Grafické znázornění prostoru a času

Prezentace na téma: "Grafické znázornění prostoru a času"— Transkript prezentace:

1 Grafické znázornění prostoru a času
T14:00 FyM U3V - Obdržálek Grafické znázornění prostoru a času U3V Jan Obdržálek 1/44

2 Podstata relativity Já vidím věci kolem sebe takhle.
FyM - Obdržálek Podstata relativity Já vidím věci kolem sebe takhle. Jak to vidí ten druhý? Přesněji: Umím popsat věci a události kolem sebe. Jak je popíše někdo jiný, kdo se např. vůči mně pohybuje? Jádro: Jak spolu souvisí prostor a čas? 2/44

3 FyM - Obdržálek Jak na to? Chceme názorně předvést prostor, čas a jejich vzájemné vztahy v klasické newtonovské mechanice (KM) a ve speciální teorii relativity (STR), podobnosti a rozdíly. Pro snadný popis zavedeme pojem vztažná soustava a ukážeme, jak s ní graficky zacházet. z‘ B y‘ x‘ O‘ O‘ 3/44

4 Co je a k čemu je vztažná soustava?
FyM - Obdržálek Co je a k čemu je vztažná soustava? Ve vztažné soustavě S, S‘, S“ (víc jich tu nebudeme potřebovat) popisujeme časové a prostorové údaje událostí. Každá vztažná soustava, např. S‘, má někde v prostoru počátek obvykle značený O‘; všimněte si u všeho čárky označující zvolenou soustavu. z‘ y‘ x‘ O‘ 4/44

5 Co je a k čemu je vztažná soustava?
FyM - Obdržálek Co je a k čemu je vztažná soustava? Z počátku O‘ vycházejí v prostoru tři osy, které označíme jako x‘, y‘, z‘. Vynášíme na ně tři rozměry, délku, šířku a výšku polohy popisovaného bodu B. z‘ B y‘ x‘ O‘ O‘ 5/44

6 Co je a k čemu je vztažná soustava?
FyM - Obdržálek Co je a k čemu je vztažná soustava? Získané hodnoty – souřadnice bodu B – označíme x‘B , y‘B , z‘B „Jedna čárka“ označuje, že měříme v soustavě S‘ (s jednou čárkou), index B připomíná, o který bod jde. Počátek O‘ má všechny souřadnice rovné nule. z‘ B y‘ z‘B y‘B x‘ O‘ x‘B x‘B 6/44

7 Jak si nakreslíme graf na papír?
FyM - Obdržálek Jak si nakreslíme graf na papír? Bez ohledu na to, že v obvyklém životě volíme osy na sebe kolmé, v našem grafu mohou svírat jakýkoli námi zvolený úhel; víme ovšem, že vzdálenost dvou bodů A, B nebudeme moct jednoduše odměřit z grafu přímo. A z‘ s‘AB B z‘B z‘A y‘ y‘ y‘A y‘B x‘ x‘ O‘ x‘B x‘A 7/44

8 Vzdálenost podle grafu
FyM - Obdržálek Vzdálenost podle grafu Zjistíme ale hodnoty souřadnic x‘, y‘, z‘ pro oba body A, B (promítneme je rovnoběžně s osami) a z nich spočítáme čtverec jejich vzdálenosti jako součet čtverců (Pythagorova věta) A z‘ s‘2AB B B z‘B-z‘A y‘ z‘B z‘B z‘A y‘B-y‘A y‘A y‘B x‘ O‘ x‘B x‘B-x‘A x‘A 8/44

9 FyM - Obdržálek Výpočet vzdálenosti s‘ 2AB = (x‘B - x‘A)2 + (y‘B - y‘A)2 + (z‘B - z‘A)2 tzv. Eukleidovská metrika (Pythagorova věta) A z‘ s‘AB B B z‘B-z‘A y‘ z‘B z‘B z‘A y‘B-y‘A y‘A y‘B x‘ O‘ x‘B x‘B-x‘A x‘A 9/44

10 Pojem absolutní × relativní
U3V - Obdržálek Pojem absolutní × relativní Absolutní = nezávislý na pozorovateli (na S) teplota T kamen elektrický náboj Q délka d (had má 0,75 m od hlavy k patě) Relativní (vůči pozorovateli, vůči S) poloha r (vpředu, na 5. km nalevo) pojem klidu či pohybu (usneme ve vlaku) rychlost v (vždy vůči něčemu: Země, Slunce) 9/44

11 Od S‘ do jiné vztažné soustavy S“
U3V - Obdržálek Od S‘ do jiné vztažné soustavy S“ Jiná soustava S“: jiný O“, jiné osy x“, y“, z“ → Jiné souřadnice téhož bodu B: x‘B  xB“ rovnoběžně s osami Přepočet S‘ ↔ S“: lineární (úměra) z‘ z“ B z“B z‘B y“ y‘ y“B počátek O“ x“B y‘B x“ počátek O‘ x‘B x‘ 11/44

12 Popis pohybu Další veličina: čas t
U3V - Obdržálek Popis pohybu Další veličina: čas t Pohyb: poloha r se mění v závislosti na čase t Klasická fyzika: prostor a čas jsou nezávislé Relativistická fyzika: prostor a čas spolu souvisejí a vytvářejí prostoročas Popis pohybu bodu s polohou r graficky: + 1 osa pro čas t; pro graf 4D  Omezíme svůj pohyb na 1D (po přímce) 12/44

13 Grafický popis pohybu V pravidelných časech t fotíme celou silnici
U3V - Obdržálek Grafický popis pohybu V pravidelných časech t fotíme celou silnici Fotky (pásy) řadíme za sebou podle času Např. kolo jedoucí po silnici: 13/44

14 Popis pohybu t (kdy je) kolo na silnici x (kde je)
U3V - Obdržálek U3V - Obdržálek Popis pohybu t (kdy je) kolo na silnici fotíme silnici každou ½ s 5 kolo (bod v prostoru) 4 foto v 3,5 s Tento (statický) grafikon zobrazuje celý pohyb kola po silnici v čase 3 foto v 3,0 s foto v 2,5 s 2 foto v 2,0 s foto v 1,5 s foto v 1,0 s 1 foto v 0,5 s Pohyb kola foto v 0,0 s 0 m x (kde je) -4 -2 2 4 6 8 10 (start) 14/44 14/44

15 Popis pohybu t (kdy je) kolo na silnici x (kde je)
U3V - Obdržálek U3V - Obdržálek Popis pohybu t (kdy je) kolo na silnici fotíme silnici každou ½ s 5 kolo (bod v prostoru) 4 foto v 3,5 s Kde bude kolo v 2,7 s? na 5,4 m 3 rovnoběžky s osami ! foto v 3,0 s Kdy bude kolo na 3 m? v 1,5 s foto v 2,5 s 2,7 2 foto v 2,0 s foto v 1,5 s 1,5 foto v 1,0 s 1 foto v 0,5 s foto v 0,0 s x (kde je) 3,0 5,4 -4 -2 2 4 6 8 10 (start) 15/44 15/44

16 grafikon t (kdy kde jsou) x (kde jsou)
U3V - Obdržálek grafikon Jsem na silnici (bod 0), nalevo sedí holubice, napravo kočka a pes. Filmuji silnici a skládám okamžité snímky – pásky – nad sebe. t (kdy kde jsou) __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6 _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5 Světočáry holubice, kočky a psa _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _  __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _0_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ x (kde jsou) -2 -1 1 2 3 4 5 16/44

17 Graf (nádražní grafikon)
U3V - Obdržálek Graf (nádražní grafikon) t/min (kdy tam je) vlak 5 Tento (statický) grafikon zobrazuje celý pohyb vlaku v čase a 1D prostoru. 4 stojí 3 2 1 jede stojí (a čas plyne) x/km (kde je) -2 -1 1 2 3 4 5 (nádraží) (cíl) 17/44

18 Poloha vůči Zemi S[t;x] a vlaku S‘[t‘;x‘]
U3V - Obdržálek Poloha vůči Zemi S[t;x] a vlaku S‘[t‘;x‘] Značkujeme lakem: t S S‘ já ve vlaku B: lak (vlak i Zem) (2 s; 4 m) vůči Zemi (2 s; 3 m)‘ vůči vlaku 5 s 5 s C: lak na Zemi vyschl C D 4 s 4 s D: lak ve vlaku vyschl CB: soumístné (Země) DB: soumístné (vlak)‘ 3 s 3 s E CD: současné (vlak, Země) tB = 2 xB = 4 t‘B = 2 x‘B = 3 rychlost vlaku vůči Zemi: W W = ½ m/s x‘B = xB – WtB t‘B = tB Galileiho trafo 2 s 2 s B 1 s 1 s F Přede mnou: 0 m x‘ (kde je ve vlaku) 1 m 2 m 3 m x (kde je na Zemi) -2 m -1 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m (Země) 18/44

19 Poloha události vůči Zemi S a vlaku S‘ Poloha události vůči Zemi S
U3V - Obdržálek Poloha události vůči Zemi S a vlaku S‘ Poloha události vůči Zemi S Poloha události t t S t‘ S‘ já ve vlaku Převod KM : Galileiho trafo x‘ = x – W t t‘ = t W : rychlost S‘ vůči S Osa x --- táž v S i S‘ Formálně: sklon ∼ rychlost ⇒ 𝑤=∞ v S i S‘ ⇒ současnost v S i S‘ 5 s 5 s C D 4 s 4 s 3 s 3 s E 2 s t 2 s t‘ B 1 s 1 s F 0 s Přede mnou: 0 m x‘ x 1 m 2 m 3 m x‘ (kde je ve vlaku) x (kde je na Zemi) -2 m -1 m 0 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 19/44

20 Speciální teorie relativity
Klasická mechanika předpokládala týž (absolutní) čas ve všech S, S‘, S“. STR bere (ze všech měření!) , že ve všech S, S‘, S“ je táž světelná rychlost 𝑐 ≈ km/s. Všechny pokusy (i jejich další důsledky) potvrzují, že rychlost světla ve vakuu nezáleží ani na rychlosti zdroje světla či pozorovatele ani na směru šíření světla

21 Speciální teorie relativity
Einsteinův přínos: nejde o vlastnost světla nebo materiálů (kontrakce délek, dilatace času), ale o vlastnost prostoru a času – prostoročasu. (Kontrakci i dilataci znali už i jiní před ním.) Jak se to projeví graficky a jaké uvidíme důsledky?

22 Grafické zpracování (vylepšení)
Detail: Sekunda a metr spolu nijak nesouvisí. Zavedeme společnou míru: namísto t berme ct (dobu měříme dráhou, kterou by za tu dobu urazilo světlo) – à la „světelný rok“. Je to jen změna velikosti jednotky. Za 1 ns (frekvence 1 GHz) urazí světlo cca 30 cm. Světočára světla („světelný kužel“) pak půlí úhel svíraný osami 𝑥 a 𝑡, takže světlo má rychlost 1.

23 Grafické zpracování Zatím (KM): Nyní (STR): ct ct ct‘ ct‘ světlo
α w+b=1 b 1 1 1 1 α w b a b x‘ a 1 1 x‘ 1 x 1 x světelná rychlost: a/a = 1 b/b = 1 světelná rychlost: v S (w +b)/1 = 1 v S‘ b / 1 = b < 1

24 Důsledky: relativní současnost
Zatím (KM): Nyní (STR): ct ct ct‘ ct‘ světlo světlo 1 1 1 1 x‘ 1 1 x‘ 1 x 1 x události současné v S tytéž jako v S‘ události současné v S jiné než v S‘

25 Důsledky: rychlost info ≤ c
Zatím (KM): Nyní (STR): ct ct ct‘ ct‘ světlo světlo 1 1 1 1 x‘ ct“ 1 B 1 x‘ 1 x 1 x není důvod k omezení rychlosti info nadsvětelná rychlost S“ by mohla měnit minulost B v S‘ (t‘B < 0)

26 Důsledky: délková kontrakce
Zatím (KM): Nyní (STR): ct ct ct‘ ct‘ světlo světlo 1 1 1 1 x‘ d‘ 1 1 x‘ d 1 x 1 x tyč má stejnou délku v S i S‘ tyč vlastní délky d‘ =1 v S‘ je kratší d < 1 v S

27 Důsledky: časová dilatace
Zatím (KM): Nyní (STR): ct ct ct‘ ct‘ světlo světlo 1 1 1 1 1/γ 1/γ x‘ 1 1 x‘ x 1 x 1 hodiny v S i S‘ jsou stejně rychle pohybující se hodiny jdou pomaleji (mají údaj γ-krát menší)

28 „Paradoxy“: auto v garáži
vjezd výjezd záď ct ct‘ D auto ze své soustavy 1 x‘ t‘C < t‘B 1 1 střed auta je ve středu garáže C B 1 x auto se soustavy garáže t C >t B A

29 Děkuji vám za pozornost
FyM - Obdržálek  Děkuji vám za pozornost 29/44