Kružnice opsaná trojúhelníku

Prezentace na téma: "Kružnice opsaná trojúhelníku"— Transkript prezentace:

1 Kružnice opsaná trojúhelníku
Učili jsme se sestrojit osu úsečky. Postup: Do kružítka vezmeme poloměr r větší než je polovina délky úsečky AB. V bodech A, B sestrojíme oblouky s poloměrem r. Průsečíky oblouků spojíme čerchovanou čarou – osa o úsečky AB. S B A Průsečík osy o a úsečky AB je středem úsečky AB. Označíme S. Osa o úsečky AB je kolmá na úsečku AB. Pro střed S úsečky AB platí: |AS| = |SB|. o Pro libovolný bod X, který leží na ose o úsečky AB platí: |AX| = |XB|. Všechny body osy o mají od krajních bodů úsečky AB stejnou vzdálenost.

2 Kružnice opsaná trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici. Pro libovolný bod X, který leží na ose o úsečky AB platí: |AX| = |XB|. Všechny body osy o mají od krajních bodů úsečky AB stejnou vzdálenost. Všechny body, které mají od daného bodu S stejnou vzdálenost r, leží na kružnici se středem v tomto bodě. Poloměr r této kružnice je roven vzdálenosti bodu S od libovolného bodu. Střed kružnice opsané musí ležet na osách stran. ob C Sa ... střed strany a Sb ... střed strany b Sc ... střed strany c Sb a oa b Průsečík os stran O je stejně vzdálen od všech tří vrcholů trojúhelníku, můžeme zkonstruovat kružnici, která bude vrcholy procházet. Taková kružnice má střed O, poloměr |OA| a nazývá se kružnice opsaná. Sa O c A Sc B k oc

3 Kružnice opsaná trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku.
Střed kružnice opsané leží na průsečíku os stran. Osy všech stran se protnou v jednom bodě – O. Je to střed kružnice opsané trojúhelníku. ob C Sb a oa b r Sa O r r oa ... osa strany a ob ... osa strany b c A Sc B oc ... osa strany c k oc |OA| = |OB| = |OC| = r k(O;r) ... kružnice opsaná ∆ ABC.

4 Sestroj kružnici opsanou ∆ ABC, je-li a = 7 cm, b = 5 cm, c = 6 cm.
Rozbor C Popis konstrukce Z trojúhelníkové nerovnosti: 1. AB; |AB| = c = 6 cm a a = 7 cm b = 5 cm b 2. k; k(B; a = 7 cm) 3. l; l(A; b = 5 cm) Trojúhelník lze sestrojit. B A c c = 6 cm 5. ∆ ABC Konstrukce k Náčrt l C oa Sb Sa O ob b a Střed kružnice opsané ostroúhlému trojúhelníku leží uvnitř trojúhelníku. c Sc A oc B

5 Sestroj kružnici opsanou ∆ ABC, je-li a = 6 cm, b = 45 mm, c = 75 mm.
Rozbor Náčrt C Z trojúhelníkové nerovnosti: a = 6 cm = 60 mm a a = 6 cm b = 45 mm b Trojúhelník lze sestrojit. k B A c c = 75 mm Konstrukce l oa Popis konstrukce ob C 1. AB; |AB| = c = 75 mm Sb 2. k; k(B; a = 6 cm) Sa b a 3. l; l(A; b = 45 mm) 5. ∆ ABC c A Sc = O B Střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku leží ve středu jeho přepony.

6 Sestroj kružnici opsanou ∆ ABC, je-li a = 4 cm, b = 5 cm, c = 7,5 cm.
Rozbor C Náčrt Z trojúhelníkové nerovnosti: b a a = 4 cm b = 5 cm Trojúhelník lze sestrojit. A Konstrukce B c = 7,5 cm c l k oc Popis konstrukce ob oa C 1. AB; |AB| = c = 7,5 cm Sb Sa 2. k; k(B; a = 4 cm) b a 3. l; l(A; b = 5 cm) Sc c A B 5. ∆ ABC O Střed kružnice opsané tupoúhlému trojúhelníku leží vně trojúhelníku. Procvičení: učebnice strana 48 – 49, cvičení 1 – 4, pracovní sešit strana 151, cvičení 1 – 3.

7 Kružnice vepsaná trojúhelníku
Učili jsme se sestrojit osu úhlu. Postup: Zvolíme libovolný poloměr r. Narýsujeme oblouk m kružnice o poloměru r se středem V – vrcholu úhlu AVB tak, aby protnul obě jeho ramena. V průsečících oblouku m s rameny úhlu AVB narýsujeme dva oblouky se stejnými poloměry. Sestrojíme přímku o, která prochází průsečíkem těchto oblouků a vrcholem V. Tato přímka je osa úhlu AVB. B m o V r r A Osa o rozdělí úhel AVB na polovinu, tedy na dva shodné úhly. Všechny body osy úhlu AVB mají od ramen úhlu stejnou vzdálenost.

8 Kružnice vepsaná trojúhelníku je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Každému trojúhelníku lze vepsat kružnici. Všechny body, které mají od daného bodu S stejnou vzdálenost ρ, leží na kružnici se středem v tomto bodě. Poloměr ρ této kružnice je roven vzdálenosti bodu S od libovolného bodu. Všechny body osy úhlu mají od ramen úhlu stejnou vzdálenost. Střed kružnice vepsané musí ležet na osách úhlů trojúhelníku. C oα ... osa úhlu α oβ ... osa úhlu β oγ ... osa úhlu γ S = oα ∩ oβ ∩ oγ oβ oα b a Průsečík os úhlů S je stejně vzdálen od všech tří stran trojúhelníku, poloměr ρ kružnice vepsané se rovná kolmé vzdálenosti středu S od libovolné strany. S oγ ρ k c B A

9 Kružnice vepsaná trojúhelníku je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku.
Střed kružnice vepsané leží na průsečíku os úhlů. Osy všech úhlů se protnou v jednom bodě – S. Je to střed kružnice vepsané trojúhelníku. C γ P oβ oα N b ρ S ρ a oα ... osa úhlu α oγ oβ ... osa úhlu β ρ α k β oγ ... osa úhlu γ c A M B |SM| = |SN| = |SP| = ρ k(S;ρ) ... kružnice vepsaná ∆ ABC. Procvičení: učebnice strana 50 – 51, cvičení 5 – 9, pracovní sešit strana 151 – 153, cvičení 4 – 14.