2.2. Dynamika hmotného bodu … Newtonovy zákony

Prezentace na téma: "2.2. Dynamika hmotného bodu … Newtonovy zákony"— Transkript prezentace:

1 2.2. Dynamika hmotného bodu … Newtonovy zákony
Použití druhého pohybového zákona Práce, výkon Kinetická energie Zákon zachování mechanické energie Hybnost 2.3 Mechanika soustavy hmotných bodů Hmotný střed 1. věta impulsová Fyzika I-2019, přednáška 2

2 Použití druhého pohybového zákona
𝐹 𝑥 𝑅 =𝑚 𝑎 𝑥 2. N. z. představuje pohybové rovnice 1. využití: ze známé síly z pohybových rovnic → pohybové funkce a ostatní charakteristiky pohybu pohybová rovnice ≡ vztah pohybové funkce x (t), y (t), z (t) – popisují pohyb Dáno: síla a počáteční podmínky Postup: volba souřadnicového systému v něm se řeší pohybové rovnice integrací 𝐹 𝑦 𝑅 =𝑚 𝑎 𝑦 𝐹 𝑧 𝑅 =𝑚 𝑎 𝑧 Fyzika I-2019, přednáška 2

3 Šikmý vrh ≡ pohyb v poli tíhové síly
𝐹 𝐺 =𝑚 𝑔 ℎ výška ℎ místo dopadu 𝑥 𝑑 tvar trajektorie Fyzika I-2019, přednáška 2

4 Speciální případy šikmého vrhu: vodorovný vrh: a = 0°
(závaží puštěno z koše balonu letícího vodorovně) svislý vrh vzhůru: a = 90° svislý vrh dolů: a = 270° = - 90° volný pád: v0=0 Šikmý vrh 𝑣 0 sin 𝛼 𝑣 0 cos 𝛼 x Fyzika I-2019, přednáška 2

5 těleso na vodorovné podložce v klidu na těleso tíhová síla 𝐹 𝐺
Některé síly v přírodě 2. Normálová síla na těleso N – síla, kterou podložka působí na těleso směrem kolmým k podložce kolmá složka síly, kterou těleso působí na podložku těleso na vodorovné podložce v klidu na těleso tíhová síla 𝐹 𝐺 těleso působí na podložku N ≡ reakce podložky na kolmou složku síly, kterou působí těleso na podložku 𝐹 𝑅 = 0 těleso na nakloněné rovině Fyzika I-2019, přednáška 2

6 𝑓…koeficient tření (statický, dynamický), 𝑁 je normál. síla
Některé síly v přírodě 3. Síla tření 𝑓…koeficient tření (statický, dynamický), 𝑁 je normál. síla není to vektorová rovnice: síla tření působí v jiném směru než normálová síla !!! směr: působí proti pohybu 𝐹 𝑡 =𝑓𝑁 Fyzika I-2019, přednáška 2

7 Použití druhého pohybového zákona
Dáno: síla a počáteční podmínky Cíl: pohybové charakteristiky (pohybové funkce, …) Postup: volba souřadnicového systému v něm se řeší pohybové rovnice integrací Fyzika I-2019, přednáška 2

8 Použití druhého pohybového zákona
2. Pohyb po nakloněné rovině: dáno: m, a, f , poč. podm. 𝑣0=0, 𝑥0=0 síly? souřadnicový systém tabule rovnoměrně zrychlený pohyb podél osy x plnou čarou Fyzika I-2019, přednáška 2

9 Použití druhého pohybového zákona 3. Pohyb po kružnici
𝐹 = 𝐹 𝜏 𝜏 0 + 𝐹 𝑛 𝑛 0 rozklad do přir. směrů: tečná složka síly – mění velikost rychlosti normálová sl. rovnoměrný pohyb po kružnici – 𝑣 = konst dostředivá síla – mění směr rychlosti 𝐹 𝜏 =𝑚 𝑎 𝜏 =𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝐹 𝑛 =𝑚 𝑎 𝑛 =𝑚 𝑣 2 𝑅 𝐹 𝜏 =0 𝐹 𝑛 =𝑚 𝑣 2 𝑅 =𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 9 Fyzika I-2019, přednáška 2

10 práce - skalární veličina, dráhové účinky síly
Práce, výkon práce - skalární veličina, dráhové účinky síly 𝑑𝑊=𝐹 cos 𝛼 𝑑𝑟= 𝐹 ∙𝑑 𝑟 projekce 𝐹 do směru 𝑑 𝑟 𝑊 𝐴→𝐵 = 𝐴 𝐵 𝐹𝑑𝑟 cos 𝛼 𝑊 𝐴→𝐵 = 𝐴 𝐵 𝐹 ∙𝑑 𝑟 Kdy 𝑑𝑊=0? k práci přispívá pouze tangenciální (tečná) složka síly, normálová složka k práci nepřispívá jedn. práce joule, J eV (elektronvolt) 𝑊 𝐴→𝐵 = 𝐴 𝐵 𝐹 𝑥 𝑑𝑥+ 𝐹 𝑦 𝑑𝑦+ 𝐹 𝑧 𝑑𝑧

11 Práce, výkon výkon P jedn. výkonu watt, W účinnost 𝑃= 𝑑𝑊 𝑑𝑡 𝑃= 𝐹 ∙ 𝑣 𝑃= 𝑃 𝑃 %

12 Práce, výkon 1. Práce tíhové síly
𝑊 𝐴→𝐵 = 𝐴 𝐵 𝐹 𝑥 𝑑𝑥+ 𝐹 𝑦 𝑑𝑦+ 𝐹 𝑧 𝑑𝑧 Práce, výkon 1. Práce tíhové síly tabule W > 0 pro yA > yB W nezávisí na trajektorii práce konzervat. síly po uzavř. kř. je rovna 0 𝑊=𝑚𝑔( 𝑦 𝐴 − 𝑦 𝑏 ) Práce konzervativní síly po dráze závisí pouze na poloze počátečního a koncového bodu trajektorie. 12

13 W < 0 – disipativní síla
𝑊 𝐴→𝐵 = 𝐴 𝐵 𝐹𝑑𝑟 cos 𝛼 2. Práce síly tření Ft = N f = konst tabule W < 0 – disipativní síla W závisí na trajektorii, není konzervativní síla (při pohybu po černé trajektorii se disipuje více mechanické energie než po červené trajektorii) 𝑊=−𝑁𝑓𝑠 Fyzika I-2019, přednáška 2 13

14 práce dostředivé síly je nulová
𝑑𝑊=0 14 Fyzika I-2019, přednáška 2

15 změna pohybového stavu – působení síly po dráze – práce
Kinetická energie změna pohybového stavu – působení síly po dráze – práce veličina kinetická energie 𝐸 𝑘 : dynamická veličina, která souvisí s pohybem a která se vykonanou prací mění tabule Pozn. výsledná síla může být konzervativní a/nebo disipativní síly Př. Spočtěte rychlost vs tělesa hmot. m na úpatí nakloněné roviny délky s, úhlu a, t = 0: v = 0 𝐸 𝑘 = 1 2 𝑚 𝑣 2 teorém práce – kinetická energie, věta o kin. energii: změna kinetické energie tělesa je rovna práci výsledné síly vykonané na tělese 𝐸 𝑘𝐵 − 𝐸 𝑘𝐴 = 𝑊 𝐴→𝐵 Δ𝐸 𝑘 = 𝑊 𝐴→𝐵 A B

16 Potenciální energie veličina – rozměr práce souvisí s polohou tělesa, „polohová energie“ Def. Jestliže konzervativní síla vykoná práci na tělese, změní se jeho potenciální energie 𝐸 𝑝 : Def. Pot. en. v místě 𝑟 je práce, kterou konz. síla vykoná při přemístění tělesa do místa s nulovou pot. en.: Jiné vyjádření: Práce vykonaná konzervativní sílou je rovna úbytku potenciální energie. 𝐸 𝑝𝐵 = 𝐸 𝑝𝐴 − 𝐴 𝐵 𝐹 𝑘𝑜𝑛𝑧 ⋅𝑑 𝑟 𝐸 𝑝 𝑟 = 𝑟 𝐸 𝑝 =0 𝐹 𝑘𝑜𝑛𝑧 ⋅𝑑 𝑟 𝐴 𝐵 𝐹 𝑘𝑜𝑛𝑧 ⋅𝑑 𝑟 = 𝐸 𝑝𝐴 − 𝐸 𝑝𝐵 =−∆ 𝐸 𝑝 jen pro tělesa v poli konzervativní síl (práce nesmí záležet na cestě, ale jen na počáteční a koncové poloze) fyzikální význam má jen rozdíl potenciálních energií

17 Př. potenciální energie v poli tíhové síly
𝐸 𝑝 𝑟 = 𝑟 𝐸 𝑝 =0 𝐹 𝑘𝑜𝑛𝑧 ⋅𝑑 𝑟 Potenciální energie Př. potenciální energie v poli tíhové síly potenciální energie spojená s jinou konzervativní silou má jiný tvar !!! 𝐸 𝑝 =𝑚𝑔 𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐵 =𝑚𝑔ℎ ℎ je výška nad úrovní nulové pot. en. 𝐸 𝑝 =0 Fyzika I-2019, přednáška 2

18 Zákon zachování mechanické energie
𝐴 𝐵 𝐹 𝑘𝑜𝑛𝑧 ⋅𝑑 𝑟 = 𝐸 𝑝𝐴 − 𝐸 𝑝𝐵 Zákon zachování mechanické energie teorém práce-kin. energie platí pro konzer. i disip. síly → tabule … mechanická energie … práce disipativní síly vede ke změně mechanické energie Zákon zachování mech. energie: Jestliže na těleso nepůsobí žádná disipativní síla, mech. energie se nemění DE = 0 EA = EB EkA + EpA = EkB + EpB z.z.m.e. platí jen v konzervativních systémech teorém práce-kinetická energie platí vždy, i pro disipativní síly 𝐸 𝑘𝐵 − 𝐸 𝑘𝐴 = 𝑊 𝐴→𝐵 𝑘𝑜𝑛𝑧 + 𝑊 𝐴→𝐵 𝑑𝑖𝑠 𝐸 𝑘 + 𝐸 𝑝 =𝐸 Δ𝐸= 𝑊 𝑑𝑖𝑠 Fyzika I-2019, přednáška 2 18

19 Př. a) Výška šikmého vrhu ℎ, dáno: 𝑚, 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑣 0 , a
b) rychlost 𝑣 𝐶 určitém bodě trajektorie Př. Rychlost dopadu 𝑣 𝐵 po volném pádu z výšky ℎ A B A C B 𝐸 𝑝 =0 𝐸 𝑝 (𝑦=0)=0 19 Fyzika I-2019, přednáška 2

20 Hybnost, impuls (ve skriptech odd. 2.2.2)
dynamická veličina hybnost 𝑝 1. formulace 2. N. z. Impuls síly 𝐼 úpravou 2. N.z. tabule 𝐹 𝑅 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ 𝐼 = 𝐹 𝑅 ( 𝑡 2 − 𝑡 1 )= 𝐹 𝑅 ∆𝑡 využití 2. formulace 2. N. z. – soustava hmotných bodů, srážky 𝑝 =𝑚 𝑣 2. formulace 2. N. z. 𝐹 𝑅 =𝑚 𝑎 𝐹 𝑅 = 𝑑 𝑝 𝑑𝑡 𝐹 𝑅 = 𝑑(𝑚 𝑣 ) 𝑑𝑡 =𝑚 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 =𝑚 𝑎 𝑝 2 − 𝑝 1 = 𝑡 1 𝑡 2 𝐹 𝑅 𝑑𝑡 = 𝐼 impuls síly 𝐼 - časový účinek síly impuls síly vyvolává změnu hybnosti Fyzika I-2019, přednáška 2

21 2.3 Mechanika soustavy hmotných bodů
soustava hmotných bodů: 𝑛 hmotných bodů, 𝑖-tý hmotný bod: 𝑚 𝑖 , 𝑟 𝑖 volná s vazbami tuhá (další aproximace – tuhé těleso) počet stupňů volnosti: počet nezávislých parametrů určujících polohu soustavy Soustava Počet stupňů volnosti 1 hmot. bod 3 n hmot. bodů (volných) 3n 2 hmot. body – tuhá soustava = 5 3 hmot. body – tuhá soustava = 6 n hmot. bodů – tuhá soustava 6 Fyzika I-2019, přednáška 2

22 (v místě hmotného středu nemusí existovat žádný hmotný bod)
Hmotný střed soustavy poloha hmot. středu: (v místě hmotného středu nemusí existovat žádný hmotný bod) hybnost soustavy 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 hybnost hm. stř. 𝑚 𝑣 𝑇 hybnost hmotného středu = celková hybnost soustavy 𝑟 𝑇 = 1 𝑚 𝑖=1 𝑛 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 , 𝑚= 𝑖=1 𝑛 𝑚 𝑖 𝑚 𝑣 𝑇 = 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑖 = 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 Fyzika I-2019, přednáška 2

23 1. věta impulsová spojuje zákon síly a zákon akce a reakce
𝑚 𝑣 𝑇 = 𝑖=0 𝑛 𝑝 𝑖 = 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 1. věta impulsová 𝑑 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 𝑑𝑡 Počítejme tabule Změna celkové hybnosti soustavy za jednotku času je rovna výslednici vnějších sil. Vnitřní síly celkovou hybnost soustavy neovlivňují. 1. věta impulsová spojuje zákon síly a zákon akce a reakce Věta o pohybu hmotného středu Hm. střed se pohybuje jako hm. bod, do kterého je soustředěna celá hmotnost soustavy a na který působí výslednice vnějších sil. Zákon zachování hybnosti - důsledek 1. věty impulsové 𝑑 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑒𝑥𝑡 1. věta impulsová 𝑚 𝑎 𝑇 = 𝐹 𝑒𝑥𝑡 𝑑 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 𝑑𝑡 = 0 𝐹 𝑒𝑥𝑡 = 0 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘,𝐴 = 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘,𝐵

24 Soustava hmotných bodů
Srážky 𝑑 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑒𝑥𝑡 Soustava hmotných bodů např. kulečníkové koule na stole, ideální plyn tvořený „molekulami“ vnější síly se vyruší nebo jsou malé ve srovnání s vnitřními silami zákon zach. hybnosti Srážka 𝐹 𝑒𝑥𝑡 = 0 ⇒ 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 (A) (B) 𝑝 𝐴 = 𝑝 𝐵 celková hybnost před srážkou (A) = celková hybnost po srážce (B) na obou stranách: vektorový součet hybností všech těles !!! Fyzika I-2019, přednáška 2

25 dokonale pružné: navíc EkA = EkB
Srážky 𝑝 𝐴 = 𝑝 𝐵 dokonale pružné: navíc EkA = EkB dokonale nepružné, EkB < EkA – navíc po srážce tělesa spojena 𝑚 1 𝑚 2 x zákon zachování pro hybnost nikoli „celkovou rychlost“ znaménko vypočtené rychlosti Fyzika I-2019, přednáška 2

26 https://ufmt.vscht.cz/index.php/cs/pozadavky-ke-zkouskam-terminy-testu
Fyzika I-2019, přednáška 2

27 3. Mechanika tuhého tělesa
Srážky 3. Mechanika tuhého tělesa Organizační in formace 1. průběžný test 8. týden, pátek , max. 100 bodů 2. průběžný test 13. týden, pátek , max. 100 bodů Fyzika I-2019, přednáška 2