Aplikace Bayesovy věty v biomedicíně (Vzorový příklad)

Prezentace na téma: "Aplikace Bayesovy věty v biomedicíně (Vzorový příklad)"— Transkript prezentace:

1 Aplikace Bayesovy věty v biomedicíně (Vzorový příklad)

2 Zadání problému: Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, zabíjí každého, kdo tuto nemoc dostane. Bez výjimky. Žádné účinné léky na tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce. Martin si dělá starosti o své zdraví, a proto, aniž by měl jakékoliv příznaky, se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů. A je už jedno, zda tuto nemoc máte, nebo nemáte. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Martin podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek. Výsledek je pozitivní, podle vyšetření Martin tuto zákeřnou nemoc skutečná má. Martinovi se zatmělo před očima a už si šel vybírat rakev. Opravdu je to tak nutné? Jaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc má?

3 Zadání problému: Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, zabíjí každého, kdo tuto nemoc dostane. Bez výjimky. Žádné účinné léky na tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce. Martin si dělá starosti o své zdraví, a proto, aniž by měl jakékoliv příznaky, se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů. A je už jedno, zda tuto nemoc máte, nebo nemáte. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Martin podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek. Výsledek je pozitivní, podle vyšetření Martin tuto zákeřnou nemoc skutečná má. Martinovi se zatmělo před očima a už si šel vybírat rakev. Opravdu je to tak nutné? Jaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc má?

4 Takovéto problémy směřují k řešení pomocí věty o úplné pravděpodobnosti, popř. pomocí Bayesovy věty.

5 Označme jevy související s analyzovaným problémem:
pacient je nemocen Z pacient je zdráv T+ výsledek testu je pozitivní T- výsledek testu je negativní

6 pravděpodobnost, že pacient je nemocen
Dále označme zadané pravděpodobnosti: P(N) pravděpodobnost, že pacient je nemocen P(Z) pravděpodobnost, že pacient je zdráv P(T+|Z) pravděpodobnost, že výsledek testu je pozitivní, je-li pacient zdráv P(T+|N) pravděpodobnost, že výsledek testu je pozitivní, je-li pacient nemocen P(T-|Z) pravděpodobnost, že výsledek testu je negativní, je-li pacient zdráv P(T-|N) pravděpodobnost, že výsledek testu je negativní, je-li pacient nemocen

7 Pro přehledný zápis situace použijeme rozhodovací strom.

8 Nejdříve rozdělíme celou populaci na zdravé a nemocné.
Populace N Z Daný stav

9 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Podstoupí-li pacient test na protilátky, může být výsledek pozitivní (T+) nebo negativní (T-), ať již je skutečný stav pacienta jakýkoliv. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu

10 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Na spojnice prvního větvení zapisujeme pravděpodobnosti výskytu daného stavu. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu

11 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Na spojnice prvního větvení zapisujeme pravděpodobnosti výskytu daného stavu. Nemocí trpí jeden pacient z desetitisíce. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 P(N) = 0,0001

12 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Na spojnice prvního větvení zapisujeme pravděpodobnosti výskytu daného stavu. Nemocí trpí jeden pacient z desetitisíce pacientů z je tedy zdravých. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 P(Z) = 0,9999

13 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Na spojnice druhého větvení se pak zapisují podmíněné pravděpodobnosti – “výsledek testu” za předpokladu “daný stav”. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999

14 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Na spojnice druhého větvení se pak zapisují podmíněné pravděpodobnosti – “výsledek testu” za předpokladu “daný stav”. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 P(T+|N) = 0,99 správná diagnóza

15 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Na spojnice druhého větvení se pak zapisují podmíněné pravděpodobnosti – “výsledek testu” za předpokladu “daný stav”. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 P(T-|N) = 0,01 chybná diagnóza

16 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Na spojnice druhého větvení se pak zapisují podmíněné pravděpodobnosti – “výsledek testu” za předpokladu “daný stav”. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 P(T+|Z) = 0,01 chybná diagnóza

17 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Na spojnice druhého větvení se pak zapisují podmíněné pravděpodobnosti – “výsledek testu” za předpokladu “daný stav”. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 P(T-|Z) = 0,99 správná diagnóza

18 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Chceme-li určit, jaká je pravděpodobnost toho, že nastal “daný stav” a zároveň “výsledek testu”, stačí vynásobit hodnoty uvedené u příslušné větve. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01

19 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Chceme-li určit, jaká je pravděpodobnost toho, že nastal “daný stav” a zároveň “výsledek testu”, stačí vynásobit hodnoty uvedené u příslušné větve. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0,

20 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Chceme-li určit, jaká je pravděpodobnost toho, že nastal “daný stav” a zároveň “výsledek testu”, stačí vynásobit hodnoty uvedené u příslušné větve. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0,

21 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Chceme-li určit, jaká je pravděpodobnost toho, že nastal “daný stav” a zároveň “výsledek testu”, stačí vynásobit hodnoty uvedené u příslušné větve. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0,

22 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Chceme-li určit, jaká je pravděpodobnost toho, že nastal “daný stav” a zároveň “výsledek testu”, stačí vynásobit hodnoty uvedené u příslušné větve. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899

23 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu ROZHODOVACÍ STROM
je dokončen. Nyní lze jednoduše najít odpovědi na otázky k analy-zovanému problému. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899

24 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Podrobí-li se pacient testu na protilátky, s jakou pravděpodobností se dozví, že test byl pozitivní? Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899

25 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Podrobí-li se pacient testu na protilátky, s jakou pravděpodobností se dozví, že test byl pozitivní? Tuto pravděpodobnost určíme pomocí věty o úplné pravděpodobnosti. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899

26 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Podrobí-li se pacient testu na protilátky, s jakou pravděpodobností se dozví, že test byl pozitivní? Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899

27 Co tento výsledek znamená?
Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899

28 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Podstoupila-li by celá populace test na protilátky nemoci, bylo by zhruba 1% populace vyděšeno, že trpí smrtelnou nemocí. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899

29 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Podstoupila-li by celá populace test na protilátky nemoci, bylo by zhruba 1% populace vyděšeno, že trpí smrtelnou nemocí. Ve skutečnosti však nemocí trpí pouze 0,01% populace !!! Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899

30 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Předtím než se Martin podrobil testu, byla pravděpodobnost toho, že trpí smrtelnou nemoci 0,01%. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899 před testem

31 poté co se Martin dozvěděl o pozitivním výsledku testu
Předtím než se Martin podrobil testu, byla pravděpodobnost toho, že trpí smrtelnou nemoci 0,01%. Nyní Martin ví, že jeho test byl pozitivní. Jaká je pravděpodobnost, že je skutečně nemocen? Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899 před testem poté co se Martin dozvěděl o pozitivním výsledku testu

32 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Hledanou pravděpodobnost určíme pomocí Bayesovy věty jako podíl pravděpodobnosti průniku a pravděpodobnosti podmínky, kterou jsme vypočetli pomocí věty o úplné pravděpodobnosti. (P(T+) = 0,010098) Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899

33 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Hledanou pravděpodobnost určíme pomocí Bayesovy věty jako podíl pravděpodobnosti průniku a pravděpodobnosti podmínky, kterou jsme vypočetli pomocí věty o úplné pravděpodobnosti. (P(T+) = 0,010098) Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899

34 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Hledanou pravděpodobnost určíme pomocí Bayesovy věty jako podíl pravděpodobnosti průniku a pravděpodobnosti podmínky, kterou jsme vypočetli pomocí věty o úplné pravděpodobnosti. (P(T+) = 0,010098) Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899

35 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Hledanou pravděpodobnost určíme pomocí Bayesovy věty jako podíl pravděpodobnosti průniku a pravděpodobnosti podmínky, kterou jsme vypočetli pomocí věty o úplné pravděpodobnosti. (P(T+) = 0,010098) Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899

36 T+ N T- Populace Z Daný stav Výsledek testu
Vyšel-li Martinovi test na protilátky pozitivní, pak pravděpodobnost, že je Martin nemocen je asi 1,0%. Populace N Z T+ T- Daný stav Výsledek testu 0,0001 0,9999 0,99 0,01 0, 0, 0, 0,9899

37 Je zřejmé, že nebylo rozumné zatajit Martinovi tuto informaci
Je zřejmé, že nebylo rozumné zatajit Martinovi tuto informaci. Je přece rozdíl dozví-li se Martin, že Váš test je pozitivní!

38 Váš test je pozitivní. Riziko, že jste nemocen stouplo
nebo Váš test je pozitivní. Riziko, že jste nemocen stouplo z 0,01% na 1%.