Rovinné nosníkové soustavy

Prezentace na téma: "Rovinné nosníkové soustavy"— Transkript prezentace:

1 Rovinné nosníkové soustavy
Stavební statika, 1.ročník kombinovaného studia Rovinné nosníkové soustavy Složené rovinné nosníkové soustavy Statická určitost a neurčitost rovinných soustav Gerberův nosník Trojkloubový rám Trojkloubový rám s táhlem Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

2 Staticky neurčité konstrukce
Spojitý nosník: Přímý staticky neurčitý nosník podepřený na více než dvou podporách, z nichž pouze jedna je pevná a ostatní posuvné a b c d d a b c Rám: a b c

3 Rovinné složené nosníkové soustavy
Vzniknou spojením tuhých desek (prutů) navzájem klouby nebo táhly. Spojitý nosník: a b c d d a b c Rám: b c

4 Jednoduché klouby – vnitřní vazba dvojnásobná
Klouby spojující dvě tuhé desky - zabraňují vzájemnému posunu konců připojených tuhých prutů v ose x a z. (→ dvě silové vazby = interakce). Klouby nezabraňují vzájemnému natočení konců prutů (moment = 0). +x +z Počet tuhých prutů spojených kloubem: np = 2 c tuhý prut Vnitřní kloub, spojující navzájem dva tuhé pruty Složky interakcí ve vnitřní vazbě, spojující navzájem dva tuhé pruty Rcz Rcx vi= 2 4

5 Klouby spojující více než dvě tuhé desky
+x Kloub spojující tři tuhé desky (np =3) ruší soustavě 4 stupně volnosti (4násobná vnitřní vazba) tuhý prut +z c tuhý prut Vnitřní vazba, spojující navzájem tři tuhé pruty tuhý prut Obecně: vi= 2.(np - 1) S každým přidaným prutem přibývají soustavě dvě vnitřní silové vazby (nebo-li přidáme soustavě jeden stupeň volnosti – moment) 5

6 VNĚJŠÍ VAZBY VNITŘNÍ VAZBY
Název vazby Násobnost vazby Označení vazby a reakce Kyvný prut Posuvná kloubová podpora Pevná kloubová podpora Posuvné vetknutí Dokonalé vetknutí Název vazby Násobnost vazby Označení vazby kloub 2 4 6 táhlo 1 1 Raz nebo 1 Raz Raz Rax nebo 2 Rax Raz Raz Ma 2 Raz Ma 3 Rax Raz

7 Stupeň statické neurčitosti složené soustavy v rovině
Tuhá deska v rovině – 3° volnosti Soustava tuhých desek (p) navzájem spojených klouby → celkem p . 3° volnosti Počet stupňů volnosti složené soustavy v rovině: Vazby - ve - vnější (reakce v podporách) - vi - vnitřní (vazby v kloubech, spojení prutů táhlem) Celkový počet vazeb = celkový počet odebraných stupňů volnosti soustavě: Stupeň statické neurčitosti nv = v nv < v nv > v staticky i kinematicky určitá soustava staticky neurčitá, kinematicky přeurčitá soustava staticky přeurčitá, kinematicky neurčitá soustava

8 Další ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby
Most přes řeku Ostravici, 3 pole, 2 vnitřní klouby, Černá louka, Ostrava 8

9 Další ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby
Ocelový most přes řeku Odru z r.1980, délka 130 m, hmotnost t, Ostrava - Svinov 9

10 Příklady – určete stupeň statické neurčitosti
Příklady – stupeň statické neurčitosti Příklady – určete stupeň statické neurčitosti

11 Základní typy staticky určitých nosníkových soustav v rovině xz
a) Spojitý nosník s vloženými klouby (tzv. Gerberův nosník) Vložením kloubů do spojitého nosníku tak, že vznikne nosník staticky určitý→ Gerberův nosník. Vnitřní klouby nelze vkládat libovolně. Heinrich Gerber ( ) významný německý konstruktér ocelových mostů (a) b) Trojkloubový rám nebo oblouk (b) Základní typy kinematicky určitých rovinných kloubových soustav

12 Gerberův nosník - stupeň statické neurčitosti
spočtěte počet tuhých desek a vynásobte třemi sečtěte vnější reakce spočtěte klouby a vynásobte dvěma F3 F1 F2 e f Rax a d b c Raz Rdz Rbz Rcz F3 F4 F1 F2 Mc d e c Rcx a b a Rcz Raz Rbz

13 Gerberův nosník - stupeň statické neurčitosti
spočtěte počet tuhých desek a vynásobte třemi sečtěte vnější reakce spočtěte klouby a vynásobte dvěma F3 F1 F2 e f Rax a d b c Raz Rdz Rbz Rcz F3 F4 F1 F2 Mc d e c Rcx a b a Rcz Raz Rbz 13

14 Správné rozvržení kloubů na spojitého nosníku
Platí následující pravidla: a) v krajním poli s kloubově podepřeným nebo převislým koncem smí být nejvýše 1 kloub k1 k2 a b c d b) v krajním poli s vetknutým koncem musí být alespoň 1 a smí být nejvýše 2 klouby k1 k2 k3 a d b c k1 k2 k3 d a b c

15 Správné rozvržení kloubů na spojitého nosníku
c) ve vnitřním poli smí být nejvýše 2 klouby k1 k2 a b c d d) ve dvojici sousedních polí musí být alespoň 1 kloub (nesmí sousedit 2 pole bez vložených kloubů) k1 k2 a b c d e) ve dvojici sousedních polí, z nichž jedno je krajní s vetknutým koncem, musí být alespoň 2 klouby k1 k2 k3 a d b c k1 k2 k3 d a b c

16 Pohyblivý mechanismus – výjimkové případy
Na nosníku nesmí vzniknout nestabilní část – pohyblivý mechanismus. Vzniká v důsledku nedodržení předchozích pravidel. k2 a b c k1 d k1 k3 a b c k2 d k1 k3 a b c k2 d Pohyblivý mechanizmus Obr / str. 146

17 Typické způsoby rozvržení kloubů v konstrukci
a) krajní pole bez kloubů, vnitřní pole s 2 klouby k1 k2 a b c d b) krajní pole s 1 kloubem, vnitřní bez kloubů k1 k2 a b c d c) první (krajní) pole bez kloubu, v ostatních polích po 1 kloubu a b k1 c k2 d Nosníky nesoucí (červená tlustá čára) a nesené (černá tenká čára).

18 Typické způsoby rozvržení kloubů v konstrukci
Nesoucí nosníky (červená tlustá čára) – dostatečně podepřeny vnějšími vazbami, nosná funkce zachována i při odstranění nesených nosníků. Nesené nosníky (černá tenká čára) – podepřeny také konci nosníků nesoucích Případ (c) nedoporučuje, při vyřazení jediného nesoucího nosníku hrozí řetězové zhroucení celé konstrukce. (a) (b) (c) Tři typické způsoby rozvržení vložených kloubů ve spojitém nosníku Obr / str. 147 Spojitý nosník s vloženými klouby

19 Krajní pole bez kloubu, v ostatních polích po 1 kloubu
Centrum pokročilých technologií, VŠB-TU Ostrava, realizace 2007

20 Postup při řešení spojitého nosníku s vloženými klouby
a) Nejdříve vyřešit osovou úlohu – veškeré vodorovné zatížení přebírá jediná vodorovná složka reakce v pevné podpoře. b) Rozdělení spojitého nosníku na dílčí pole - nosníky nesoucí a nesené. (Postup montáže x postup výpočtu reakcí). c) Odhad směrů svislých vnějších reakcí v podporách a vnitřních interakcí v kloubech. e) Výpočet začít vždy na neseném nosníku. Z momentových podmínek rovnováhy k podporovým bodům určit reakce v podporách a interakce v kloubech daného pole. (a) f) Přejít s výpočtem do dalšího pole nosníku, nesoucí nosník zatížit akcemi nesených nosníků (silou stejně velkou a opačně orientovanou), a opět z podmínek rovnováhy určit reakce a interakce. (b) Rozklad spojitého nosníku s klouby na nosníky nesoucí a nesené - příčná úloha

21 Příklad 1 – ověření statické určitosti soustavy
Fz q = 5 kN m–1 F = 8 kN M = 7 kN m Mc a = 70° Fx Rcx d a k1 b e k2 f c 1 2 2 2 Rcz Raz 3 2 3 Rbz 3 4 Dokažte, že je úloha staticky určitá

22 Příklad - Výpočet vodorovné reakce Rcx a normálové síly
Fx = F · cos a = 2,736 kN Fz = F · sin a = 7,518 kN Fz q = 5 kN m–1 F = 8 kN M = 7 kN m a = 70° Fx Rcx d a k1 b e k2 f c 1 2 2 2 SFx = 0: –Fx + Rcx = 0 Rcx = Fx Rcx = 2,736 kN (→) 3 2 3 3 4 Průběh normálových sil: +2,736 N (+) [kN]

23 Příklad – rozklad na nesoucí a nesené nosníky
I II III Raz Rbz Rcz Mc d a k1 b k2 c a d Raz ….. snažíme odhadnou správný směr reakcí k1 b Rbz k2 c Rcz Mc Řešíme nejprve reakce nesených nosníků. Uplatní se 3. Newtonův zákon – akce a reakce.

24 Příklad – výpočet reakcí v příčné úloze
Reakce z podmínek rovnováhy oddělených nosníků q = 5 kN m–1 I  Mi,a = 0,  Mi,k1 = 0, kontrola: ∑Fiz = 0 d a k1 31,25 kN = Raz Rk1 = 6,25 kN 3 2 II Rk2 k1 b Rbz q = 5 kN m–1 Fz = 7,518 kN 3 1 2 Rk1 = 6,25 kN opačným směrem než reakce na I k2 e  Mi,b = 0,  Mi,k2 = 0, kontrola: ∑Fiz = 0 =5,012 kN = 3,756 kN (↑) 4 2 k2 c Rcz Mc M = 7 kN m Rk2 = 3,756 kN opačným směrem než reakce na II f = 22,023 kNm III  Mi,c = 0,  Mi,k2 = 0, kontrola: ∑Fiz = 0 = 3,756 kN

25 Příklad – řešení příčné úlohy
Fz = 7,518 kN q = 5 kN m–1 M = 7 kNm Mc = 22,023 kNm d a k1 b e k2 f c Raz = 31,25 kN Rbz = 5,012 kN Rcz = 3,756 kN 1 2 2 2 3 2 3 3 4 Kontrola reakcí: nutná !!!: Ověřte rovnováhu sil ve svislém směru. SFiz = 0 –15 +16,25 +6,25 –1,25 +3,762 –3,756 2° – + 1° n xn V Kontrola posouvajících sil: Ověřte, že hodnoty posouvajících sil v kloubech odpovídají interakcím Rk1 a Rk2. xn = 1,225 m –22,5 –22,023 +4,771 +3,75 +7,512 –7,512 –14,512 2° 3° – + –8,75 -5,625 M Kontrola ohyb. momentů: Ověřte, že hodnoty ohybových momentů v kloubech vyšly nulové.

26 Příklad– výpočet extrému M pod trojúhelníkovým zatížením
– ze všech sil zprava qn = 2,042 kNm–1 Fz q = 5 kN m–1 Qn = 1,25 kN F = 8 kN M = 7 kN m Mc a = 70° Fx Rcx n d a k1 b e k2 f c xn / 3 1 2 2 2 Rcz Raz xn 3 2 3 Rbz 3 4 MnP = – Mc + Rcz · (7+xn) +M – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn – Qn · (xn / 3) nebo – Mc + Rcz · (7+xn) +M – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn – q · (xn3 / 6·Ltrojúh) MnP = +4,771 kNm

27 Příklad 1 – výpočet extrému M pod trojúhelníkovým zatížením
- jiná možnost - uvolnění prutu v kloubu k2 qn = 2,042 kNm–1 q = 5 kNm–1 Qn = 1,25 kN Fz = 7,518 kN Směr šipek je podle konvence pro vnitřní síly (v tomto případě zprava). Nk2 Mk2=0 Vk2 k1 n xn / 3 b e k2 xn 1 3 3 Rbz =5,012 kN MnP =– Vk2 · (3+xn) – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn– Qn · (xn / 3) nebo – Vk2 · (3+xn) – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn– q · (xn3 / 6·3) MnP = +4,771 kNm 27

28 Příklad 1 – výpočet V a M, pro x =1m
q = 5 kNm–1 QX qX Mb Nb k1 x b x / 3 x = 1 Pozor – Vb není Rbz !!! Vbk1 3 VxP = +Vbk1+ QX = +Vbk1+ q · (x2 / 2·3) = -0,417 kN MxP = +Mb – Vbk1 · x – Qx · (x / 3) nebo +Mb – Vbk1 · x – q · (x3 / 6·3) MnP = +3,75 – (–1,25) · 1,0 – 0,833 · (1,0 / 3) MnP = +4,722 kNm 22 28

29 Trojkloubový rám nebo oblouk
Staticky neurčitý rovinně lomený nebo zakřivený nosník v rovinné úloze se dvěma kloubovými vodorovně i svisle neposuvnými (pevnými) podporami → dvojkloubový rám nebo oblouk. Vložením 1 kloubu vznikne staticky určitý trojkloubový rám nebo oblouk. Klouby nesmí být v jedné přímce! (a) b c (b) Základní typy kinematicky určitých rovinných kloubových soustav

30 Počet stupňů volnosti složené soustavy v rovině:
Stupeň statické neurčitosti trojkloubového nosníku v rovině Počet stupňů volnosti složené soustavy v rovině: b c Vazby - ve - vnější (reakce v podporách) - vi - vnitřní (vazby v kloubech, spojení prutů táhlem) Celkový počet vazeb: Stupeň statické neurčitosti nv = v staticky i kinematicky určitá soustava

31 Postup při výpočtu složek reakcí trojkloubového rámu nebo oblouku
Výpočet čtyř složek reakcí: 3 podmínky rovnováhy + podmínka Postup: 1. Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě b. → Rbx , Rbz 2. 3. Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě a. → Rax , Raz 4. Kontrola: 5. Výpočet vede na soustavy dvou rovnic o dvou neznámých 6. (a) (b)

32 Postup při výpočtu složek reakcí trojkloubového rámu nebo oblouku
Výhodnější pořadí rovnic 1.varianta Postup: 1. Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě b. → Rbx , Rbz 2. → Rax 3. 4. → Raz Kontrola: 5. 6. (a) (b)

33 Postup při výpočtu složek reakcí trojkloubového rámu nebo oblouku
Výhodnější pořadí rovnic 2.varianta Postup: 1. Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě a. → Rax , Raz 2. 3. → Rbx 4. → Rbz Kontrola: 5. 6. (a) (b)

34 Vnitřní vazby Složky interakce ve vnitřních vazbách kloubu Rcx, Rcz
z podmínek rovnováhy levé nebo pravé části rámu (oblouku). (Vysvětleno na Gerberově nosníku) ↓ (a) (b) Složky reakcí a interakce trojkloubového rámu

35 Ukázky trojkloubového oblouku
Maloměřický most z roku 1928, 3 oblouky o rozpětí 33 m s průřezem 1 m2, mezilehlá mostovka, Brno

36 Příklad 1 - reakce Rbx . 4 – P.3 = 0
Ověřte, že zadaná konstrukce je staticky určitá: Q1 = 4kN Q2 = 8kN q = 2kN/m c d e Rbx . 4 – P.3 = 0 3 Q1 .1 – Q2 . 2 – Rbx Rbz .4 = 0 Rax P = 2kN a Rbx = 1,5kN, Rbz = 3,375kN f 1 Q Q Rax. 1 – Raz .4 – P.1 = 0 Raz b Rbx Q Q2 . 2 – Rax. 3 – Raz .4 = 0 Rbz 2 4 Rax = 0,5kN, Raz = 8,625kN Kontrola: U trojkloubových rámů nutné 2 kontrolní rovnice Řešení vede na soustavu 2 rovnic o 2 neznámých.

37 Příklad 1 - reakce Rbx . 4 – P.3 = 0 – Rax + P = 0
Konstrukce tohoto trojkloubového nosníku umožňuje výhodnější řešení. Důvodem je uložení kloubu na nositelce jedné ze složek reakcí (tady Rbz), tudíž z každé podmínky rovnováhy spočítáme jednu reakci přímo. Není třeba řešit soustavy 2 rovni o 2 neznámých. Rbx . 4 – P.3 = 0 Q1 = 4kN Q2 = 8kN q = 2kN/m – Rax + P = 0 c d e 3 Q1 .1 – Q2 . 2 – Rbx Rbz .4 = 0 Rax = 0,5kN, P = 2kN a f 1 Q Q Rax. 1 – Raz .4 – P.1 = 0 b Raz = 8,625kN Rbx = 1,5kN, Pořadí 2. a 3. rovnice možno zaměnit Rbz = 3,375kN 2 4 U trojkloubových rámů nutné 2 kontrolní rovnice 9

38 N Příklad 1 - normálové síly [kN] Rax Raz q = 2kN/m c 0,5 d e 0,5 e c
3 Rax = 0,5kN P = 2kN a f 1 Raz = 8,625kN f b a Rbx = 1,5kN -8,625 Rbz = 3,375kN b 2 4 -3,375

39 V Příklad 1 - posouvající síly Vn = 0 Vn = 0 Vce + q.xn´ = 0
[kN] = 8,625kN = 3,375kN = 0,5kN 2 4 3 1 P = 2kN q = 2kN/m a b c d e f Q2 = 8kN Rbz Q1 = 4kN = 1,5kN Rbx xn xn´ a b e d c f n 0,5 -3,375 -0,5 4,625 -4 1,5 Rax Raz Vn = 0 Vce + q.xn´ = 0 Vn = 0 Vec - q.xn = 0 xn = 2,312 m xn´= 1,688 m

40 M Příklad 1 - ohybové momenty Med = -Q1 .1 Mea = Rax . 3
kontrola momentů v trojném styčníku e: e 4 1,5 2,5 2 4 3 1 P = 2kN q = 2kN/m a b c d e f Q2 = 8kN Rbz Q1 = 4kN Rbx xn =2,312 xn´=1,688 Med = -Q1 .1 Mea = Rax . 3 -4 -2,5 Mec = -Q Rax . 3 2° n d e c Rax 1,5 2° ve styčníku c musí být moment nulový – je tam kloub ! 2,85 Raz M f -1,5 a [kNm] Uvolněný prut ec (příčná úloha): b xn =2,312 xn´=1,688 Vec = 4,625 -2,5 = Mec Vce = -3,375 Mc =0 n MnL = Vec . xn + Mec – q.xn2/2 MnP = - Vce . x´n + Mc – q.x´n2/2 12 Momenty v polovinách úseků: M0,5ec = 2,75kNm, M0,5ed = -1kNm

41 Ukázka táhla Využití v praxi:
Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem, výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava Využití v praxi: Přenáší pouze kladné osové síly → může být tenký prut (nedochází ke ztrátě stability prutu – více v předmětu Pružnost a plasticita)

42 Počet stupňů volnosti složené soustavy v rovině:
Stupeň statické neurčitosti trojkloubového rámu s táhlem F1 F2 F3 Počet stupňů volnosti složené soustavy v rovině: c Rax táhlo a b Raz Rbz Vazby - ve - vnější (reakce v podporách) - vi - vnitřní (vazby v kloubech, spojení prutů táhlem) táhlo → jednonásobná vnitřní vazba Celkový počet vazeb: Stupeň statické neurčitosti nv = v staticky i kinematicky určitá soustava

43 Stupeň statické neurčitosti trojkloubového rámu s táhlem
F2 F3 F1 c Rax c b a Rcz Raz Rbz

44 Kontrola statické určitosti nosníku s táhlem
F2 F3 F1 c Rcx Rax c b a Rcz Raz Rbz

45 Trojkloubový rám a oblouk s táhlem
Postup výpočtu: Vnější vazby (reakce): statické podmínky rovnováhy. Vnitřní vazba (Nt v táhle): odstranit táhlo a nahradit jej interakcí v kladném směru (táhlo tažené). Velikost Nt z momentové podmínky: (a) (b) (c) Vnitřní síly: další postup shodný jako u rámu(oblouku) bez táhla. Do výpočtu je nutno zahrnout působení Nt . (působí větší Nt) Trojkloubový rám a oblouk s táhlem

46 Okruhy problémů k ústní části zkoušky
Složené rovinné soustavy, výpočet stupně statické neurčitosti, podmínka statické určitosti složených rovinných soustav Gerberův nosník, způsoby rozvržení vložených kloubů Postup výpočtu reakcí a vnitřních sil Gerberova nosníku Trojkloubový rám, postup výpočtu reakcí a vnitřních sil Trojkloubový rám s táhlem, postup výpočtu reakcí, síly v táhle a vnitřních sil

47 Program

48 q c P 2 A 4 1,5 2 a b 3 3 q c 2 B 4 táhlo 1 b 1 a 1 3 2 5

49 Trojkloubový rám s táhlem zadání a vnější reakce
∑ Fix = 0: -Rbx + P = Rbx = 2 kN ( ) ∑ Mia = 0: - Q.2 - P.1+ 4.Rbz -1.Rbx = 0 Rbz = 21 kN ( ) ∑ Mib = 0: -P.2 + Q Raz = Raz = 19 kN ( ) Kontrola: ∑ Fiz = 0: - Raz- Rbz + Q = 0 q = 10kN/m Q = 40kN Ověřte, že zadaná konstrukce je staticky určitá: c 1 P=2kN 1 3 a táhlo 1 b Rbx Raz 2 2 Rbz 4

50 Výpočet síly v táhle McL = 0: q.2.1 - 2.Raz +2.Nt = 0 Nt = 9 kN
nebo: McP = 0 : P.1 - q Rbz -3.Rbx -2.Nt = 0 Nt = 9 kN q = 10kN/m Q = 40kN c 1 P=2kN Nt Nt 1 3 a 1 b Rbx=2kN Raz=19kN 2 2 Rbz=21kN 4

51 Normálové síly N c P=2kN Nt= 9kN Rbx= 2kN Raz= 19kN Rbz= 21kN 2 4 a b
q = 10kN/m 1 3 P=2kN Q = 40kN c N -19 -21 -9 -9 -19 -21 -21 -21 V táhle pouze síla pouze normálová tahová Nt = 9kN: +9 +9

52 Posouvající síly V c P=2kN Nt= 9kN Rbx= 2kN Raz= 19kN Rbz= 21kN 2 4 a
q = 10kN/m 1 3 P=2kN Q = 40kN c xn x´n 19 n 9 -21 11 11 11 -9 2

53 Ohybové momenty M c P=2kN Nt= 9kN Rbx= 2kN Raz= 19kN Rbz= 21kN
4 a b Rbx= 2kN Rbz= 21kN q = 10kN/m 1 3 P=2kN Q = 40 c M xn x´n -22 -18 -18 -18 -18 2° n -22 Mmax -13 -2 MmaxL = 19. 1, ,9 2 / 2 = 0,05kNm MmaxP = 21. 2, ,1 2 / 2 = 0,05kNm Rovnice si zapište i v obecném tvaru