Vektorová grafika.

Prezentace na téma: "Vektorová grafika."— Transkript prezentace:

1 Vektorová grafika

2 Vektorové entity Úsečka Kružnice, elipsa, kruhový oblouk,…
Složitější křivky, splajny, Bézierovy křivky, … Plochy Tělesa Modely

3 Rasterizace Regenerace Rasterizace úsečky (například DDA algoritmus)

4 Vektorizace Ruční Automatická Poloautomatická

5 Interpolace Křivka prochází přímo zadanými body

6 Interpolace polynomem
Lineární – 2 body Kvadratická – 3 body Polynom n-tého stupně – n+1 bodů

7 Lineární interpolace

8 Kvadratická interpolace

9 Interpolace polynomem 4 stupně
Interpolované body: (-2,4) (-1,0) (0,3) (1,1) (2,-5) Rovnice: 16a -8b +4c -2d + e = 4 a - b + c -d +e = -3 e = 3 a + b + c + d +e = 1 16a +8b +4c +2d +e =-5 Řešení: a=0.458 b=-0.75 c=-2.95 d= e=3 Funkce: 0.458*x^4-0.75*x^3-2.95*x^2+1.25*x+3

10 Spline křivka Křivka se skládá z úseků vyjádřených polynom nižšího stupně, než odpovídá počtu bodů. Křivky na sebe v hraničních bodech hladce navazují

11 Lineární „spline“ Polynomy prvního stupně.
V hraničních bodech na sebe navazují spojitě. Není zaručena spojitost ani první derivace. Česky se tomu říká lomená čára

12 Kvadratický spline Křivka jsou úseky parabol.
V hraničních bodech na sebe paraboly hladce navazují – mají spojitou první derivaci. Další derivace nemusí být (a obvykle nejsou) spojité. Je nejpoužívanější, pokud se řekne jen spline, myslí se obvykle kvadratický spline (viz AutoCAD)

13 Kvadratický spline

14 Spline křivky vyšších stupňů
Kubický – funkce po částech 3-tího stupně (kubika), zaručuje spojitost první a druhé derivace Obecný (n-tého stupně), zaručuje spojitost (n-1). derivace.

15 Aproximační křivky Nemusí procházet přímo zadanými body.
Formálně lze za aproximační křivku považovat libovolnou křivku. Problém je nalézt takové vyjádření, které bude Jednoduché Bude dostatečně dobře aproximovat danou křivku

16 Aproximace metodou nejmenších čtverců
Zvolím typ funkce (obvykle polynom nižšího stupně, než by byl potřeba pro interpolaci bodů). Vypočítám takové parametry, aby součet čtverců odchylek v zadaných bodech byl minimální. ∑(yi-f(xi))2→ min

17 Metoda nejmenších čtverců

18 Bézierova aproximace (Bézierova křivka)
Aproximace polynomem daného stupně n-tý stupeň pro n+1 bodů P0,P1,…,Pn Křivka prochází krajními body P0 a Pn Tečna v počátečním bodě P0 je rovnoběžná s vektorem P0P1. Tečna v koncovém bodě Pn je rovnoběžná s vektorem Pn-1 Pn Celá křivka leží v konvexním obalu bodů P0, … ,Pn

19 Pierre Ettiene Bézier (1910-1999)

20 Vyjádření Bézierovy křivky

21 Lineární Bézierova křivka
B(t) = (1-t).P0 + t.P1 Parametrická rovnice úsečky

22 Kvadratická Bézierova křivka
B(t) = (1-t)2P0 + 2t(1-t)P1 + t2P2

23 Kubická Bézierova křivka
B(t) = (1-t)3P0 + 3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t)P2 + t3P3

24 Bézierovy křivky vyšších řádů
Příklad vzorce pro křivku 5.stupně

25 Třírozměrné modelování

26 Modelování a zobrazování
Obraz(y) modelu model Realita (skutečnost) modelování Zobrazování (vizualizace)

27 3D modelování Rastrové (voxelové) Vektorové

28 Voxelové modelování 0 = není v tělese 1 = je v tělese

29 Vektorové modelování B-reprezentace Primitivní tělesa 2 ½ D modelování
CSG modelování

30 B reprezentace (hraniční, boundary)

31 Modelování z primitivních těles
Kvádr Zadat dva protilehlé vrcholy Nebo Zadat dva protilehlé vrcholy podstavy a výšku

32 Primitivní tělesa v AutoCADu
Kvádr Koule Válec Kužel Klín Torus ….

33 2 ½ D modelování Modelování 3D těles pomocí transformací z 2D objektů
Posunutí (vysunutí, extrude) Rotace (rotate, revolve) …… např posunutí podle křivky

34 Vysunutí Obdélník → Kvádr Kruh → Válec

35 Otočení Obdélník → Válec Trojúhelník → Kužel Kruh → Koule

36 Computer Solid Geometry (CSG) modelování
Množinové operace Sjednocení Průnik Rozdíl CSG strom

37 CSG strom

38 CSG strom subtract{ union{ box{[0,0,0][4,4,1]}
cylinder{[4,2,0],[4,2,1],1} } cylinder{[3,3,0][3,3,5],0.5}