Cauchyho rozdělení spojité náhodné veličiny

Prezentace na téma: "Cauchyho rozdělení spojité náhodné veličiny"— Transkript prezentace:

1 Cauchyho rozdělení spojité náhodné veličiny
Cauchyho-Lorentzovo rozdělení hustota pravděpodobnosti: normovací podmínka: střední hodnota a disperze nejsou definovány momenty mn divergují pro Lorentzova funkce

2 Cauchyho rozdělení – příklad: nucené kmity
harmonická budící síla: pohybová rovnice: řešení: jak se chová amplituda? a energie?

3 Cauchyho rozdělení – příklad: šířka spektrální čáry
Wigner: Heissenberg: doba života:

4 Normální rozdělení spojité náhodné veličiny Gaussovo rozdělení
hustota pravděpodobnosti: střední hodnota: disperze: standardní (normované) Gaussovo rozdělení:

5 Normální rozdělení spojité náhodné veličiny příklady N(m,s): N(0,1):

6 Normální rozdělení - příklad: difuze
Fickův 2. zákon: řešení pro jednu dimenzi:

7 c2 rozdělení spojité náhodné veličiny
Náhodná veličina w má rozdělení N(0,1). Jaké je rozdělení sumy w2 při n-násobném nezávislém opakování? Parametr n se nazývá počet stupňů volnosti. střední hodnota: disperze: aplikace ve statistice (např. c2 test) funkce gamma

8 Studentovo t-rozdělení
spojité náhodné veličiny Mějme dvě nezávislé náhodné veličiny x, y: Náhodná veličina x má (opět) rozdělení N(0,1). Náhodná veličina y má rozdělení c2(n), normované počtem stupňů volnosti n. Studentovo t-rozdělení: Parametr n opět vyjadřuje počet stupňů volnosti. střední hodnota: disperze: (pro n > 2)

9 Boltzmannovo rozdělení
spojité náhodné veličiny Příklad: dvouhladinový systém mějme systém částic, které mohou zaujímat dva stavy (s různou E): Jak jsou hladiny obsazeny při teplotě T? DE = 10 meV

10 Rozdělení pravděpodobnosti
diskrétní náhodná proměnná rovnoměrné rozdělení binomické rozdělení Poissonovo rozdělení spojitá náhodná proměnná Cauchyho rozdělení normální (Gaussovo) rozdělení c2-rozdělení (Studentovo) t-rozdělení Boltzmannovo rozdělení

11 Distribuční funkce diskrétní náhodná proměnná spojitá náhodná proměnná
Rozdělení pravděpodobnosti Distribuční funkce: spojitá náhodná proměnná Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce: Pravděpodobnost že je:

12 Distribuční funkce příklad rovnoměrné rozdělení:
hustota pravděpodobnosti distribuční funkce

13 Distribuční funkce příklad Gaussovo rozdělení:
hustota pravděpodobnosti distribuční funkce

14 Medián, modus Medián Pro medián náhodné veličiny x platí: Modus
Charakteristiky významově podobné střední hodnotě . Medián Pro medián náhodné veličiny x platí: Je méně ovlivněn extrémními hodnotami. Cauchyho rozdělení Modus Hodnota, která se v souboru vyskytuje nejčastěji. distribuční funkce

15 Momenty hustota pravděpodobnosti operátor střední (očekávané) hodnoty
n-tý moment: n-tý centrální moment: 1. moment - střední hodnota 2. centrální moment - disperze, rozptyl, variance

16 Momenty 3. centrální moment - asymetrie, šikmost (skewness)
4. centrální moment - koef. špičatosti (kurtosis) (3. standardizovaný centrální moment) (4. standardizovaný centrální moment)