Symetrie a zákony zachování v neholonomní mechanice

Prezentace na téma: "Symetrie a zákony zachování v neholonomní mechanice"— Transkript prezentace:

1 Symetrie a zákony zachování v neholonomní mechanice

2 Nevázané mechanické systémy
b x α O m Symetrie v neholonomní mechanice

3 Holonomně vázané mechanické systémy
α x O x’ Symetrie v neholonomní mechanice

4 Neholonomně vázané mechanické systémy
x α O φ m, J Symetrie v neholonomní mechanice

5 „Skutečné“ neholonomní systémy I
B y’ y C A x’ ϴ x Symetrie v neholonomní mechanice

6 „Skutečné“ neholonomní systémy II
Částice ve speciální teorii relativity seminář ÚTFA Symetrie v neholonomní mechanice

7 Základní matematika algebra
tenzorové prostory, tenzorový a vnější součin, kontrakce podkladové prostory fibrované prostory (variety) a jejich jetová prodloužení řezy fibrovaných prostorů prodloužení řezů, holonomní řezy, neholonomní řezy geometrické objekty vektorová pole, vertikální vektorová pole, diferenciální formy (horizontální, kontaktní), distribuce, indukovaná zobrazení, operace (vnější derivace, Lieova derivace, …) variační problém Lagrangeova struktura, variační funkcionál, extremála, E-L forma, E-L rovnice, dynamická forma, dynamická forma, dynamické rovnice Symetrie v neholonomní mechanice

8 Algebra k-tenzor na vektorovém prostoru Vn
tenzorový součin k-tenzoru a l –tenzoru alternace (antisymetrizace) a vnější součin kontrakce tenzoru vektorem

9 Fibrované prostory a řezy
π1,0 π t γ(x) J1γ(x) Ω J1Y … první prodloužení Y dim J1Y = 2m+1 {t } × Rm × Rm … (fázový prostor) πr,1 Y … totální prostor dim Y = n +1, např. Y = Rn+1 {t } × Rm … (konfigurační prostor) X … báze (prostor parametrů, čas) dim X = 1, např. X = R

10 Příklad: řezy FP a jejich prodloužení
t q Symetrie v neholonomní mechanice

11 Vektorová pole π-projektabilní ξ π-vertikální π γ ξ0 vertikální
prodloužení vektorového pole Symetrie v neholonomní mechanice

12 Diferenciální formy antisymetrická tenzorová pole na JrY horizontální
kontaktní jednoznačný rozklad Symetrie v neholonomní mechanice

13 . Indukovaná zobrazení f f(C) C y x ξ Txf(ξ) X Y
Symetrie v neholonomní mechanice

14 Lieova derivace π-projektabilní ξ αs0(t) γ π ξ ξ0 t
Lieova derivace formy ω podle vektorového pole ξ Symetrie v neholonomní mechanice

15 Distribuce ξ(z) J1Y z χ(y) Y y X π1,0 Ω π t
Symetrie v neholonomní mechanice

16 Variační funkcionál γτ Lagrangeova struktura γ variační integrál Ω
Symetrie v neholonomní mechanice

17 První variační formule
První variační formule v integrálním a diferenciálním tvaru Symetrie v neholonomní mechanice

18 Symetrie Lagrangeovy struktury
transformace invariance lagrangiánu zákony zachování tok Relativistická částice - seminář ÚTFA

19 Příklad: jednorozměrný pohyb
rovnice Noetherové - obecně toky (veličiny zachovávající se podél trajektorií) Relativistická částice - seminář ÚTFA

20 Příklad: jednorozměrný pohyb
Relativistická částice - seminář ÚTFA

21 Neholonomní vazba rovnice vazeb na J 1Y kanonická vazební distribuce
vazební podvarieta Q v J 1Y , dim 2m +1 – k kanonická vazební distribuce holonomní řez v Q … integrální řez kanonické distribuce

22 Mechanický systém s vazbou –I
vazební (Četajevovy) síly, deformace dyn. formy deformované rovnice m + k rovnic pro Symetrie v neholonomní mechanice

23 Mechanický systém s vazbou –II
kanonické vložení variační integrál a první variační formule redukované rovnice (m – k) + k rovnic pro Symetrie v neholonomní mechanice

24 Symetrie v neholonomní mechanice – I
rovnice Noetherové toky Symetrie v neholonomní mechanice

25 Symetrie v neholonomní mechanice – II
rovnice Noetherové v souřadnicích toky Symetrie v neholonomní mechanice

26 Kontrola: kostka na nakloněné rovině
symetrie: z generátorů C pouze Symetrie v neholonomní mechanice

27 Volná relativistická částice – I
Symetrie v neholonomní mechanice

28 Volná relativistická částice – II
rovnice pro symetrie splňuje generátor Symetrie v neholonomní mechanice

29 Relativistická částice III
předpokládejme, že složky hledané symetrie nezávisejí na nefyzikálním parametru s k řešením náleží Symetrie v neholonomní mechanice

30 Relativistická částice III
symetrie tok (ve shodě s řešením pohybových rovnic) Symetrie v neholonomní mechanice