DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL zpracovaný v rámci projektu

Prezentace na téma: "DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL zpracovaný v rámci projektu"— Transkript prezentace:

1 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL zpracovaný v rámci projektu
Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu: EU peníze středním školám Gymnázium a Střední odborná škola, Podbořany, příspěvková organizace Šablona:III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Sada: Kuželosečky v gymnaziálním učivu Ověření ve výuce Třída: septima a oktáva Datum: Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Marie Honzlová. Dostupné z Metodického portálu ISSN Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

2 TÉMA: Elipsa a přímka PŘEDMĚT: matematika KLÍČOVÁ SLOVA: elipsa, vrcholy elipsy, ohniska elipsy, tečna elipsy, bod dotyku JMÉNO AUTORA: Mgr. Marie Honzlová

3 Metodický pokyn: Úkolem materiálu je analyticky řešit problém vzájemné polohy přímky a elipsy. Hlavní pozornost je věnována rovnici tečny elipsy.

4 Vzájemná poloha přímky a elipsy
Žádný společný bod Jeden společný bod (tečna) Dva společné body

5 Příklad č. 1 Určete vzájemnou polohu přímky, která je vyjádřena rovnicí 7x + 2y + 9 = 0, a elipsy s rovnicí 3(x + 4)2 + 2(y + 1)2 = 10.

6 Řešení: Řešíme-li vzájemnou polohu přímky a elipsy, hledáme jejich společné body, tj. řešíme soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými (souřadnice průsečíku). p: 7x + 2y + 9 = 0 ⇒ y = (7x + 9) 𝓔: 3(x + 4)2 + 2(y + 1)2 = 10 Po dosazení a úpravě máme rovnici: 55x x = 0

7 Diskriminant této rovnice D = - 6184 < 0, tj
Diskriminant této rovnice D = < 0, tj. rovnice nemá v R řešení. Závěr: Přímka a elipsa nemají žádný společný bod.

8

9 Příklad č. 2 Určete vzájemnou polohu přímky p: y = x a elipsy 𝓔: (x - 6)2 + 5(y - 5)2 = 20.

10 Řešení: Po dosazení za y do rovnice elipsy a po úpravě získáme kvadratickou rovnici: 6x2 - 62x = 0. Tato rovnice má dvě řešení: x1 = 31− , x2 = Po dosazení do vztahu y = x získáme y1 = 31− , y2 =

11 Závěr: Přímka protíná elipsu ve dvou bodech Q1 [ 𝟑𝟏− 𝟏𝟏𝟓 𝟔 , 𝟑𝟏− 𝟏𝟏𝟓 𝟔 ] a Q2 [ 𝟑𝟏+ 𝟏𝟏𝟓 𝟔 , 𝟑𝟏+ 𝟏𝟏𝟓 𝟔 ].

12

13 Jedná se o přímku, která má s elipsou právě jeden společný bod.
Tečna elipsy Jedná se o přímku, která má s elipsou právě jeden společný bod.

14 Rovnice tečny elipsy 𝓔: 𝒙 − 𝒎 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒚 − 𝒏 𝟐 𝒃 𝟐 =𝟏 v bodě T[x0, y0] t: 𝒙 𝟎 − 𝒎 𝒙 −𝒎 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟎 − 𝒏 𝒚 − 𝒏 𝒃 𝟐 =𝟏

15 Příklad č. 3 Napište rovnici tečny elipsy 𝓔: 𝒙 − 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 + 𝒚 + 𝟑 𝟐 𝟐 =𝟏 v jejím bodě T[0, − ] .

16 Řešení: t: x 0 −3 x − y y =1 T[0, − ] ∈ t: 0 −3 x − − y =1 po úpravě t: x – 𝟐 y 𝟐 = 0

17

18 Příklad č. 4 Určete rovnice tečen elipsy 𝓔: 5x2 + y2 = 5, které procházejí bodem M[-1, 5].

19 Řešení: Po dosazení souřadnic bodu M [-1, 5] do rovnice elipsy jsme zjistili, že bod M není bodem elipsy. Hledaná tečna je určena bodem M a bodem T[x0, y0] elipsy. t: 5x0x + y0y = 5 T ∈𝓔: 5x02 + y02 = 5 M ∈ t: - 5x0 + 5y0 = 5

20 Řešením dvou rovnic s neznámými x0 a y0 získáme dva body dotyku tečen z bodu M k elipse 𝓔 : T1[-1, 0] a T2[ 2 3 , 5 3 ]. Souřadnice bodů dotyku dosadíme do rovnice tečny a upravíme. Hledané tečny mají rovnice: t1: x + 1 = 0 t2: 2x + y – 3 = 0

21

22 ZDROJE: ŠEDIVÝ, J. Matematika pro III. ročník gymnázií. 1. vyd. Praha: SPN, s. 250–267. KOČANDRLE, M., BOČEK, L. Matematika pro gymnázia, Analytická geometrie. 2. vyd. Praha: Prometheus,1995. ISBN s. 165–169.