Soustavy lineárních rovnic

Prezentace na téma: "Soustavy lineárních rovnic"— Transkript prezentace:

1 Soustavy lineárních rovnic
Matematika 9. ročník Soustavy lineárních rovnic Creation IP&RK

2 O B S A H: Lineární rovnice se dvěma neznámými
Soustava dvou rovnic se dvěma neznámými Typy řešení soustav Metoda dosazovací (substituční) Metoda sčítací (adiční) Metoda srovnávací (komparační) a grafická Příklady s různými typy řešení

3 Lineární rovnice se dvěma neznámými:
Rovnice tvaru ax + by + c = 0, kde a, b, c  R jsou konstanty a x, y R jsou dvě neznámé. Příkladem takové rovnice jsou například rovnice: Jestliže si za jednu neznámou zvolíme libovolné číslo, druhou neznámou již snadno dopočítáme. Řešením pak bude uspořádaná dvojice [x; y] Takovýchto řešení nalezneme nekonečně mnoho … My se naučíme řešit takzvané soustavy dvou rovnic, t.j hledáme takovou uspořádanou dvojici čísel, která vyhovují oběma rovnicím.

4 Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých
Soustavou dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými je každá dvojice rovnic, kterou lze pomoci ekvivalentních úprav převést na tvar: kde a, b, c, k, l, m jsou reálná čísla a x a y neznámé. Řešením této soustavy je uspořádaná dvojice čísel [x; y], která vyhovují oběma rovnicím.

5 Početní metody a možné výsledky soustavy lineárních rovnic:
Existují tři základní početní metody řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y  R: Metoda dosazovací. Metoda sčítací. Metoda srovnávací. Existují i tři možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y  R: Řešením soustavy je jedna uspořádaná dvojice. Řešením soustavy je nekonečně mnoho uspořádaných dvojic. Soustava rovnic nemá žádné řešení.

6 Ekvivalentní úpravy soustavy rovnic:
Nahrazení libovolné rovnice soustavy rovnicí s ní ekvivalentní. Nahrazení libovolné rovnice soustavy součtem této rovnice a libovolné další rovnice soustavy. Dosazení neznámé z jedné rovnice soustavy do jiné její rovnice. Cílem početních operací při výpočtu soustavy lineárních rovnic je získat řešení, tedy nalézt všechny uspořádané dvojice [x; y], které po dosazení do soustavy splní všechny její rovnice. Základním principem těchto operací je vyloučení (eliminace) jedné z neznámých, a tím výpočet té druhé. Následně pak pomocí ní výpočet té první.

7 Metoda dosazovací (substituční)
- z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou - takto získaný výraz dosadíme do druhé rovnice soustavy - tím získáme jednu lineární rovnici, kterou vyřešíme 1. Příklad: Najděte řešení soustavy lineárních rovnic:

8 Metoda dosazovací (substituční)
krok: Z jedné rovnice soustavy vyjádříme jednu neznámou pomocí druhé neznámé. Například z druhé rovnice vyjádříme neznámou x pomocí neznámé y. 2.krok: Získaný výraz dosadíme do první rovnice za neznámou x.

9 Metoda dosazovací (substituční)
3.krok: Dostaneme rovnici s jednou neznámou, kterou už umíme vyřešit. 4.krok: Nyní dosadíme y = -2 do výrazu vyjádřeného v prvním kroku řešení: Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [x; y] = [2;- 2]. Zapíšeme výsledek:

10 Metoda dosazovací (substituční)
5.krok: Získali jsme dvojici čísel x = 2 a y = -2, tedy uspořádanou dvojici [2;-2]. Přesvědčíme se, že je řešením první i druhé rovnice soustavy. A je to hotové!!! 

11 Metoda dosazovací (substituční)
Počítej sám ….. 2.Příklad: Najděte řešení soustavy lineárních rovnic: 1.krok: například z první rovnice vyjádříme neznámou x pomocí neznámé y. 2.krok: Získaný výraz dosadíme do druhé rovnice za neznámou x.

12 Metoda dosazovací (substituční)
3.krok: Dostaneme rovnici s jednou neznámou, kterou už umíme vyřešit. 4.krok: Nyní dosadíme y = 1 do výrazu vyjádřeného v prvním kroku řešení: Řešením soustavy je:

13 Najít „šikovný“ postup často podstatně zjednoduší počítání !!! 
Metoda dosazovací (substituční) 5.krok: Zkouška – ta už je na tobě … Jak se ti líbilo počítání se zlomkem ???? Nebylo jednodušší si vyjádřit y ze druhé rovnice a dosadit do první … Zkus to!!!! Najít „šikovný“ postup často podstatně zjednoduší počítání !!! 

14 Metoda dosazovací (substituční)
Shrnutí postupu: 1. krok: Z jedné rovnice soustavy vyjádříme jednu neznámou pomocí druhé neznámé (Například z první rovnice vyjádříme neznámou x pomocí neznámé y). 2. krok: Získaný výraz dosadíme do druhé rovnice za druhou neznámou. 3. krok: Dostaneme rovnici s jednou neznámou, kterou vyřešíme. 4. krok: Dosadíme první vypočítanou neznámou do výrazu vyjádřeného v prvním kroku řešení a vypočítáme druhou neznámou. 5. krok: Ověření správnosti řešení (zkouška). Zapíšeme řešení – uspořádanou dvojici [x; y]. A nyní už vzhůru na řešení soustav rovnic.

15 Metoda dosazovací (substituční)
Příklady na procvičení: Mnoho zdaru v počítání !!! 

16 Metoda sčítací (adiční)
- jednotlivé rovnice násobíme (vydělíme) vhodnými čísly tak, abychom po sečtení upravených rovnic získali jednu lineární rovnici s jednou neznámou /.(-1) Jednu z rovnic vynásobíme (-1) Rovnice sečteme. Vznikne rovnice s jednou neznámou, kterou vyřešíme.

17 Metoda sčítací (adiční)
Dosazením x = 2 do jedné z rovnic, vypočítáme druhou neznámou. Zapíšeme výsledek: A na závěr zkouška:

18 Vyzkoušíme oba postupy (zkoušky nechám na tobě  )
Metoda sčítací (adiční) 2.Příklad: Najděte řešení soustavy lineárních rovnic: Zde se nám nabízí dvě možnosti, jak postupovat. „vyrušíme“ neznámou x tak, že první rovnici vynásobíme -2 „vyrušíme“ neznámou y tak, že první rovnici vynásobíme -3 Vyzkoušíme oba postupy (zkoušky nechám na tobě  )

19 Metoda sčítací (adiční)
a) „vyrušíme“ x: /.(-2) Zapíšeme výsledek:

20 Metoda sčítací (adiční)
/.(-3) b) „vyrušíme“ y: Zapíšeme výsledek:

21 Metoda sčítací (adiční)
Shrnutí postupu: Podstatou této metody je, že jednotlivé rovnice nejprve násobíme takovými čísly (různými od nuly), aby členy s jednou z neznámých představovaly po této úpravě opačné výrazy a jejich součet byl nula. Po sečtení upravených rovnic dostaneme jednu lineární rovnici s jednou jedinou neznámou. Při řešení soustavy sčítací metodou je tedy nejdůležitější najít vhodná čísla, kterými budeme jednotlivé rovnice násobit. Rovnice soustavy nebudou vždy již v zadání ve tvaru ax+by=c. V takovém případě je ještě před tím, než začneme hledat vhodná čísla, kterými budeme jednotlivé rovnice násobit, do tohoto tvaru upravíme.

22 Metoda sčítací (adiční)
Příklady na procvičení:

23 Metoda srovnávací (komparační)
- z obou rovnic vyjádříme stejnou neznámou pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření vypočítáme první neznámou. A řešíme …

24 Metoda srovnávací (komparační)
Vypočítanou neznámou y dosadíme do libovolné z rovnic a vypočítáme druhou neznámou: Výsledkem je uspořádaná dvojice [x; y]:

25 Grafická metoda Kromě početních metod, zmiňovaných výše, můžeme použít i grafickou metodu řešení soustav rovnic. Třeba takovou: Postupujeme tak, že z první i druhé rovnice si vyjádříme neznámou y. Tím jsme z nich dostali dvě lineární funkce, které již jen zbývá vynést do grafu a najít jejich průsečík. Průsečík znamená, že jsme našli hledanou dvojici neznámých:  [x; y] = [2; 2] Tato metoda ale není součástí této prezentace.

26 Příklady s různými typy řešení
Existují tři možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y  R: Řešením soustavy je jedna uspořádaná dvojice. Řešením soustavy je nekonečně mnoho uspořádaných dvojic. Soustava rovnic nemá žádné řešení. První případ – to jsou příklady, které jsme doposud řešili ….

27 Příklady s různými typy řešení
Řešením soustavy je nekonečně mnoho uspořádaných dvojic. Zvolíme dosazovací metodu Dopočítáváme druhou neznámou y a získáme výsledný tvar: Což je pravda - pravdivý výrok. Takový výsledek znamená, že soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení. Výsledek naší soustavy zapíšeme ve tvaru:

28 Příklady s různými typy řešení
Soustava rovnic nemá žádné řešení. Zvolíme dosazovací metodu Dopočítáváme druhou neznámou y a získáme výsledný tvar: Což není pravda - nepravdivý výrok. Této rovnici nevyhovuje žádné reálné číslo, výsledkem tedy je, že soustava rovnic nemá řešení:

29 A jeden složitější příklad na závěr:
Řešte soustavu rovnic s neznámou x, y: Každou rovnici upravujeme zvláště – až do základního tvaru (tj. dál nemůžeme dělat nic … )

30 Dosadíme do jedné z rovnic hodnotu y a dopočítáme druhou neznámou x.
+ zkouška ….

31 Konec prezentace