Nalezení jádra polygonální oblasti Zpracoval: Šafránek David.

Prezentace na téma: "Nalezení jádra polygonální oblasti Zpracoval: Šafránek David."— Transkript prezentace:

1 Nalezení jádra polygonální oblasti Zpracoval: Šafránek David

2 36VGE - Výpočetní geometrie2 Slovník pojmů hranaedgee vrcholvertexv polorovinahalf-planeH polygonpolygon P jádrokernelK ve směru hod. ručičekclockwise protisměru hod. ručičekcounterclockwise Hvězdicovitý polygonstar-shaped, star polygon polygon s neprázdným jádrem

3 36VGE - Výpočetní geometrie3 Terminologie vrcholů  v 0 konvexní, vypouklý (convex)  vnitřní úhel < 180  v 1 konkávní, vydutý, introspektivní (reflex)  vnitřní úhel > 180

4 36VGE - Výpočetní geometrie4 Problém  máme polygon s N vrcholy v rovině, zkonstruujeme jeho jádro

5 36VGE - Výpočetní geometrie5 Definice  množina bodů odkud jsou všechny body polygonu přímo viditelné, aniž by výhled křížila hrana

6 36VGE - Výpočetní geometrie6 Grafická ukázka definice

7 36VGE - Výpočetní geometrie7 Odborná definice Jádro je průnik N polorovin. Každá hrana polygonu P určuje polorovinu, ve které jádro musí ležet. Průnik vnitřních (levých - postupujeme-li proti směru hodinových ručiček) polorovin.

8 36VGE - Výpočetní geometrie8 Pozice bodu vůči orientované přímce  vlevo nebo vpravo  a, b, c určuje přímku  x a y určuje bod  řešíme rovnici w = a. x + b. y + c  w=0: leží na přímce  w < 0: leží v pravé polorovině  w > 0: leží v levé polorovině  při zvolení opačného normálového vektoru (a, b) se změní w znaménko

9 36VGE - Výpočetní geometrie9 Algoritmus  Algoritmus v pořadí prochází vrcholy P a konstruuje konvexní polygony K i. Každý z těchto polygonů může i nemusí být ohraničený.  Polygon K i+1 je tvořen průnikem H n n=0..i+1, a i=0..N-2 (N je počet vrcholů/hran počátečního polygonu).  Takto zkonstruované K i je společný průnik polorovin ležících vlevo od hran P.

10 36VGE - Výpočetní geometrie10 Důsledky algoritmu  Tento výsledek má zřejmé důsledky:  1) K N-1 =K(P) - aplikujeme na všechny hrany  2) K 1 nadmnožinou K 2 - K i+1 = K i "and" H i

11 36VGE - Výpočetní geometrie11 Základní algoritmus  počítáme průnik poloroviny s polygonem  výpočetně náročné

12 36VGE - Výpočetní geometrie12 Chytrý algoritmus  zrychlení pomocí vrcholů F a L, při průniku s polorovinou vymezují jen část jádra, tudíž neprohledáváme celé dosud nalezené jádro

13 36VGE - Výpočetní geometrie13 Vstup  polygon P - uspořádané vrcholy (hrany)  e i následované v i

14 36VGE - Výpočetní geometrie14 Výstup  když bude K(P) neprázdný, pak výstup bude také ve formě posloupnosti vrcholů (hran)

15 36VGE - Výpočetní geometrie15 Triviální případ  N < 3: není polygon  N = 3: jádro je totožné s polygonem

16 36VGE - Výpočetní geometrie16 Úvodní krok  Nalezení konkávního vrcholu a vygenerování výchozího neuzavřeného jádra K 1. Není-li vrchol nalezen, pak polygon P je konvexní, jedná se o triviální případ - jádro je totožné s polygonem K(P)=P. Tudíž připustíme, že v 0 je konkávní vrchol.  Určení F 1 jako bod v nekonečnu na přímce e 1 ve směru v 0 a L 1 obdobně na přímce e 0 ve směru v 0.

17 36VGE - Výpočetní geometrie17 Grafická zobrazení prvního kroku

18 36VGE - Výpočetní geometrie18 Hlavní krok  máme-li K i, pak zhotovíme K i+1 tak, že vezmeme další vrchol v pořadí (v i ) a spočteme K i+1  dále upravíme F i a L i tak, že spojnice s aktuálním bodem v i polygonu neprotíná žádné jeho hrany  detailní popis algoritmu obsahuje značné větvení (konvexní | konkávní vrchol, F (L) leží vpravo | vlevo)

19 36VGE - Výpočetní geometrie19 Podmínka pro F a L

20 36VGE - Výpočetní geometrie20 1.1 Konkávní vrchol, F leží vpravo od od e i+1 v i+1

21 36VGE - Výpočetní geometrie21  procházíme K proti směru hodinových ručiček od F dokud nenalezneme průsečík (w 1 ) s e i+1 v i+1, dojdeme-li až k L, pal je K(P)=Ø

22 36VGE - Výpočetní geometrie22  procházíme K po směru hodinových ručiček od F dokud nenalezneme průsečík (w 2 ) s e i+1 v i+1, ořízneme K podle hrany w 1 w 2

23 36VGE - Výpočetní geometrie23  F: je na konci hrany w 1 w 2

24 36VGE - Výpočetní geometrie24  L: procházíme K proti směru hodinových ručiček od L dokud nenajdeme vrchol w, takový, že následující vrchol leží vpravo od v i+1 (v i+1 w), pak L i+1 =w jinak zůstává

25 36VGE - Výpočetní geometrie25 1.2 Konkávní vrchol, F leží vlevo od od e i+1 v i+1

26 36VGE - Výpočetní geometrie26  K zůstává stejné.  F: procházíme K protisměru hodinových ručiček od F dokud nenajdeme vrchol w, takový, že následující vrchol leží vpravo od v i+1 (v i+1 w), pak F i+1 =w jinak zůstává

27 36VGE - Výpočetní geometrie27  L: stejně jako v případě 1.1  1.1: procházíme K proti směru hodinových ručiček od L dokud nenajdeme vrchol w, takový, že následující vrchol leží vpravo od v i+1 (v i+1 w), pak L i+1 =w jinak zůstává

28 36VGE - Výpočetní geometrie28 2.1 L leží na nebo vpravo od e i+1 v i+1

29 36VGE - Výpočetní geometrie29  procházíme K po směru hodinových ručiček od L dokud nenalezneme průsečík (w 1 ) s e i+1 v i+1, dojdeme-li až k L je K(P)=Ø

30 36VGE - Výpočetní geometrie30  procházíme K proti směru hodinových ručiček od L dokud nenalezneme průsečík (w 2 ) s v i e i+1. Provedeme oříznutí hranou w 1 w 2

31 36VGE - Výpočetní geometrie31 2.2 L leží vlevo od e i+1 v i+1

32 36VGE - Výpočetní geometrie32  K zůstává stejné.  F: stejně jako v případě 1.2  1.2 procházíme K protisměru hodinových ručiček od F dokud nenajdeme vrchol w, takový, že následující vrchol leží vpravo od v i+1 (v i+1 w), pak F i+1 =w jinak zůstává

33 36VGE - Výpočetní geometrie33  L: je-li K ohraničené tak jako 1.1 jinak zůstává  1.1: procházíme K proti směru hodinových ručiček od L dokud nenajdeme vrchol w, takový, že následující vrchol leží vpravo od v i+1 (v i+1 w), pak L i+1 =w jinak zůstává

34 36VGE - Výpočetní geometrie34 Složitost  paměťová složitost O(n)  jádro polygonální oblasti může být zkonstruováno v optimálním čase O(n)  nejhorší složitost nastane pro následující instanci - polygon bez jádra, kde má daný algoritmus časovou složitost O(N 2 )

35 36VGE - Výpočetní geometrie35 Nejhorší případ

36 36VGE - Výpočetní geometrie36 Řešení  ukončit algoritmus jakmile obteče v úhlu větším než 3π kterýkoliv bod částečného jádra K

37 36VGE - Výpočetní geometrie37 Applet  http://web.informatik.uni- bonn.de/I/GeomLab/VisPolygon/index.html.en

38 36VGE - Výpočetní geometrie38 Použití  zjištění, zda je polygon hvězdicovitý  umístění všesměrového vysílače

39 36VGE - Výpočetní geometrie39 Další algoritmy  Competitive strategy (Závodní strategie)  nalezení bodu jádra polygonální oblasti - maximálně 5.333x delší než nejkratší cesta, předpokládá rozhled 360° - využití v robotice

40 36VGE - Výpočetní geometrie40 Zobecnění do více prostorů  při přechodu do trojrozměrného prostoru je třeba přímky nahradit rovinami, a najít uspořádání všech trojúhelníků (tesselace) v objektu

41 36VGE - Výpočetní geometrie41 Kde získat další informace  Franco P. Preparata: Computational Geometry  http://www.pi6.fernuni-hagen.de/publ/tr211.pdf

42 36VGE - Výpočetní geometrie42 Dotazy

43 36VGE - Výpočetní geometrie43 Děkuji za pozornost