass filtr g – h zpětně se změněnými znaménky posun o pul periody g = [ , ] h = [ , ] hN-1-j = (-1) j g j g = [h3 -h2 h1 -h0] hj určuje škálovací funkci
70
Ortogonalita waveleta (wavelet) báze Wi škálovací funkce (scaling function) báze Vi
71
Waveletová dekompozice funkce f
Vj Vj0 základ + detaily různého měřítka
72
V10 W6 W9 W5 W8 V5 W7 Haar waveleta
73
V10 W6 Daubechies 4 škálovací funkce a waveleta W9 W5 W8 V5 Daubechies 4 waveleta W7
74
V10 W6 W9 W5 W8 V5 W7 Haar waveleta
75
Waveletová dekompozice funkce f
PVjf - ortonormální projekce f do Vi kompaktní suport základ + detaily různého měřítka
76
cj+1,k = h(k-2l) cj,l + cj-1,k = h(n-2k) cj,n + g(k-2l) dj,l
Vj k (PV f )(x) = cj-1,k j-1,k(x) + dj-1,k j-1,k (x) Vj-1 + Wj-1 j DR cj-1,k = h(n-2k) cj,n n dj-1,k = g(n-2k) cj,n cj+1,k = h(k-2l) cj,l + + g(k-2l) dj,l l signál délky 2J - vzorky na jednotkovém intervalu Vn < f, J,k >, aproximace spojité funkce f .. cJ,k
77
Rychlá waveletová transformace
80
Waveletová transformace - proces určení cj0,k, dj,k
Kompaktní - konečný počet nenulových koeficientů - lokalizace v čase, frekvenci Požadavek na nulovost momentů FFT - O(Nlog2N) FWT - O(N)
81
Vlastnosti očekávané od wavelet
- dobrá lokalizace - jednoduchost konstrukce a reprezentace - invariance vzhledem k některým operacím - hladkost, spojitost, diferencovatelnost, symetrie - dobré vlastnosti vzhledem k počtu nulových momentů
82
Kompaktnost - v obrazové oblasti (ve frekvenční rychle k nule) - nižší výpočetní nároky - lepší obrazové rozlišení x horší frekvenční Symetrie - ortogonální kompaktní wavelety nemohou být sym. - biortogonální wavelety Momenty a jejich nulovost 1. M momentů 0 : signály typu nulové detailní koeficienty dobré pro kompresi Daubechies 2p koeficientů – p nulových momentů Hladkost lepší rekonstrukce
83
Biortogonální wavelety
Haar jediná kompaktní, ortogonální a symetrická oslabení ortogonality Reálné x komplexní wavelety Ortogonální x biortogonální x neortogonální Jiné typy diskretizace, nedyadické, m-bands
84
Wavelet packets - nadmnožina WT
analytické funkce (W0 škálovací f., W1 waveleta ) volba stromu (snižování entropie)
86
Filter banks ψa(x) = (1/√a) ψ(x/a) ψa(x) = ψ*a(-x) = (1/√a) ψ*(-x/a)
pak CWT = f * ψa(x) H G násobení ve FT
87
Subband coding h H f(iΔt) F(s) H(s) h(iΔt) f(iΔt)*h(iΔt) F(s).H(s)
88
F(s).H(s) f(iΔt)*h(iΔt) B(s) b(iΔt) B(s)*[F(s).H(s)] b(iΔt)[ f(iΔt)*h(iΔt)]
89
g G f(iΔt) F(s) G(s) g(iΔt) f(iΔt)*g(iΔt) F(s).G(s)
90
F(s).G(s) f(iΔt)*g(iΔt) B(s) b(iΔt) B(s)*[F(s).H(s)] b(iΔt)[ f(iΔt)*h(iΔt)] Aliasing
Podobné prezentace
© 2024 SlidePlayer.cz Inc.
All rights reserved.