FIIFEI-02 Elektrostatika II

Prezentace na téma: "FIIFEI-02 Elektrostatika II"— Transkript prezentace:

1 FIIFEI-02 Elektrostatika II
Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA , tel (026)

2 Hlavní body Elektrostatika
Navazujeme na přednášky : fIfei_05.ppt a fIfei_06.ppt Srovnání gravitačního a elektrostatického pole Potenciál, potenciální energie Tok intenzity, Gaussova věta, příklady použití Rozložení náboje na tělesech a pole v blízkém okolí Kapacita, kondenzátory a jejich řazení Energie nabitého kondenzátoru

3 Gravitační síla a pole I
Gravitační síla je dalekodosahová síla, kterou sebe působí hmotnosti, aniž by byly v přímém kontaktu. Na základě gravitačního působení funguje nebeská mechanika a gravitační zákon vznikl zobecněním dlouhodobých astronomických pozorování. Tyto představy se mění až v rámci obecné teorie relativity, která chápe gravitaci jako důsledek existence neinerciální vztažné soustavy.

4 Newtonův gravitační zákon I
Každé dva hmotné body na sebe působí přitažlivou silou, která působí ve směru jejich spojnice. Je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti.

5 Newtonův gravitační zákon II
Pro jednoduchost umístíme m1 do počátku a poloha m2 bude určena polohovým vektorem Potom síla působící na bod m2 v důsledku existence bodu m1 , resp. její velikost jsou :

6 Newtonův gravitační zákon III
Gravitačně na sebe působí libovolné hmotnosti.  = Nm2kg-2 … je univerzální gravitační konstanta “-” znamená, že se vždy jedná o sílu přitažlivou Při vzájemném působení více hmotných bodů platí princip superpozice  silové působení mezi dvěma hmotnými body nezávisí na rozložení jiných hmotností v jejich okolí, dokonce ani na hmotnosti ležící mezi nimi.

7 Gravitační síla a pole II
Gravitační pole si představujeme jako informaci, kterou o sobě šíří hmotné body do svého okolí nese údaje o jejich hmotnosti a poloze šíří se rychlostí světla na tuto informaci reagují jiné zdroje stejného typu pole = hmotnosti tím, že na ně působí síla

8 Intenzita gravitačního pole I
Gravitační pole je pole vektorové. Mohli bychom ho plně charakterizovat, v každém bodě třemi složkami síly , která působí na nějakou testovací hmotnost m. Výhodnější je tuto sílu vydělit testovací hmotností, čímž získáme intenzitu , která na ní již nezávisí a je tedy jednoznačnou vlastností pole.

9 Intenzita gravitačního pole II
Intenzitu lze také chápat jako sílu, která by v daném bodě působila na jednotkovou hmotnost. Intenzita ale nemá rozměr síly, nýbrž síly dělené hmotností a tedy i jinou jednotku [N/kg].

10 Elektrická síla a pole Mnoho základních vlastností přírody existuje jako důsledek interakcí nabitých částic od chemické vazby po elektromagnetické záření. Pro jednoduchost se nejprve budeme zabývat náboji a poli, které jsou statická, tedy v klidu. Taková pole existují po dosažení rovnováhy. Detaily, jak k této rovnováze dojde, se elektrostatika nezabývá.

11 Hlavní vlastnosti náboje
Protože existují přitažlivé i odpudivé elektrické síly, musí být náboje dvojího druhu, pozitivní a negativní. Shodné náboje se odpuzují a rozdílné přitahují. Náboje jsou kvantovány – existují jen v násobcích elementárního náboje e = C. Ve všech známých procesech náboje vznikají nebo zanikají pouze v párech (+q a -q), takže se celkový náboj zachovává. Náboj je invariantní vůči Lorentzově transformaci.

12 Hlavní vlastnosti elektrostatických interakcí
Nabité částice na sebe působí silami. Síly : jsou dalekodosahové – zprostředkované elektrickým polem splňují princip superpozice Vzájemnou interakci dvou bodových nábojů v klidu popisuje Coulombův zákon.

13 Coulombův zákon I Mějme dva bodové náboje Q1 a Q2 ve vzdálenosti r od sebe. Potom je velikost síly, kterou na sebe navzájem působí rovna : F = k Q1 Q2 / r2 jednotkou náboje v soustavě SI je 1 Coulomb [C] k = 1/40 = Nm2/C2 0 = C2/ Nm2 je permitivita vakua

14 Coulombův zákon II Protože síly jsou vektory, je důležitá i informace o jejich směru. Úplnou informaci dostaneme, umístíme-li bodový náboj Q1 do počátku a poloha druhého Q2 bude určena polohovým vektorem . Pro sílu, působící na Q2 platí : síly působí ve směru spojnice síly působící na oba náboje jsou akce a reakce positivní síla je odpudivá

15 Coulombův zákon III Nejobecnější vztah dostaneme, popíšeme-li polohu každého náboje Qi (i=1, 2) jeho vlastním polohovým vektorem . Potom je síla působící na náboj Q2 rovna : Protože síla závisí jen na rozdílu polohových vektorů, je poloha počátku libovolná.

16 Srovnání elektrostatického a gravitačního působení
Formálně je Coulombův zákon podobný Newtonovu gravitačnímu zákonu. ale elektrostatická síla je ~ 1042 (!) krát silnější tak slabá síla přesto dominuje ve vesmíru, protože hmota je obvykle neutrální nabít nějaké těleso znamená nepatrně porušit obrovskou rovnováhu

17 Koncepce elektrického pole
Je-li náboj umístěn v určitém bodě prostoru, “vysílá” kolem sebe informaci o své pozici, polaritě a velikosti. Tato informace se šíří rychlostí světla. Může být “zachycena” jiným nábojem. Výsledkem interakce náboje a elektrostatického pole je silové působení.

18 Intenzita elektrického pole I
Elektrické pole by bylo možné popsat pomocí vektoru síly , která by působila na jistý testovací náboj Q v každém bodě, který by nás zajímal. Tento popis by ale závisel na velikosti a polaritě testovacího náboje, který by se musel uvádět jako doplňující informace. Jinak by byl popis nejednoznačný.

19 Intenzita elektrického pole II
Vydělením testovacím nábojem je definována elektrická intenzita, která již je jednoznačnou funkcí popisovaného pole : Číselně je rovna síle, která by v daném bodě působila na jednotkový kladný náboj. Intenzita ale nemá rozměr pouhé síly.

20 Intenzita elektrického pole III
Vydělením testovacím nábojem se informace, jak pole tento náboj “cítí” stává objektivní informací o vlastnosti pole. Je nutné si uvědomit, že vzhledem k dvojí polaritě nábojů, působí síly vyvolané stejným polem na náboje různých polarit silami dokonce opačně orientovanými.

21 Elektrické siločáry Elektrické pole je trojrozměrné vektorové pole, které se v obecném případě obtížně znázorňuje. V jednoduchých symetrických příkladech, lze užít siločáry. Jsou to křivky, které jsou v každém bodě tečné k vektorům elektrické intenzity, čili se nemohou protnout! Velikost intensity se znázorňuje délkou nebo hustotou těchto siločar. Kladný náboj nepatrné hmotnosti by se pohyboval po určité siločáře, náboj záporný také, ale v opačném smyslu.

22 Tok elektrické intenzity
Tok elektrické intenzity je definován jako : . Popisuje množství elektrické intenzity , která proteče kolmo ploškou , která je tak malá, aby se intenzita na ní dala považovat za konstantní a je popsána svým vnějším normálovým vektorem Zopakujme si skalární součin.

23 Gaussova věta I Celkový tok elektrické intenzity skrz libovolnou uzavřenou plochu je roven celkovému náboji, který plocha obepíná dělený permitivitou vakua Věta je ekvivalentní tvrzení, že siločáry elektrického pole začínají v kladných a končí v záporných nábojích.

24 Gaussova věta II V nekonečnu mohou siločáry začínat i končit.
Gaussova věta platí protože intenzita klesá s r2, což je v toku intenzity kompenzováno růstem plochy jako r2. Skalárním součinem je ošetřena vzájemná orientace siločar a plošek.

25 Gaussova věta III Neuzavírá-li plocha žádný náboj, musí siločáry, které do objemu vstoupí zase někde vystoupit. Je-li celkový uzavřený náboj kladný více siločar vystoupí než vstoupí. Je-li naopak celkový uzavřený náboj záporný více siločar vstoupí než vystoupí. Pozitivní náboje jsou zdroji a negativní propadly. Nekonečno může být i zdrojem i propadlem.

26 Hustota náboje V reálných situacích obvykle nepracujeme s bodovými náboji, ale s nabitými tělesy. Potom je vhodné zavést nábojovou hustotu, tedy náboj na jednotku objemu, plochy nebo délky, podle symetrie problému. Hustota je obecně funkcí polohy. Jednoduše je použitelná v případě, že tělesa jsou nabita rovnoměrně, jako v případě nabité vodivé roviny.

27 Gaussova věta VI Gaussova věta může být považována za základ elektrostatiky podobně jako Coulombův zákon a dokonce je obecnější! Gaussova věta je užitečná : pro teoretické úvahy nebo v případech speciální symetrie například při výpočtu pole: bodového náboje nekonečného drátu nabitého s konstantní hustotou nekonečné roviny nabité s konstantní hustotou

28 Konzervativní pole Řada vlastností gravitačního a elektrostatického pole je analogická, ale gravitační pole se nedá odstínit. Gravitační pole pro hmotné částice, podobně jako elektrostatické pole pro částice nabité, jsou příkladem konzervativních polí. Jsou definovány tak, že je nich celková vykonaná práce při přesunu částice po libovolné uzavřené křivce rovna nule.

29 Existence potenciální energie
Z definice konzervativního pole, lze ukázat, že práce potřebná pro přesun nabité částice v elektrostatickém poli (nebo hmotné částice v poli gravitačním) z bodu A do bodu B, nezávisí na cestě, ale pouze na jisté skalární vlastnosti částice v těchto dvou bodech. Tato vlastnost se nazývá potenciální energie Ep.

30 Existence potenciálu Potenciální energii lze dále napsat jako součin vlastnosti částice, náboje nebo hmotnosti a jisté skalární vlastnosti pole v těchto dvou bodech. Tato vlastnost se nazývá elektrický potenciál e nebo gravitační potenciál g.

31 Práce v gravitačním poli
Přesune-li například nějaký vnější činitel částici s hmotností m v gravitačním poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice potenciálu práci :

32 Práce v elektrickém poli
Přesune-li například nějaký vnější činitel částici s nábojem q v elektrostatickém poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice potenciálu práci :

33 Potenciál shrnutí I Pro potenciální energii částice obecně platí :
Vykoná-li vnější činitel na částici kladnou práci, zvýší tím její potenciální energii Ep definovanou podle druhu pole :

34 Potenciál shrnutí II UAB  (B)-(A) W(A->B)=q UAB
Ve většině praktických případů nás zajímá rozdíl potenciálů dvou míst. U elektrického pole o něm hovoříme jako o napětí U : UAB  (B)-(A) Pomocí napětí je vykonaná práce : W(A->B)=q UAB

35 W=q[(B)-(A)]=Ep(B)-Ep(A)=qUAB
Potenciál shrnutí III Pro práci vykonanou vnějším činitelem na nabité částici tedy platí : W=q[(B)-(A)]=Ep(B)-Ep(A)=qUAB Je důležité si uvědomit principiální rozdíly : Mezi potenciálem, což je vlastnost pole, potenciální energií částice v poli a napětím. Mezi prací vykonanou vnějším činitelem nebo polem

36 Důsledky existence potenciálu
Díky existenci potenciálu je možné přejít od popisu příslušného pole pomocí vektorů intenzit k popisu pomocí skalárních potenciálů Stačí nám jen třetina informací Superpozice vede na prostý aritmetický součet Některé výrazy lépe konvergují

37 Obecný vztah Obecný vztah je analogický u elektrického i gravitačního pole: Gradient skalární funkce f v určitém bodě je vektor : Který směřuje do směru nejrychlejšího růstu funkce f. Jeho velikost je rovna změně hodnoty funkce f, kdybychom se v tomto směru přesunuli o jednotkovou vzdálenost.

38 Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli I
Volné nabité částice se snaží pohybovat podél siločar ve směru poklesu své potenciální energie. Z druhého Newtonova zákona : V nerelativistickém případě :

39 Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli II
Poměr q/m, nazývaný specifický náboj je důležitou vlastností částice. elektron, positron |q/m| = C/kg proton, antiproton |q/m| = C/kg (1836 x) -částice (He jádro) |q/m| = C/kg (2 x) Další ionty … Akcelerace elementárních částic může být obrovská! Snadno lze dosáhnout relativistických rychlostí

40 Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli III
Problémy lze řešit buď přes síly nebo energie. Postup přes energie je obvykle pohodlnější. Využívá zákon zachování energie a faktu, že v elektrostatickém poli existuje potenciální energie.

41 Pohyb ... IV energetický přístup
Je-li volná nabitá částice v určitý okamžik v bodě A elektrostatického pole a za nějakou dobu v libovolném bodě B, musí mít v obou bodech stejnou celkovou energii bez ohledu na čas, konkrétní tvar dráhy a složitost pole :

42 Pohyb ... V energetický přístup
Změna potenciální energie tedy musí být kompenzována změnami energie kinetické Ve fyzice vysokých energií se často používá jako jednotka energie 1 eV . 1eV = J.

43 Nabitý plný vodič I Vodiče obsahují volné nosiče náboje jedné nebo obou polarit. Nabít je znamená, přinést do nich nějaké přebytečné náboje jedné z polarit. Speciálním případem jsou kovy : každý atom, který je součástí kovu, si ponechává vnitřní elektrony ve své blízkosti. Ale elektrony valenční, slaběji vázané, jsou sdíleny celým kovem. Ty jsou volnými nosiči náboje. Působí-li na ně elektrická (nebo i jiná) síla mohou se v kovu volně pohybovat. Je relativně snadné kovu volné elektrony přidat nebo ubrat.

44 Nabitý plný vodič II Přidání elektronů znamená nabití kovu záporně
Odebrání elektronů je ekvivalentní nabití tělesa kladně. Pro naše účely můžeme mezery po chybějících elektronech považovat za volné kladné náboje +1e. V oblasti polovodičů se nazývají díry. Nabitý vodič efektivně obsahuje přebytečné kladné nebo záporné náboje, které jsou navíc volné.

45 Nabitý plný vodič III Přebytečné náboje se odpuzují a protože jsou volné a mohou se v rámci vodiče volně pohybovat, musí skončit na povrchu. Rovnováha, které je nakonec díky pohyblivosti nábojů dosaženo, je charakteristická tím, že výslednice sil, působících na každý náboj, je rovna nule. Znamená to, že uvnitř vodiče je nulové pole a celý jeho objem včetně povrchů je ekvipotenciální oblastí (a existují síly, které drží náboje v látce).

46 Pole v blízkosti nabité plochy závisí na hustotě náboje
Vezmeme malý válec a ponoříme jej do vodiče, aby osa válce byla k vodiči kolmá. Elektrické pole : uvnitř vodiče je nulové vně je kolmé k povrchu plochy Nenulový tok prochází pouze vnější podstavou  Pozor na hrany!  není obecně konstantní!

47 Jímání náboje I V 18. Století byli lidé fascinováni prvními elektrickými jevy, zvláště velkými výboji. Baviči si všimli, že různá nabitá tělesa nesla „množství elektřiny“ a produkovala různě silné výboje. Dnes bychom řekli, tělesa nabitá na stejné napětí nesla různý náboj. Vyvstal problém, jak pojmout co možná největší náboj, při maximálním dostupném napětí. Nejprve šli cestou větších a větších těles, ale později se nalezlo lepší řešení, které vedlo k pojmu kapacita!

48 Jímání náboje II Mějme vodivou kouli o poloměru např. ri=1 m.
Můžeme pojmout libovolný náboj? NE! V praxi jsme limitováni mezní intenzitou. V suchém vzduchu je to Em  3106 V/m. Mezní intenzita závisí na vlastnostech okolí vodiče, ale jistá hodnota by existovala i ve vakuu. Je-li dosaženo mezní intenzity vodič se bude samovolně vybíjet (tento jev se užívá při studiu struktury). Schopnost samovybíjení se zvětšuje u členitých povrchů. Protože v blízkosti výčnělků je intenzita větší.

49 Jímání náboje III Z Gaussovy věty plyne, že intenzita E = 0 uvnitř koule a E = kQ/ri2 těsně u jejího povrchu. Z obecného vztahu lze z intenzity určit potenciál těsně u povrchu koule  = kQ/ri . Kombinací dostaneme :  = riE pro r > ri Maximální napětí a náboj na kouli tedy je :  = V  Qmax = C.

50 Jímání náboje IV Mezní napětí navíc značně přesahuje maximum,
které bylo tehdy možno vygenerovat, cca 105 V. Při tomto napětí by tedy na naší kouli byl náboj : Q = Uri /k = 105/9 109 = C. Původně se dal zvětšit pouze zvětšením koule ri. Potom někdo (v Leydenu) udělal “zázrak”! Kouli o poloměru ri umístil do nepatrně větší koule o poloměru ro, kterou uzemnil. Výboje se výrazně zvětšily, tedy nové uspořádání neslo při stejném napětí větší náboj!

51 Jímání náboje VI Vnitřní koule, nabitá nábojem +Q, vytvořila náboj –Q na vnitřním povrchu vnější koule a náboj +Q na povrchu vnějším. Po jejím uzemnění byl však kladný náboj odveden do země, takže na vnější kouli zůstal náboj –Q, a to na jejím vnitřním povrchu. Výsledek: Potenciál vnitřní koule klesl, přičemž náboj zůstal zachován!

52 Kapacita Napětí U mezi dvěma vodiči nabitými na náboj +Q a –Q je obecně úměrné tomuto náboji : Q = C U Kladná konstanta úměrnosti C se nazývá kapacita. Fyzikálně je to schopnost příslušného uspořádání vodičů jímat náboj. Jednotkou kapacity je Farad 1 F = 1 C/V

53 Různé typy kondenzátorů
Je mnoho důvodů vyrábět elektronickou součástku, která má schopnost jímat náboj – kondenzátor. Kapacita kondenzátoru by neměla záviset na okolí. Hlavní užití je pro jímání náboje a potenciální energie a některé doprovodné jevy související s nabíjením a vybíjením. Nejčastěji se užívá deskových, válcových, kulových a svitkových kondenzátorů.

54 Dvě paralelní nabité roviny
Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d. Jedna je nabita s plošnou hustotou  druhá s hustotou -. Intenzita mezi deskami bude Ei a intenzita vně Eo. Co platí? A) Ei= 0, Eo=/0 B) Ei= /0, Eo=0 C) Ei= /0, Eo=/20

55 Určení kapacity kondenzátoru I
Obecně: najdeme závislost náboje Q na napětí U a vyjádříme kapacitu jako koeficient úměrnosti. Například deskový kondenzátor s rovnoběžnými deskami o ploše S a vzdálenosti d, nabité na náboj +Q a -Q: Z Gaussovy věty : E = /0 = Q/0S Také : E = U/d  Q = 0SU/d  C = 0S/d Obdobně by se postupovalo u kondenzátooru kulového.

56 Nabíjení kondenzátoru
Kondenzátor nabíjíme obecně docílíme toho, že na elektrodách kondenzátoru jsou rozdílné potenciály. Po dosažení rovnováhy bude na každé elektrodě stejný náboj ale opačné polarity a stejný potenciál: budˇ propojíme jednu elektrodu kondenzátoru v obvodu blíž kladnému a druhou blíž zápornému pólu zdroje stejnosměrného napětí nebo na jednu elektrodu přivedeme náboj a druhou uzemníme Ukažme si chování nábojů na jednotlivých plochách v čase.

57 Sériové zapojení kondenzátorů I
Mějme kondenzátory C1 a C2 zapojené do série – za sebou. Můžeme je nahradit jedinou kapacitou: Nabijeme-li jednu elektrodu, ostatní se nabijí indukcí a náboj na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být stejný : Q = Q1 = Q2

58 Sériové zapojení kondenzátorů II
K sobě připojené elektrody jsou na stejném potenciálu. Celkové napětí na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být tedy součtem napětí na jednotlivých kondenzátorech U = U1 + U2 

59 Paralelní zapojení kondenzátorů I
Mějme dva kondenzátory C1 a C2 zapojené paralelně – vedle sebe. Můžeme je nahradit jediným kondenzátorem s kapacitou Cp : Cp = C1 + C2 Celkový náboj se rozdělí na jednotlivé kondenzátory Q = Q1 + Q2 Napětí na všech kondenzátorech je stejné U = U1 = U2  Cp = Q/U = Q1/U+ Q2/U = C1 + C2

60 Mezní náboj Kapacita deskového kondenzátoru (ve vakuu) může být zvětšena buď zvětšením ploch desek nebo jejich přiblížením. Pouze první způsob však povede ke snížení intenzity elektrického pole a tedy i ke zvýšení mezního náboje, který kondenzátor může pojmout! Z tohoto hlediska by bylo lepší uzemnit vnitřní a nabít vnější kouli v našem Leydenském příkladu.

61 Jímání elektrické energie I
K nabití kondenzátoru musíme vykonat práci. Tato práce je uschována jako potenciální energie a veškerá (neuvažujeme-li ztráty) může být využita později. Například při rychlém vybití optimalizujeme výkon (fotoblesk, defibrilátor). Při změnách parametrů nabitého kondenzátoru může konat práci vnější činitel nebo pole. Musí se odlišit situace, kdy ke kondenzátoru zůstává připojen vnější zdroj.

62 Jímání elektrické energie II
Nabít kondenzátor znamená brát postupně malé kladné náboje ze záporné elektrody a přenášet je na elektrodu kladnou nebo přenášet obráceně náboje záporné. V obou případech se zvyšuje potenciální energie přeneseného náboje na úkor vnější práce. Práce nezávisí na cestě. Můžeme představit, že náboj přenášíme přímo přes prostor mezi elektrodami, i když takto ve skutečnosti náboj proudit nesmí!

63 Jímání elektrické energie III
Kondenzátor s kapacitou C nabitý nábojem Q nebo na napětí U má energii : Faktor ½ v těchto výrazech svědčí o tom, že proces nabíjení je poněkud složitější, než by se zdálo na první pohled. Po přenesení určitého náboje se změní i napětí mezi elektrodami, takže se musí integrovat.

64 *Jímání elektrické energie IV
Hustota energie : Mějme deskový kondenzátor S,d,C, nabitý na napětí U : Protože Sd je objem kondenzátoru a pole mezi deskami je homogenní, můžeme považovat 0E2/2 za hustotu (potenciální) energie. To platí pro všechny druhy kondenzátorů i polí. Tady skončila druhá přednáška.

65 Konec přednášky

66 Skalární součin Ať Definice I (ve složkách) Definice II
Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

67 Dostředivé zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici
Průvodič určitého bodu oběhne za jednu periodu T kružnici o poloměru r. Když umístíme počátky všech vektorů rychlosti do jednoho bodu, oběhnou koncové body kružnici o poloměru v. Můžeme tedy uvažovat jednoduchou analogii: ^

68 Dva elektrony 1 m od sebe Jsou elektrostaticky odpuzovány, ale gravitačně přitahovány. Která síla bude větší? ^

69 Jeden elektron a proton 0.53 10-10 m od sebe
To odpovídá jejich vzdálenosti v atomu vodíku. Takovou sílu je principiálně možné změřit makroskopicky! Značná velikost sil je tajemství, proč hmota drží pohromadě. ^

70 Oddělme elektrony a protony z 1 g vodíku a dejme je na póly Země.
1 g je 1 gram-molekula H, takže máme NA= obou typů částic. To je tíha naloženého nákladního vagónu. ^

71 Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N
Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N. Jaký je jejich přebytečný náboj? Přebytečný náboj : Celkový a přebytečný /celkový náboj : ^

72 Gradient I Je vektor sestrojený z diferenciálů funkce f ve směrech jednotlivých souřadných os . Je používán k odhadu změny funkce f provedeme-li elementární posun .

73 Gradient II Změna je druhý člen. Je to skalární součin. K největší změně dochází, je-li elementární posun paralelní ke směru gradientu. Jinými slovy má gradient směr největší změny funkce f ! ^

74 Zrychlení elektronu Jaké je zrychlení elektronu v elektrickém poli E = V/m ? a = E q/m = = ms-2 [J/Cm C/kg = N/kg = m/s2] Pro srovnání: Ferrari Maranello za cca 0.5 MEur dosáhne 100 km/h za 3.6 s , tedy a = 7.5 ms-2 ^

75 Relativistické efekty při urychlování elektronu
Relativistické efekty se začínají výrazněji projevovat, dosáhne-li rychlost c/10= ms-2. Jaké urychlovací napětí je potřebné k dosažení této rychlosti ? Ze zachování energie : mv2/2 = q U U=mv2/2e=9 1014/4 1011= 2.5 kV ! ^

76 Gaussova věta I Přesná definice:
V případech speciální symetrie můžeme najít integrační plochu, na níž je velikost E všude stejná a vektor je všude paralelní s vnější normálou. Potom jednoduše: ^

77 Pole bodového náboje I Jako Gaussovu plochu volíme povrch koule, v jejímž středu je bodový náboj. Intenzita je v každém bodě kolmá k této ploše, takže je paralelní (nebo antiparalelní) s její vnější normálou. Navíc je její velikost na celé ploše konstantní. Tedy :

78 Pole bodového náboje II
Pro velikost intenzity tedy dostáváme stejný vztah jako z Coulombova zákona : Zde je patrný důvod, proč se v Coulombově zákoně objevuje člen ^

79 Nekonečný rovnoměrně nabitý drát I
Nekonečný vodivý drát z rovnováze musí být nabit rovnoměrně a stav jeho nabití tedy můžeme popsat hustotou náboje na jednotkovou délku. Obě veličiny mohou být nekonečné, ale jejich poměr může být konečný. Drát je osou symetrie problému.

80 Nekonečný rovnoměrně nabitý drát II
Intenzita leží v rovinách kolmých k drátu a je radiální. Jako Gaussovu plochu zvolíme povrch rotačního válce jisté délky L, souosého s drátem. Intenzita je v každém bodě kolmá k plášti válce, čili je paralelní (nebo antiparalelní) s vnější normálou každé plošky, kterou prochází. Současně je velikost intenzity na celém plášti konstantní.

81 Nekonečný rovnoměrně nabitý drát III
Tok podstavami je nulový, protože zde je vektor intenzity k normálám kolmý. Tedy :

82 Nekonečný rovnoměrně nabitý drát VI
Tím, že je jeden rozměr nabitého tělesa nekonečný, klesá intenzita pouze s první mocninou vzdálenosti. Opět bychom mohli získat stejný výsledek použitím Coulombova zákona, principu superpozice a integrací, ale bylo by to poněkud obtížnější: ^

83 Nekonečný drát z C.z. Intenzita má nenulovou jen radiální složku Er: Všechny proměnné vyjádříme pomocí  a integrujeme od 0 do : Co je snažší? ^

84 Nekonečná nabitá rovina I
Můžeme-li předpokládat rovnoměrné nabití, můžeme definovat plošnou hustotu náboje : Obě veličiny mohou být opět nekonečné, ale mít konečný podíl. Ze symetrie musí být intenzita všude kolmá k nabité rovině.

85 Nekonečná nabitá rovina II
Za Gaussovu plochu zvolíme opět válec, tentokrát kolmý k rovině, tak, aby ho půlila. Tok pláštěm libovolného tvaru bude nulový, nenulový bude jenom tok podstavami o ploše S :

86 Nekonečná nabitá rovina III
Tentokrát intenzita nezávisí na vzdálenosti. Protože má všude stejnou velikost i směr, vytváří nekonečná nabitá rovina speciální, takzvané homogenní pole. Jak se ukáže později homogenní pole je možné popsat jediným parametrem a má velký teoretický i praktický význam. ^

87 Jímání náboje VII Potenciál způsobený vnitřní koulí :
i = kQ/ri pro r  ri ; i = kQ/r pro r > ri Potenciál způsobený vnější koulí : o = -kQ/ro pro r  ro ; o = -kQ/r pro r > ro Z principu superpozice : (r) = i(r)+ o(r) Pro r  ro bude potenciál bude nulový!

88 Ui = kQ(1/ri – 1/ro) = kQ(ro – ri)/riro
Jímání náboje VIII Potenciál na vnitřní kouli je tedy současně napětím mezi koulemi : Ui = kQ(1/ri – 1/ro) = kQ(ro – ri)/riro Pro ro = 1.01 m a U = 105 V  Q = C tedy náboj vzrostl 101 krát! Zařízení, které jsme sestrojili se nazývá kondenzátor. (Qmax = C jsme však takto nezvýšili! ) ^

89 Určení kapacity kondenzátoru II
Pro potenciál na jedné kouli ve vesmíru platí : Ui = kQ/ri  C = ri/k Druhá „elektroda“ tohoto kondenzátoru by bylo nekonečno nebo spíše zem, protože je blíže. Jeho kapacita by ale silně závisela na přítomnosti vodičů v jeho blízkém okolí.

90 Určení kapacity kondenzátoru III
V případě našeho kulového kondenzátoru platí : Ui = kQ(1/ri – 1/ro) = kQ(ro – ri)/riro To odpovídá kapacitě : Srovnejte se vztahem pro kondenzátor deskový! ^

91 Nabíjení kondenzátoru
Mějme v určitém okamžiku nabíjení kondenzátoru o kapacitě C mezi jeho elektrodami jisté napětí U(q), které závisí na současném náboji q. Na přenesení dalšího náboje dq přes toto napětí musí vnější činitel vykonat práci dW = U(q)dq. Tedy celková práce k dosažení náboje Q je : ^

92 Intenzity v okolí zakřivenějších povrchů jsou větší
Mějme velkou a malou vodivou kouli o poloměrech R a r, které jsou vodivě spojeny např. drátkem. Když tento útvar nabijeme, rozloží se přebytečný náboj na Q a q tak, aby byl všude stejný potenciál : Hustota náboje na menší kouli je tedy větší! ^

93 Nabíjení kondenzátoru I
Mějme dvě velké desky postavené rovnoběžně a svisle v určité vzdálenosti od sebe. Veličiny související s levou deskou označíme indexem s (sinistra) a s pravou indexem d (dextra). Protože se náboj na každé desce rozdělí především mezi její plochy, zavedeme pro veličiny na levých plochách desek index L a na pravých index P. Nejprve nabijeme levou desku nábojem Qs= Q a pravou necháme nenabitou QD= 0. Levá deska vytváří homogenní pole o intenzitě úměrné Q

94 Nabíjení k. II Vektory elektrické intenzity jsou kolmé na desky a má tedy smysl zkoumat pole pouze v bodech jisté horizontální osy. Pole, směřující doprava považujme za kladné. Existují-li jen obě desky, je pole v každém bodě superpozicí polí generovaných jednotlivými plochami každé z desek. Znaménko je kladné, je-li uvažovaný bod napravo od kladně nabité plochy a záporné, je-li nalevo. Výsledná intenzita ovšem ještě závisí na polaritách příslušných nábojů.

95 Nabíjení k. III - obecné rovnice
Například napravo od obou desek je tedy pole: a nalevo je přesně opačné: V rovnováze musí být uvnitř v každé desky nulové pole uvnitř S : QSL  QSP  QD = 0 uvnitř D : QS + QDL – QDP = 0 a současně na nich zachován celkový náboj : na S : QSL + QSP = QS na D : QDL + QDP = QD

96 Nabíjení k. IV - počátek Dosadíme-li počáteční podmínky QS= Q a QD= 0 do těchto rovnic, snadno zjistíme, že se náboj na levé desce rozloží přesně na polovinu QSL = QSP = Q/2 a na pravé desce QDL = – Q/2 a QDP = Q/2. Protože celkový náboj na pravé desce je nulový, jeho rozložení nijak neovlivní pole jinde, než v jejím vnitřku. Speciálně napravo od ní bude pole stále EP ~ Q. Propojíme-li pravou desku např. se zemí, bude toto pole nutit kladné náboje ji opouštět.

97 Nabíjení k. V - průběh Odpojme nyní uzemnění od pravé desky dříve, než došlo k rovnováze, v době, kdy pravou desku již opustil jistý kladný náboj q. Potom již tato deska není neutrální ale platí Po dosazení do výchozích rovnic tedy platí

98 Nabíjení k. VI Skutečnost, že celkový náboj na pravé desce již není nulový, ovlivní samozřejmě rozložení náboje v desce levé : Pole vně desek bude již sice sníženo EP ~ Q  q a EL ~ (Q  q), ale po případném uzemnění jedné z desek by z ní odtékal náboj. S odcházejícím nábojem z pravé desky se tedy náboj postupně přemísťuje z vnějších ploch na vnitřní a současně se snižuje pole vně desek. Náboj bude odcházet, dokud bude toto pole nenulové, čili dokud neodejde všechen náboj, tedy q > Q.

99 Nabíjení k. VII - konec Pro určení rovnováhy tedy dosadíme za q = Q do předchozích rovnic, vidíme, že náboj nakonec zůstane jen na vnitřních plochách a pole vně desek EP i EL jsou nulová. Proto se tato rovnováha udrží bez ohledu na to, zda spojíme nebo nespojíme kteroukoli z desek se zemí. Rovnováhu lze změnit jen přivedením dalšího náboj na jednu nebo obě desky nebo jejich zkratováním nebo propojením třeba přes rezistor. ^