POMĚR, PŘÍMÁ a NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST

Prezentace na téma: "POMĚR, PŘÍMÁ a NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST"— Transkript prezentace:

1 POMĚR, PŘÍMÁ a NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST
určení poměru, změna čísla v poměru, měřítko, dělení v daném poměru, postupný poměr, trojčlenka 7. ročník – až po zlomcích číslo a proměnná učivo: poměr, výstupy:užívá poměr ke kvantitativnímu vyjádření vztahu celek – část, převádí různá vyjádření vztahu celek – část učivo: poměr, zvětšení, zmenšení, trojčlenka, měřítko plánu a mapy výstupy:  dělí celek na části v daném poměru, změní číslo v daném poměru, upravuje poměr rozšiřováním a krácením vysvětlí, co je postupný a převrácený poměr, zapíše jej a upraví používá pojem úměr a vypočítá neznámý člen úměry řeší aplikační úlohy s využitím poměru a trojčlenky využívá měřítko mapy k výpočtu, odvodí měřítko mapy ze zadaných údajů MAPY, NAVIGACE, GPS závislosti, vztahy a práce s daty učivo: přímá a nepřímá úměrnost využívá graf přímé a nepřímé úměrnosti při zpracování dat rozpozná přímou a nepřímou úměrnost v příkladech reálného života určuje vztah přímé a nepřímé úměrnosti z textu úlohy, z tabulky a grafu sestrojí graf přímé a nepřímé úměrnosti využívá vztahy a grafy přímé a nepřímé úměrnosti k řešení aplikačních úloh a problémů Úlohy poměr Kolikrát je dané číslo (obsah, délka, …) větší/menší než jiné číslo. V jakém poměru je… Dopočtení členu poměru při daném poměru a daném jednom členu (i pro postupný) Vyjádři daný poměr v základním tvaru (i postupný) Rozhodněte, zda jsou si poměry rovny (i postupné) Zvětši dané číslo v daném poměru Sestav všechny možné poměry z dané množiny tak, aby byly rovny danému poměru (i postupný) Jsou dány dva poměry tří čísel, urči třetí poměr. Rozděl úsečku na tři úsečky v daném poměru trojčlenka Jsou dány tři ze čtyř hodnot v přímé/nepřímé úměrnosti, urči poslední. měřítko Dané měřítko a délka trasy – zjištění skutečnosti Tvoříme plán – známe skutečnost a měřítko, chceme délku obrazu přímá a nepřímá úměrnost Zakresli do SS body splňující vztah, požadovaný tvar prvního členu Sestav tabulku přímé úměrnosti Doplnit tabulku tak, aby určovala přímou úměrnost Napsat rovnice úměrností z grafů Body leží nebo neleží na grafu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Rozhodnout, zda veličiny jsou nebo nejsou přímo úměrné.

2 Poměr - motivace - etikety výrobků
ocet: Doporučené ředění: 1 díl octu na 4 díly pitné vody. sirup: Ředění: 1 díl sirupu + 6 dílů vody Primalex: 1 díl Primalexu + 0,75 dílů vody 1 díl Primalexu + 0,5 dílů vody 1 díl Primalexu + 0,3 dílů vody poměr _______ a _______ je _______ ku _______ píšeme: : - velikost dílu není podstatná záleží na pořadí úlohy:  Maruška odměřila do sklenice 25ml sirupu. Kolik má přidat vody?  Josef se chystá na druhou vrstvu nátěru Primalexem. Do kyblíku si připravil 2 litry Primalexu. Kolik má přidat vody?⅛ 

3 Poměr a:b - co to je, k čemu to je?
vyjadřuje vztah dvou kladných čísel a, b a : b poměr b : a převrácený poměr první a druhý člen poměru porovnání dvou množství množství jsou vyjádřena ve stejných, ale blíže neurčených dílech x sportovní výsledky

4 Poměr – rozšiřování a krácení
 motivace potřeba většího/menšího množství směsi zachování „receptu“ 1 díl sirupu + 6 dílů vody 4 díly sirupu + 24 dílů vody 1 : : 6.4 a : b a.k : b.k ? Co se stane s členy poměru, když se poměr rozšíří ? 1 díl Primalexu + 0,5 dílů vody ¼ dílu Primalexu +⅛ dílu vody 1 : 0, (1:4) : (0,5:4) a : b (a:k) : (b:k) ? Co se stane s členy poměru, když se poměr zkrátí?

5 Poměr – základní poměr, rovnost poměrů
základní poměr a : b, NSD(a, b) = 1 rovnost poměrů - poměr a : b lze převést na c : d rozšiřování a krácením, pak a : b = c : d - podíl a:b je stejná jako podíl c:d, pak úlohy Rozhodni, zda jsou si rovny poměry 65 : 169 a 50 : 130. Napiš poměr rovný poměru 2 : 5. Jsou dány poměry 27 : 4, 6 : a. Urči a tak, aby si byly poměry rovny. Vyjádři poměr 0,5 : 0,025 v základním tvaru. 

6 Změna čísla v daném poměru
motivace Je dána úsečka |AB| = 3cm. Narýsuj úsečky KL a PQ tak, aby |KL|:|AB| = 2 : 1 a |PQ|:|AB| = 1 : 2. A B K L P Q |KL| = |AB| |PQ| = |AB| změnit číslo c v poměru a:b znamená vynásobit c zlomkem zvětšení čísla zmenšení čísla c úlohy Fotografie má rozměry 9cm x 13cm. Jaká bude delší strana fotografie zvětšené tak, že menší strana má 18cm. 

7 Rozdělení celku v daném poměru
motivace Bratři si mají rozdělit kapesné 400 Kč v poměru 3 : 5. Kolik každý dostane? 400Kč …… 8 dílů 50 Kč …… 1 díl postup - součet členů poměrů = celkový počet dílů jaké množství připadá na jeden díl jaké množství připadá na jednotlivé členy poměru 

8 poměr s více než dvěma členy porovnání více než dvou čísel zároveň
Postupný poměr poměr s více než dvěma členy porovnání více než dvou čísel zároveň a : b : c rozšiřování poměru krácení poměru rovnost poměrů rozdělení v poměru spojení dvou jednoduchých poměrů v postupný poměr a : b = 11 : 3, a : c = 3 : 5, a : b : c = ? z daných dvou poměrů tří čísel určit zbývající poměr  spojení poměrů – úloha na rozšíření poměrů

9 poměr rozměrů na mapě (plánu) a skutečných rozměrů 1 : a úlohy
Měřítko plánu a mapy poměr rozměrů na mapě (plánu) a skutečných rozměrů 1 : a úlohy určení skutečných rozměrů (vzdáleností) určení rozměrů (vzdáleností) na mapě (plánu) určení měřítka mapy  GPS – jen v terénu

10 Přímá a nepřímá úměrnost
Milada kupuje sezamové rohlíky. Jeden stojí 4 Kč. Kolik zaplatí za 7, 3, 9, 6, 5, 4 takových rohlíků? Udělej tabulku. x (počet rohlíků) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y (cena v Kč) 12 16 20 24 28 32 36

11 Přímá a nepřímá úměrnost
Kolikrát se zmenší x, tolikrát se zmenší y. Kolikrát se zvětší x, tolikrát se zvětší y. Veličina x se změní ve stejném poměru a:b jako veličina y. Potrubím nateče za 15 minut 140 litrů vody. Kolik vody nateče stejným potrubím za 20 minut? Na 0,5kg mouky se spotřebuje 0,12kg cukru. Kolik cukru je potřeba na pečivo vyrobené z 5kg mouky?

12 Trojčlenka metoda řešení úloh vede k sestavení rovnosti dvou poměrů
tři členy úměry jsou známé Vpočti neznámý člen úměry: a : 10 = 12 : : z = 28 : 32 y : 2,1 = 3,5 : 1,5 10 : 18 = x : : 9 = 56 : d 1 : 3 = 1 : c

13 Přímá a nepřímá úměrnost
Ozubené soukolí obsahuje několik kol. Nejmenší z nich má průměr 80 mm a otočí se za 200krát za minutu. Počet otáček pro kola průměrů 180 mm, 120 mm, 160 mm jsou v tabulce. Kolikrát je větší počet otáček nejmenšího kola než je počet otáček druhého největšího kola? x (průměr v mm) 80 120 160 180 y (počet otáček za minutu) 90

14 Přímá a nepřímá úměrnost
Kolikrát se zmenší x, tolikrát se zvětší y. Kolikrát se zvětší x, tolikrát se zmenší y. Veličina x se změní v poměru a : b, pak se veličina y změní v převráceném poměru b : a. Péťa jí čokoládu. Když každý den sní 4 kousky, vystačí mu na 3 dny. Rozhodl se, že sní každý den jen 2 kousky. Jak dlouho mu vydrží? Pan Motyčka připravuje nový chodník k domu. Když použije čtvercové dlaždice velké 40 cm, bude jich potřebovat 72. Víc se mu ale líbí ty, které mají velikost 60 cm. Kolik jich musí koupit?

15 Přímá a nepřímá úměrnost
Určování typu úměrnosti. z textu z tabulky z grafu 

16 Přímá a nepřímá úměrnost – určování z textu
Jsou veličiny přímo či nepřímo úměrné? počet nakoupených krabic mléka, cena jedné krabice věk dítěte, hmotnost dítěte počet otevřených pokladen, délka fronty u pokladny strana čtverce a jeho obsah počet zubů na kole, počet otáček kolem provedených množství vody přečerpané čerpadlem, výkon čerpadla počet členů rodiny, spotřeba brambor rychlost auta, čas strávený jízdou známka ze zkoušky, počet pokusů o její složení čas strávený prací, počet pracovníků spojení poměrů – úloha na rozšíření poměrů

17 Přímá a nepřímá úměrnost – určování z tabulky
Jsou veličiny přímo či nepřímo úměrné? x 1 2 4 5 y 8 16 32 40 x 15 12 10 9 y 8 13 x 10 2 20 8 y 0,5 0,1 1 0,4 x 2 3 4 6 y 10 12 18 spojení poměrů – úloha na rozšíření poměrů

18 Přímá a nepřímá úměrnost
Doplň tabulky tak, aby byly veličiny a) přímo, b) nepřímo úměrné. x 0,1 0,4 0,7 y 1,4 0,8 x 2 1 y spojení poměrů – úloha na rozšíření poměrů

19 Přímá a nepřímá úměrnost - grafy
- zakreslování bodů do Oxy y - čtení souřadnic bodů A=[-1, 3] B x Sestroj bod - souměrně sdružený s daným podle x (y) - na ose x se souřadnicí x = 4 - jehož druhá souřadnice je o 3 větší než první - jehož první souřadnice je polovinou druhé - … 1 0xy pravoúhlá soustava souřadnic 0 počátek soustavy souřadnic X první osa soustavy souřadnic Y druhá osy soustavy souřadnic

20 Přímá úměrnost - grafy Sestroj body, jejichž první souřadnice je počet rohlíků a druhá je cena, za kterou se koupí. y = 4x y : x = 4 x (počet rohlíků) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y (cena v Kč) 12 16 20 24 28 32 36 0xy pravoúhlá soustava souřadnic 0 počátek soustavy souřadnic X první osa soustavy souřadnic Y druhá osy soustavy souřadnic

21 k - koeficient přímé úměrnosti
Přímá úměrnost - graf y = k.x k - koeficient přímé úměrnosti graf – body grafu leží na přímce procházející počátkem. y = x y = 2.x 1 1 0xy pravoúhlá soustava souřadnic 0 počátek soustavy souřadnic X první osa soustavy souřadnic Y druhá osy soustavy souřadnic 1 1

22 Nepřímá úměrnost - grafy
Sestroj body, jejichž první souřadnice je čas, druhá je rychlost. x.y = 20 y = 20/x x (h) 4 5 10 1 y (km/h) 2 20 0xy pravoúhlá soustava souřadnic 0 počátek soustavy souřadnic X první osa soustavy souřadnic Y druhá osy soustavy souřadnic

23 Nepřímá úměrnost - graf
y = k:x k - koeficient nepřímé úměrnosti graf – body grafu leží na křivce y = 1/x y = 0,5/x 1 1 0xy pravoúhlá soustava souřadnic 0 počátek soustavy souřadnic X první osa soustavy souřadnic Y druhá osy soustavy souřadnic 1 1

24 Přímá a nepřímá úměrnost - kompetence
- zápis vzorce (rovnice) úměrnosti zadané tabulkou (a obráceně) - sestrojení grafu úměrnosti z tabulky (a obráceně) - sestrojení grafu úměrnosti ze vzorce (a obráceně) - rozhodnutí přímá-nepřímá úměrnost (z grafu, ze vzorce, z textu, z tabulky)

25 LINEÁRNÍ ROVNICE

26 LINEáRNÍ ROVNICE postupy řešení m. inverzní operace m. řízeného pokusu
1. stupeň 2 +  = –  = 8 8 .  = :  = 14 postupy řešení m. inverzní operace m. řízeného pokusu obrázek

27 LINEáRNÍ ROVNICE 2. stupeň postupy
trojčlenka (přímá, nepřímá úměrnost) ekvivalentní úpravy typy rovnic 1. výrazy na obou stranách rovnice jsou mnohočleny 2. rovnice v součinovém tvaru 3. rovnice s neznámou ve jmenovateli 4. lineární rovnice se dvěma neznámými ukázka na vahách pro rovnici x =3x+5+1

28 Rovnost Co je rovnost? - platná x neplatná rovnost
- levá, pravá strana rovnosti Rovnost – zápis s čísly nebo s číselnými výrazy

29 RovnICE Co je rovnice? Co je neznámá? Co je řešení rovnice?
Co je zkouška? Kolik má rovnice řešení? rovnice– zápis, v němž jsou výrazy s proměnnou (proměnnými)

30 EKVIVALENTNÍ ÚPRAVY RovnICE - model
= postup, kterým z rovnice dostaneme jinou se stejnou množinou kořenů X^2+1=0, sqrt x = -3

31 EKVIVALENTNÍ ÚPRAVY RovnICE - model
viz stránku -> algebra -> 6 -8 = postup, kterým z rovnice dostaneme jinou se stejnou množinou kořenů X^2+1=0, sqrt x = -3

32 EKVIVALENTNÍ ÚPRAVY RovnICE
Co je ekvivalentní úprava rovnice? - výměna stran rovnice přičtení stejného čísla nebo mnohočlenu k oběma stranám rovnice odečtení stejného čísla nebo mnohočlenu k oběma stranám rovnice vynásobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem vydělení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem = postup, kterým z rovnice dostaneme jinou se stejnou množinou kořenů X^2+1=0, sqrt x = -3

33 EKVIVALENTNÍ ÚPRAVY RovnICE
Jak se používají ekvivalentní úpravy rovnic? zápis rovnice a jejích úprav zarovnání na „=“ prováděné úpravy se píší za čáru | nebo / - neznámá je vlevo

34 TYPY LINEÁRNÍCH ROVNIC
Navrhněte posloupnost různých typů rovnic vedoucích na řešení lineárních rovnic (s mnohočleny na obou stranách rovnice) od nejjednodušších po nejsložitější. Uvažujte při tom - obor koeficientů, přednost operací ve výrazech, kvalitu (kladné/záporné číslo, celé/racionální číslo) a počet řešení,… Např. 1. „dvojčlen = jednočlen“ s koeficienty v Z, 1 řešení; x + 3 = 52, x – 18 = 20, 2x + 5 = 7, 3x – 4 = –16, 5 – 6x = 7 „dvojčlen = dvojčlen“, 3x + 5 = 2x + 10, 6 – 7x = 5x + 1 „mnohočlen = mnohočlen“ (víc než 2 členy) 2. rovnice obsahuje závorky, 3(x – 4) = 2 + x, 7–3(x + 1)=2+2(1 – x) 3. r. obsahuje zlomky, 4. r. obsahuje vyšší mocniny neznámé, (x–1)2=x(2+x), … 34

35 Výhodnost různých postupů
př. Katka prodávala na trhu vajíčka. První zákaznici prodala polovinu vajec, které měla, a půl vajíčka. Druhé zákaznici prodala polovinu zbytku a polovinu vajíčka a stejně obsloužila i třetí zákaznici. Po jejím odchodu zůstalo Katce jedno vejce. Kolik vajíček měla Katka na začátku? Sestavení modelu úlohy – lineární rovnice „se závorkami“ a s koeficienty v mn. racionálních čísel Řešení řízeným pokusem. 35