STŘÁDÁNÍ Užití GP v praxi 1.

Prezentace na téma: "STŘÁDÁNÍ Užití GP v praxi 1."— Transkript prezentace:

1 STŘÁDÁNÍ Užití GP v praxi 1

2 Nejjednodušší případ, kterým se budeme zabývat v hodinách matematiky
Pravidelně ve stejných časových intervalech ukládáme stále stejnou částku, tzv. vklad (anuita). 2

3 Důležité pojmy: nastřádaná částka vklad, anuita úroková míra úročitel
3

4 Nastřádaná částka, ozn. an
finanční hodnota, kterou nastřádáme, (naspoříme) po n úrokovacích obdobích Vklad, anuita, ozn. a pravidelně ukládaná částka, vždy počátkem úrokovacího období Úroková míra, ozn. p výše odměny vyjádřená v procentech Úročitel, ozn. r 4

5 Označení definovaných veličin odpovídá označení v MFCHT: strana 29, Vzorce finanční aritmetiky.

6 Ukázkový příklad: = 1,05 a = n = p = an = 10 000,- Kč 4 roky 5 % p.a.
Kolik nastřádáme pravidelnými ročními vklady ,- Kč placenými vždy počátkem roku za 4 roky při 5 % p.a.? Zápis: a = n = p = an = 10 000,- Kč 4 roky 5 % p.a.  r = 1,05 ? 6

7 úroky (5 %) / Kč za 1. rok za 2. rok za 3. rok za 4. rok z vkladu z úroku z vkladu z úroku z vkladu z úroku z vkladu 500 25 500 1,25 25 500 2x 3x 3x 1. vklad 10 000 500 25 500 1,25 25 500 0,0625 1,25 25 500 2x an 2. vklad 10 000 500 25 500 1,25 25 500 3. vklad 10 000 500 25 500 4. vklad 10 000 500 Za daných podmínek nastřádáme za 4 roky ,– Kč.

8 ODVOZENÍ VZORCE (střádání)
Jednotlivé vklady se neúročí stejně vklad z prvního roku „vynese“ rozhodně více, než vklad vložen rok poslední Pro úročení vkladů za jednotlivá období využijeme vzorce z předešlé kapitoly – úrokování: konečná jistina určována vždy za 1 rok počáteční jistina vklad na počátku jednotlivých období

9 vklad a z něj vzniklé úroky
2x 3x 3x 1. vklad se úročí nejdéle a proto „vynese“ největší část zisku. 1. vklad 10 000 500 25 500 1,25 25 500 0,0625 1,25 25 500 2x 2. vklad 500 10 000 25 500 1,25 25 500 Naopak poslední vklad „vynese“ pouze jeden úrok z vkladu. 3. vklad 10 000 500 25 500 4. vklad 10 000 500 an ... celková nastřádaná částka Sčítance seřazeny tak, aby měli postupně vzrůstající hodnotu, tj. od posledního vkladu až po první vklad a z nich vzniklých úroků.

10 Celková nastřádaná částka
součet n členů GP: a1 q = ar = r (každý následující sčítanec – člen GP je r krát větší) zúročený vklad + 2. zúročený vklad poslední zúročený vklad 10

11 VZORCE Ze základního vzorce, který vyjadřuje velikost nastřádané částky po n letech, odvodíme obecné vztahy pro výpočet velikostí veličin: vklad, anuita, a počet let, po které vklady střádáme, n 11

12 a = ? strany nejprve zaměníme pro lepší orientaci 12

13 n = ? záměna stran neznámá v exponentu  rovnici logaritmujeme 13

14 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

15 Příklad 1: Kolik nastřádáme pravidelnými ročními vklady ,- Kč placenými vždy počátkem roku za 5 let při 2,5 % p.a.? Řešení: a = ,- Kč n = 5 let p = 2,5 % p.a. an = ?  r = 1,025

16 Příklad 2: Kolik musíme ukládat počátkem každého roku, abychom za 20 let nastřádali ,- Kč při 3,5 % p.a.? Řešení: n = 20 let an = ,- Kč p = 3,5 % p.a. a = ?  r = 1,035

17 Příklad 3: Za jak dlouho nastřádám ,- Kč pravidelnými počátkem roku placenými vklady ,- Kč při 2 % p.a.? Řešení: an = ,- Kč a = ,- Kč p = 2 % p.a. n = ?  r = 1,02

18 PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ

19 4. Kolik nastřádáme pravidelnými ročními vklady 5 000,- Kč placenými vždy počátkem roku za 6 let při 9 % p.a.? 5. Kolik nastřádáme za 10 let pravidelnými počátkem roku placenými vklady 24 000,- Kč při a) 8 % p.a., b) 10 % p.a., c) 12 % p.a.? [41 002,- Kč] [ ,- Kč, b) ,- Kč, c) ,- Kč] 19

20 6. Kolik musíme ukládat počátkem každého roku, abychom za 5 let nastřádali
,- Kč při 9,5 % p.a.? 7. Kolik musíme ukládat počátkem každého roku, abychom za 10 let nastřádali ,- Kč při a) 7 % p.a., b) 9 % p.a., c) 11 % p.a.? [ ,- Kč] [33 821,- Kč, b) ,- Kč, c) ,- Kč] 20

21 8. Za jak dlouho nastřádám ,- Kč pravidelnými počátkem roku placenými vklady ,- Kč při 10,5 % p.a.? 9. Za jak dlouho nastřádám ,- Kč pravidelnými počátkem roku placenými vklady ,- Kč při a) 5 % p.a., b) 10 % p.a., c) 15 % p.a.? [6 let a 8 měsíců] [a) 9 let a 3 měs., b) 7 let a 9 měs., c) 6 let a 9 měs.] 21

22 Použitá literatura: ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, ISBN Kapitola 3, s. 70–77