Základné vlastnosti a parametre harmonických priebehov

Prezentace na téma: "Základné vlastnosti a parametre harmonických priebehov"— Transkript prezentace:

1 9. Elektrické obvody s harmonicky sa meniacimi veličinami v ustálenom stave
Základné vlastnosti a parametre harmonických priebehov Komplexná reprezentácia harmonických veličín, fázory (komplexory) Vzťah medzi napätiami a prúdmi ideálnych obvodových prvkov (dvojpólov) Impedancia, admitancia Výkon v obvodoch s harmonickými veličinami Analýza lineárnych obvodov pomocou komplexnej algebry, analógia s metódami riešenia v ustálenom stacionárnom stave Indukčne viazané obvody (obvody s magnetickou väzbou)

2 9.1. Základné vlastnosti a parametre harmonických priebehov
Pod pojmom harmonický priebeh rozumieme taký časový priebeh napätia, resp. prúdu, ktorý možno vyjadriť pomocou harmonických funkcií v tvare: f - frekvencia T - perióda kde Um (Im) je maximálna hodnota - amplitúda, u (i) je fázový uhol - uhlová konštanta a  je uhlová frekvencia harmonického napätia (prúdu). Význam týchto parametrov je zrejmý z obrázku: Fázový uhol vyjadruje vlastne vzdialenosť najbližšieho maxima od počiatku súradnicovej sústavy, nakoľko funkcia cos(x) nadobúda maximálne hodnoty pre argument x=0+2k (k je ľubovoľné celé číslo). Pre k=0 platí t+u=0, z čoho vychádza čas maxima tmax= -u/. Fázový uhol sa zvykne udávať v stupňoch [°] alebo v radiánoch [rad]. Um T

3 9.2. Komplexná reprezentácia harmonických veličín, fázory
Pri riešení elektrických obvodov s harmonickými veličinami využívame (podobne ako pri obvodoch v stacionárnom ustálenom stave) platnosť Ohmovho zákona a Kirchhoffových zákonov. Problémom je tu skutočnosť, že aplikáciou týchto zákonov (ako aj odvodených metód) dostaneme sústavy trigonometrických rovníc, ktorých riešenie je síce možné, ale je veľmi pracné (je potrebné vykonávať rôzne matematické operácie s harmonickými funkciami, ktoré majú rôzne amplitúdy a fázové uhly). Poznámky: Je nutné dodržiavať rôzne typy písma pre rôznu reprezentáciu obvodových veličín (je to dané rozdielnym fyzikálnym, resp. matematickým významom časových priebehov, fázorov, maximálnych hodnôt a pod.). Imaginárna jednotka sa v elektrotechnike zvykne označovať symbolom „j“ (symbol „i“ označuje obyčajne okamžitú hodnotu prúdu). Aby sme sa vyhli spomenutým komplikáciám pri riešení (z matematického hľadiska), je vhodné reprezentovať harmonické veličiny pomocou komplexných čísiel nazývaných fázory (komplexory, časové vektory). Výhodou je tu zjednodušenie riešenia obvodu, nakoľko matematické úkony s komplexnými číslami sú omnoho jednoduchšie, ako s harmonickými funkciami.

4 Pojem fázor Nech je daný harmonický časový priebeh napätia všeobecne ako Poznámky: V prípade obvodov s harmonickými veličinami sa zvyčajne používajú namiesto maximálnych fázorov efektívne fázory. Rozdiel spočíva v tom, že veľkosť efektívneho fázora je namiesto maximálnej hodnoty obvodovej veličiny určená jej tzv. efektívnou hodnotou Dôvod je praktický – bežné striedavé meracie prístroje sú kalibrované na efektívnu hodnotu harmonických veličín. Preto ak pri výpočtoch použijeme efektívne fázory, máme možnosť priameho porovnania nameraných a vypočítaných hodnôt napätí alebo prúdov. V ďalšom texte budeme používať efektívne fázory (ak nebude uvedené inak) a pre jednoduchosť nebudeme písať indexy „ef“. Výraz predstavuje teda efektívny rotujúci fázor a znamená obyčajný (nerotujúci) efektívny fázor. Namiesto zápisu fázora pomocou exponenciálnej funkcie sa niekedy používa tzv. verzorový tvar: Symbol „“ tu označuje fázový uhol. Tomuto harmonickému napätiu priradíme komplexné číslo nazývané maximálny rotujúci fázor napätia Um(t) podľa vzťahu To znamená, že s meniacim sa časom fázor napätia rotuje v komplexnej rovine proti smeru hodinových ručičiek s uhlovou rýchlosťou  (pozri obrázok). Tu sa ukazuje aj iný názorný význam fázového uhla u – je to uhol, ktorý zviera rotujúci fázor harmonickej veličiny s kladnou reálnou osou komplexnej roviny v čase t=0. Um je komplexná konštanta nazývaná maximálny fázor napätia (nerotujúci). Je daná vzťahom Je zrejmé, že poloha tohoto komplexného čísla v komplexnej rovine sa s časom nemení. Rotácia fázora je vyjadrená výrazom Je zrejmé, že harmonické napätie predstavuje vlastne reálnu zložku maximálneho rotujúceho fázora napätia. Z výrazu pre rotujúci fázor vyplýva, že jeho veľkosť (modul) určená maximálnou hodnotou harmonickej veličiny nezávisí od času. S časom sa mení len jeho fázový uhol (argument) ktorého okamžitá hodnota je daná výrazom u+.t Vzťah pre rotujúci fázor možno jednoducho upraviť do podoby

5 9.3. Vzťah medzi napätím a prúdom ideálneho rezistora
Nech prúd a napätie na ideálnom rezistore R sú dané vzťahmi uR(t) iR(t) R Nakoľko pre ideálny rezistor platí v ľubovoľnom časovom okamihu Ohmov zákon, možno napätie vyjadriť pomocou prúdu ako Z porovnania obidvoch výrazov pre napätie vyplýva, že To znamená, že pri rotácii oboch fázorov v komplexnej rovine je ich vzájomný uhol nulový (pozri obrázok). To znamená, že platí Ohmov zákon pre maximálne hodnoty (podobne, ako pre stacionárne napätie a prúd rezistora). Okrem toho je zrejmé, že fázový uhol napätia a prúdu rezistora je rovnaký (hovoríme, že napätie a prúd ideálneho rezistora sú vo fáze). Pre efektívne rotujúce fázory platí

6 9.4. Vzťah medzi napätím a prúdom ideálneho induktora
Nech prúd a napätie na ideálnom induktore L sú dané vzťahmi uL(t) iL(t) L V časti sme ukázali, že napätie na ideálnom induktore je priamo úmerné časovej zmene prúdu tečúceho cez induktor. Matematicky to možno vyjadriť ako Poznámky: Vzájomný vzťah medzi fázormi napätia a prúdu možno vyjadriť aj priamo pomocou fázorov: Z uvedeného výrazu je zrejmé, že derivácia rotujúceho fázora podľa času je ekvivalentná vynásobeniu pôvodného (nezderivovaného) fázora výrazom j. Pri úpravách sme využili známu rovnosť Z porovnania obidvoch výrazov pre napätie vyplýva, že To znamená, že pri rotácii oboch fázorov v komplexnej rovine je ich vzájomný uhol rovný +/2 (pozri obrázok). Fázový uhol napätia na ideálnom induktore je v ľubovoľnom časovom okamihu väčší o /2 (90°) ako fázový uhol prúdu (hovoríme, že napätie predbieha prúd ideálneho induktora o /2). Pre efektívne rotujúce fázory platí

7 9.5. Vzťah medzi napätím a prúdom ideálneho kapacitora
Nech prúd a napätie na ideálnom kapacitore C sú dané vzťahmi uC(t) iC(t) C V časti sme ukázali, že napätie na ideálnom kapacitore je priamo úmerné náboju nazhromaždenému na elektródach, ktorý je daný ako integrál prúdu. Matematicky to možno vyjadriť ako Poznámky: Vzájomný vzťah medzi fázormi napätia a prúdu možno aj v tomto prípade vyjadriť priamo pomocou fázorov: Z uvedeného výrazu je zrejmé, že integrál rotujúceho fázora podľa času je ekvivalentný vydeleniu pôvodného (nezderivovaného) fázora výrazom j. Pri úpravách sme využili známu rovnosť Z porovnania obidvoch výrazov pre napätie vyplýva, že To znamená, že pri rotácii oboch fázorov v komplexnej rovine je ich vzájomný uhol rovný -/2 (pozri obrázok). Fázový uhol napätia na ideálnom kapacitore je v ľubovoľnom časovom okamihu menší o /2 (90°) ako fázový uhol prúdu (hovoríme, že napätie zaostáva za prúdom ideálneho kapacitora o /2). Pre efektívne rotujúce fázory platí

8 9.6. Impedancia v obvodoch s harmonickými veličinami
Z predchádzajúcich úvah vyplýva užitočný poznatok – ak časové priebehy harmonických napätí a prúdov nahradíme fázormi, je možné fázor napätia vyjadriť ako súčin komplexnej konštanty a fázora prúdu. Napr. pre ideálne jednoduché obvodové prvky platí Impedancia ideálneho kapacitora je rovná Impedancia ideálneho rezistora je rovná Impedancia ideálneho induktora je rovná R IR UR L UL IL C UC IC Uvedené skutočnosti sa dajú zovšeobecniť aj na prípad ľubovoľného dvojpólu poskladaného z ideálnych pasívnych obvodových prvkov (dvojpólov). Spomínaná komplexná konštanta potom vyjadruje vzťah medzi fázormi napätia a prúdu všeobecne (nielen na jednoduchých obvodových prvkoch). Táto komplexná konštanta má rozmer odporu ( - Ohm) a preto sa nazýva aj zdanlivý odpor, resp. impedancia - Z. Impedanciu teda možno všeobecne vyjadriť ako podiel fázora napätia a prúdu (je to vlastne obdoba, resp. zovšeobecnenie Ohmovho zákona): Z výrazu je zrejmé, že impedancia nezávisí od času! Fázový uhol impedancie je daný ako rozdiel fázového uhla napätia a prúdu Veľkosť impedancie je daná podielom veľkostí (resp. efektívnych hodnôt) napätia a prúdu Z IZ UZ Schematická značka impedancie je taká istá, ako v prípade rezistora.

9 9.6.1. Zložkový tvar impedancie, rezistancia a reaktancia
Impedancia sa zvykne vyjadrovať aj v zložkovom tvare ako Reálna zložka impedancie predstavuje tzv. skutočný odpor dvojpólu – R (rezistancia), ktorý nemusí byť totožný s odporom nameraným pri stacionárnych ustálených prúdoch (napr. v prípade ideálneho rezistora a kapacitora zapojených do série by sme namerali nekonečný odpor). Rezistancia môže nadobúdať len kladné hodnoty. Imaginárna zložka impedancie sa nazýva reaktancia - X. Reaktancia môže nadobúdať kladné aj záporné hodnoty. Vtedy hovoríme, že impedancia má induktívny charakter, lebo reaktancia ideálneho induktora sa rovná V druhom prípade hovoríme, že impedancia má kapacitný charakter, lebo reaktancia ideálneho kapacitora sa rovná

10 9.7. Admitancia a jej zložky (konduktancia, susceptancia)
Prevrátená hodnota impedancie má rozmer elektrickej vodivosti (S - Siemens) a nazýva sa admitancia - Y. Admitanciu možno všeobecne vyjadriť ako podiel fázora prúdu a napätia: Fázový uhol admitancie je daný ako rozdiel fázového uhla prúdu a napätia Veľkosť admitancie je daná podielom veľkostí (resp. efektívnych hodnôt) prúdu a napätia Aj admitancia sa dá vyjadriť v zložkovom tvare: Reálna zložka admitancie predstavuje tzv. skutočnú vodivosť dvojpólu - G (konduktancia) ktorá nemusí byť totožná s vodivosťou nameranou pri stacionárnych ustálených prúdoch (napr. v prípade ideálneho rezistora a kapacitora zapojených do série by sme namerali nulovú vodivosť). Konduktancia môže nadobúdať len kladné hodnoty. Imaginárna zložka admitancie sa nazýva susceptancia - B. Susceptancia môže nadobúdať kladné aj záporné hodnoty.

11 9.8. Výkon v obvodoch s harmonickými veličinami
Nech sú dané harmonické časové priebehy napätia a prúdu všeobecne ako Potom môžeme definovať výkon v ľubovoľnom časovom okamihu (okamžitý výkon) ako súčin okamžitých hodnôt napätia a prúdu: Po jednoduchých úpravách s využitím známeho vzťahu pre súčin dvoch harmonických funkcií dostávame výsledok v tvare Časový priebeh okamžitého výkonu teda tvoria dve zložky: konštanta periodický harmonický priebeh s dvojnásobnou uhlovou frekvenciou (2) Z porovnania vzťahu pre konštantnú zložku okamžitého výkonu a definičného výrazu pre impedanciu vyplýva dôležitá skutočnosť – argument funkcie cos v konštantnej zložke výkonu je rovný fázovému uhlu impedancie! (možnosť kontroly správnosti numerických výpočtov).

12 9.8.1. Stredná hodnota výkonu
Časové priebehy napätia u(t), prúdu i(t) a okamžitého výkonu p(t) sú znázornené na obrázku: u(t) i(t) p(t) T Stredná hodnota časového priebehu okamžitého výkonu p(t) je Všimnite si, že je zhodný s konštantnou zložkou časového priebehu výkonu p(t)! Táto veličina sa nazýva činný (skutočný, wattový) výkon a predstavuje časť energie (za jednotku času), ktorá sa na dvojpóle s daným časovým priebehom napätia a prúdu nevratne premení na teplo. Udáva sa vo Wattoch (W).

13 9.8.2. Komplexná reprezentácia výkonu
Podobne, ako v prípade napätia a prúdu je možné priradiť súčinu dvoch harmonických funkcií komplexné číslo – časový vektor, ktorého reálna zložka predstavuje časový priebeh tohoto súčinu. Pre okamžitý výkon vieme nájsť zodpovedajúci fázor v tvare * znamená komplexne združený časový vektor (rotujúci fázor) prúdu. Ak dosadíme za efektívne rotujúce fázory napätia a prúdu príslušné definičné vzťahy, možno prvý člen výrazu upraviť do podoby z ktorej je zrejmé, že reálna časť predstavuje časovo premenlivú zložku výkonu Poznámka: Na rozdiel od výkonu v stacionárnom ustálenom stave nestačí jednoducho vynásobiť fázor napätia fázorom prúdu. P Podobne možno upraviť druhý člen výrazu do tvaru z ktorého vyplýva, že reálna časť predstavuje konštantnú zložku výkonu Z praktického hľadiska je zaujímavá práve táto (konštantná) časť časového vektora výkonu, ktorá sa nazýva komplexný výkon: Je zrejmé, že táto časť časového vektora nezávisí od času.

14 9.8.3. Zložky komplexného výkonu
V praxi sa komplexný výkon najčastejšie vyjadruje v zložkovom tvare: Reálna zložka komplexného výkonu P je už spomenutý činný výkon: Činný výkon na pasívnom dvojpóle (impedancii) môže mať len kladné hodnoty. Veličina cos(p) sa nazýva účinník. Imaginárna zložka komplexného výkonu Q sa nazýva jalový (reaktívny) výkon a predstavuje časť energie (za jednotku času) vynaloženú na vytvorenie magnetického, resp. elektrického poľa na dvojpóle s daným časovým priebehom napätia a prúdu. Udáva sa vo volt-ampéroch reaktančných (VAr). Jalový výkon na pasívnom dvojpóle môže mať kladné aj záporné hodnoty (podľa toho, aké znamienko má imaginárna zložka impedancie - reaktancia). Poznámka: Komplexný výkon sa dá znázorniť v komplexnej rovine pomocou pravouhlého tzv. výkonového trojuholníka. Z geometrie trojuholníka vyplýva: Im{S} Re{S} Absolútna hodnota (veľkosť) komplexného výkonu S sa nazýva zdanlivý výkon. Nemá priamy fyzikálny význam. Udáva sa vo volt-ampéroch (VA). S Q p P

15 9.9. Analýza lineárnych obvodov pomocou komplexnej algebry
Výhody použitia komplexnej reprezentácie obvodových veličín a náhrady pasívnych obvodových prvkov impedanciami (alebo admitanciami) možno najjednoduchšie demonštrovať na príklade. Príklad: V obvode s harmonickými veličinami na obrázku je dané: R1 C2 u5(t) L1 L4 R2 R3 R4 i6(t) Poznámka: V skutočnosti potrebujeme 12 rovníc, pretože u každej obvodovej veličiny potrebujeme vypočítať amplitúdu aj fázový uhol. Úloha: Vypočítajte časové priebehy všetkých neznámych obvodových veličín (napätí aj prúdov)! Poznámka: V tomto obvode je 5 neznámych prúdov a 1 neznáme napätie na prúdovom zdroji – spolu 6 neznámych veličín. Potrebujeme teda sformulovať sústavu 6 rovníc so 6 neznámymi veličinami.

16 9.9.1. Priame riešenie pomocou harmonických funkcií
Najskôr si ukážeme klasický postup bez využitia fázorov: R1 C2 u5(t) L1 L4 R2 R3 R4 i6(t) Postup pri riešení: V obvode vyznačíme zvolené smery neznámych obvodových veličín (nesmieme zabudnúť na napätia na ideálnych prúdových zdrojoch). i4(t) S1 A Poznámka: Využijeme pri tom známe vzťahy medzi napätiami a prúdmi na ideálnych obvodových prvkoch (pozri kapitoly 9.3., 9.4. a 9.5.). V príslušných harmonických funkciách ale nie vždy poznáme amplitúdy a fázové uhly (sú to neznáme veličiny, ktoré je potrebné nájsť). Je zrejmé, že ďalšie pokračovanie v riešení nemá zmysel, nakoľko by bolo potrebné riešiť sústavu šiestich trigonometrických rovníc, pri úprave ktorých by sme sa nevyhli použitiu rôznych súčtových vzťahov pre trigonometrické funkcie a pod. B C i1(t) i2(t) iu5(t) S2 S3 ui6(t) Zvolíme pravý strom (jeho vetvy sú vyznačené svetlozelenou farbou) i3(t) Na základe jeho voľby sformulujeme pomocou I. resp. II. Kirchhoffovho zákona potrebný počet rovníc (podľa toho, akou metódou ideme obvod riešiť). Rovnice pre vyznačené uzly (I. Kirchhoffov zákon): A: I. Kirchhoffov zákon využijeme na určenie 3 rovníc (obvod má 4 uzly). Zvolené uzly sú vyznačené modrou farbou. B: C: II. Kirchhoffov zákon využijeme na určenie zvyšných 3 rovníc (v obvode sa dajú zvoliť 3 nezávislé slučky). Zvolené slučky sú vyznačené tyrkysovou farbou. Rovnice pre vyznačené slučky (II. Kirchhoffov zákon): S1: S2: Za jednotlivé napätia a prúdy dosadíme príslušné harmonické funkcie. S3:

17 9.9.2. Nepriame riešenie pomocou fázorov – voľba metódy
Na tom istom príklade ukážeme princíp riešenia založený na použití komplexnej reprezentácie obvodových veličín a náhrady pasívnych obvodových prvkov impedanciami (alebo admitanciami). Ak nahradíme úseky so skutočnými pasívnymi prvkami príslušnými impedanciami a zdroje nahradíme fázormi, dostávame zjednodušený obvod znázornený na obrázku: Postup pri riešení: V obvode vyznačíme zvolené smery fázorov neznámych obvodových veličín. Zvolíme pravý strom (jeho vetvy sú vyznačené svetlozelenou farbou). Z1 U5 Z2 Z3 Z4 I6 IZ4 Na základe jeho voľby sformulujeme pomocou I. resp. II. Kirchhoffovho zákona potrebný počet rovníc (podľa toho, akou metódou ideme obvod riešiť). V tomto prípade možno použiť napr. metódu slučkových (alebo tetivových) prúdov, resp. uzlových (alebo vetvových) napätí (vždy stačí riešiť dve rovnice o 2 neznámych). A B C IZ1 IZ2 Iu5 UI6 IZ3 Jednotlivé impedancie a efektívne fázory zdrojov majú tvar: Zvolíme si napr. metódu uzlových napätí. Uzol 0 zvolíme za referenčný a pomocou I. Kirchoffovho zákona (podobne ako pri priamom riešení) pre uzly A, B a C sformulujeme sústavu 3 rovníc v ktorej vystupujú fázory 5 neznámych (Iu5 , IZ1, IZ2, IZ3, IZ4) a 1 známeho prúdu (I6).

18 Nepriame riešenie pomocou fázorov – symbolické riešenie
IZ4 IZ1 Iu5 UI6 IZ2 IZ3 V obvode vyznačíme napätia uzlov A, B a C voči referenčnému uzlu 0 – uzlové napätia. Sú to pochopiteľne tiež fázory. A B C Poznámka: Rovnice pre uzly A, B a C sa dajú napísať aj pre rotujúce fázory. To ale nemá žiadny praktický význam, lebo každý rotujúci fázor obsahuje výraz ktorý sa vykráti. Fázory neznámych prúdov vyjadríme pomocou uzlových napätí a známych impedancií. Neznáme napätie na prúdovom zdroji (UI6) je totožné s uzlovým napätím UB0. Uzlové napätie UA0 je známe, lebo je totožné s napätím zdroja U5. UC0 UA0 UB0 Rovnice pre fázory prúdov (I. Kirchhoffov zákon): Získané vzťahy dosadíme do rovníc pre uzly A, B a C. Dostaneme tak sústavu troch rovníc pre dve neznáme uzlové napätia (UB0 a UC0) a jeden neznámy prúd, ktorý tečie cez napäťový zdroj (Iu5). A: B: Po následnej úprave a premiestnení členov so známymi veličinami na pravé strany rovníc dostaneme upravenú sústavu rovníc, ktorú môžeme riešiť ľubovoľnou matematickou metódou. Nakoľko neznámy prúd sa nachádza iba v jedinej rovnici (pre uzol A), postačí vyriešiť len sústavu zvyšných dvoch rovníc (pre uzly B a C) pre dve neznáme uzlové napätia (UB0 a UC0). Ostatné neznáme veličiny sa totiž dajú vypočítať pomocou nich. C: Sústava upravených rovníc: A: B: C:

19 Nepriame riešenie pomocou fázorov – numerické riešenie
IZ4 IZ1 Iu5 UI6 IZ2 IZ3 A B C UA0 UB0 UC0 Symbolické výrazy pre jednotlivé impedancie a fázory napätí zdrojov nahradíme číselnými hodnotami. Vyriešením sústavy posledných dvoch rovníc získame číselné hodnoty efektívnych fázorov uzlových napätí UB0 a UC0, ktoré dosadíme do prvej rovnice. Takto určíme aj prúd Iu5. Sústava upravených rovníc s dosadenými číselnými hodnotami v maticovom tvare: A: B: C: Číselné výsledky riešenia sústavy:

20 Určenie časových priebehov z vypočítaných fázorov
Efektívne fázory hľadaných obvodových veličín: Pomocou už známych hodnôt uzlových napätí vypočítame efektívne fázory prúdov tečúcich cez jednotlivé impedancie. Časové priebehy neznámych obvodových veličín určíme ako reálne zložky maximálnych rotujúcich fázorov (efektívne fázory vynásobíme a výrazom ). Poznámka: Veľkosti efektívnych fázorov je možné odmerať priamo pomocou striedavého ampérmetra resp. voltmetra. To je dôvod, prečo sa pri výpočtoch používajú efektívne fázory. Časové priebehy hľadaných obvodových veličín:

21 9.9.3. Skúška správnosti riešenia
Najspoľahlivejšia skúška správnosti riešenia je výkonová bilancia elektrického obvodu. Výkonová bilancia spočíva v určení komplexných výkonov všetkých aktívnych (zdrojov) aj pasívnych prvkov (spotrebičov - impedancií). Ak sú obvodové veličiny vypočítané správne, súčet komplexných výkonov musí byť nulový. Poznámka: Treba si uvedomiť, že I. (ako aj II.) Kirchhoffov zákon platí pre vektorový súčet fázorov v komplexnej rovine, ale nie pre veľkosti týchto fázorov!!! Súčet veľkostí fázorov je: Výkonová bilancia je náročná na numerické výpočty, preto sa obyčajne robí zjednodušená skúška správnosti, ktorou sa overuje platnosť základných rovníc. Skúsme napr. overiť platnosť I. Kirchhoffovho zákona pre uzol A: Re{I} Im{I} A: Iu5 Všetky fázory s meniacim sa časom rotujú v komplexnej rovine proti smeru hodinových ručičiek s uhlovou rýchlosťou , ale ich vzájomná poloha zostáva nezmenená! IZ1 Z obrázku je zrejmé, že vektorový súčet fázorov v komplexnej rovine je nulový, čím je platnosť rovnice overená. Podobným spôsobom možno overiť platnosť ostatných rovníc pre fázory prúdov, ako aj napätí. Dá sa ukázať, že súčet prúdov vystupujúcich v rovnici pre uzol A bude nulový v ľubovoľnom časovom okamihu, teda rovnosť je splnená aj pre rotujúce fázory ako aj ich priemety do reálnej osi – časové priebehy. IZ4 IZ4 -Iu5 IZ1

22 Skúška správnosti riešenia – súčet časových priebehov
Aplikáciou I. Kirchoffovho zákona na uzol A pre časové priebehy sme dostali rovnicu: A: Na obrázku sú znázornené výpočtom zistené časové priebehy prúdov v tejto rovnici: Z obrázku je zrejmé, že v ľubovoľnom čase je súčet vyznačených harmonických časových priebehov skutočne nulový. t -iu5(t) iu5(t) i1(t) i4(t) -iu5(t) + i1(t) + i4(t) = 0

23 9.10. Riešenie obvodov so vzájomnými indukčnosťami
Ako už bolo spomenuté v predchádzajúcich častiach, štvorpól s riadenými zdrojmi reprezentujúci prvok so vzájomnou indukčnosťou možno opísať pomocou sústavy dvoch rovníc v tvare, ktoré platia pre ľubovoľné časové priebehy obvodových veličín: Znamienka v rovniciach sú určené smerom riadiacich veličín (prúdov) vzhľadom na začiatok vinutí; uvedené rovnice platia v prípade, že sa magnetické toky vyvolané prúdmi tečúcimi cez jednotlivé vinutia spočítavajú. L1 L2 M i1(t) i2(t) u1(t) u2(t) Riešenie elektrických obvodov so vzájomnými indukčnosťami má niektoré špecifiká vyplývajúce z použitia náhradných modelov reálneho obvodového prvku (transformátora). Univerzálnou náhradou je štvorpól obsahujúci zdroje napätia riadené prúdmi, v niektorých prípadoch sa dá použiť náhrada pomocou tzv. T-článku (pozri predchádzajúce časti). Poznámka: Ďalší postup pri riešení takýchto obvodov je štandardný (pozri metódu tetivových resp. slučkových prúdov). V prípade náhrady pomocou štvorpólu s riadenými zdrojmi je najjednoduchšie použiť metódu tetivových (slučkových) prúdov, pretože vtedy možno riadiace veličiny zdrojov napätia (prúdy) priamo stotožniť s neznámymi (a známymi) tetivovými, resp. slučkovými prúdmi. Ak sa obvod nachádza v harmonickom ustálenom stave, rovnice možno prepísať pomocou fázorov, ktoré priradíme jednotlivým obvodovým veličinám, do tvaru Využili sme skutočnosť, že derivácii rotujúceho fázora podľa času zodpovedá vynásobenie pôvodného (nezderivovaného) fázora výrazom j.

24 9.10.1. Obvody so vzájomnými indukčnosťami – príklad
V nasledujúcom príklade ukážeme postup pri formulovaní sústavy rovníc potrebných pre vyriešenie elektrického obvodu so vzájomnými indukčnosťami v harmonickom ustálenom stave metódou slučkových prúdov. Príklad: V obvode s harmonickými veličinami na obrázku je dané: i1(t) i2(t) R1 C2 u1(t) L1 L2 M Smery napätí riadených zdrojov sú určené zvolenými smermi fázorov prúdov vzhľadom na začiatok vinutí. Úloha: Vypočítajte časové priebehy všetkých neznámych prúdov! I1 I2 Z1 U1 jMI2 jMI1 Z2 Postup pri riešení: Úseky so skutočnými pasívnymi prvkami nahradíme príslušnými impedanciami, transformátor nahradíme štvorpólovým prvkom s riadenými zdrojmi a zdroje nahradíme fázormi. Dostávame zjednodušený obvod znázornený na obrázku. V obvode vyznačíme zvolené smery fázorov neznámych obvodových veličín.

25 Fomulácia rovníc a numerické riešenie
Z1 U1 jMI2 jMI1 Z2 I1 I2 V obvode vyznačíme potrebný počet uzavretých slučiek. S1 S2 Pomocou II. Kirchhoffovho zákona napíšeme pre každú slučku príslušnú rovnicu. Získané rovnice upravíme do vhodného tvaru tak, aby na ľavých stranách rovníc zostali iba členy s neznámymi veličinami. S1: Symbolické výrazy pre jednotlivé impedancie a fázory napätí zdrojov nahradíme číselnými hodnotami. S2: Vyriešením sústavy dvoch rovníc získame číselné hodnoty efektívnych fázorov (slučkových) prúdov I1 a I2. Sústava upravených rovníc v maticovom tvare: Časové priebehy neznámych prúdov i1(t) a i2(t) určíme ako reálne zložky maximálnych rotujúcich fázorov. Číselné výsledky riešenia sústavy: Časové priebehy hľadaných prúdov:

26 9.11. Záver Z predchádzajúcich príkladov je zrejmé, že použitie komplexných vektorov (fázorov) prináša značné zjednodušenie riešenia elektrických obvodov v harmonickom ustálenom stave. Výhodou takéhoto prístupu je skutočnosť, že sa dajú použiť tie isté postupy a metódy, ako pri riešení obvodov v stacionárnom ustálenom stave. Jedinou komplikáciou je to, že namiesto reálnych konštánt pracujeme pri výpočtoch s komplexnými konštantami (namiesto rezistorov sa v obvode vyskytujú impedancie, namiesto napätí a prúdov ideálnych zdrojov resp. známych aj neznámych obvodových veličín používame fázory). Z uvedeného vyplýva, že nutnou podmienkou úspešného zvládnutia tejto kapitoly predmetu Elektrické obvody je dokonalé ovládanie komplexného počtu. Preto je nevyhnutné zopakovať si základné matematické úkony s komplexnými číslami (súčet, rozdiel, súčin, podiel, umocňovanie a odmocňovanie).

27 Príloha Stredná hodnota periodickej veličiny je definovaná ako výška obdĺžnika nad periódou T, ktorého plocha je rovnaká ako plocha pod krivkou určenou daným časovým priebehom: Ia Poznámka: Časť plochy v časovom intervale, kedy periodická veličina nadobúda záporné hodnoty sa uvažuje so záporným znamienkom. Preto je stredná hodnota harmonickej funkcie nulová (kladná a záporná polvlna sa odčítajú). T Stacionárny (jednosmerný) prúd I=Ia prenesie za časový interval o dĺžke periódy T rovnaké množstvo elektrického náboja ako periodický prúd i(t). = Efektívna hodnota periodickej veličiny je definovaná ako druhá odmocnina zo strednej hodnoty druhej mocniny priebehu periodickej veličiny: V prípade harmonického časového priebehu prúdu (alebo napätia) v tvare dostávame pre efektívnu hodnotu prúdu (napätia) výsledok V prípade prúdu ju možno interpretovať ako taký stacionárny prúd I=Ief, ktorý na danom rezistore R v časovom intervale o dĺžke periódy T vyvinie rovnaké množstvo tepla, ako periodický prúd i(t).