Vázané oscilátory.

Prezentace na téma: "Vázané oscilátory."— Transkript prezentace:

1 Vázané oscilátory

2 Příklad: dva vázané oscilátory
Co vyplývá ze symetrie? Existují 2 řešení tzv. mody

3 mod 2: kmity mají opačnou fázi
mod 1: kmity jsou ve fázi mod 2: kmity mají opačnou fázi

4 mod 2: kmity mají opačnou fázi
Poznámka: jak jsme určili frekvenci modu 2 ? mod 2: kmity mají opačnou fázi pravá kulička se pohybuje stejně jako

5 mod 2: kmity mají opačnou fázi
mod 1: kmity jsou ve fázi mod 2: kmity mají opačnou fázi Obecné řešení vznikne pomocí lineární kombinace modů: mod 1 mod 2

6 Obecné řešení vznikne pomocí lineární kombinace modů:
určitý pohyb mod 1 mod 2 Obecné řešení vznikne pomocí lineární kombinace modů: mod 1 mod 2

7 Obecné řešení vznikne pomocí lineární kombinace modů:
určitý pohyb mod 1 mod 2 Obecné řešení vznikne pomocí lineární kombinace modů: mod 1 mod 2

8 Obecné řešení vznikne pomocí lineární kombinace modů:
(součet ale už známe - skládání kmitů, zázněje) Obecné řešení vznikne pomocí lineární kombinace modů: mod 1 mod 2

9 Dva vázané oscilátory: řešení pohybové rovnice
označení:

10 Řešení rovnice: Předpokládáme a postupně zjistíme vlastní hodnoty => frekvence vlastních kmitů (normálních modů) vlastní vektory tedy obecné řešení je (to už víme)

11 Dva vázané oscilátory: řešení pohybové rovnice
Výsledek: mod 1 mod 2

12

13 její pohybová rovnice:
N vázaných oscilátorů Příklad 1: „kuličky a pružiny“ N identických pružně vázaných částic, N zatím libovolné výchylka n-té částice z její rovnovážné polohy její pohybová rovnice:

14 její pohybová rovnice:
N vázaných oscilátorů Příklad 2: „korálky na struně“ N identických pružně vázaných částic, N zatím libovolné T T T - napětí ve struně - výchylka n-té částice z její rovnovážné polohy její pohybová rovnice:

15 Nekonečný počet částic: řešení pohybové rovnice
T - napětí ve struně pohybová rovnice: předpokládané řešení pro nekonečně dlouhou strunu (postupná vlna) zpoždění vlnové číslo rychlost se kterou se šíří kmitový stav - „fázová rychlost“

16 Nekonečný počet částic: řešení pohybové rovnice
T - napětí ve struně pohybová rovnice: předpokládané řešení pro nekonečně dlouhou strunu (postupná vlna)

17 Nekonečný počet částic (výsledek)
T - napětí ve struně Změníme-li o , řešení se nezmění. 1. Brillouinova zóna (BZ)

18 Kmity jednoatomových mřížek
vychýlené roviny atomů pro ... podélné vlny („kuličky a pružiny“) příčné vlny („korálky na struně“) rovnovážné polohy - tmavě vychýlené polohy - zeleně

19 Konečný počet částic T T T - napětí ve struně N částic
okrajové podmínky: nevyhovuje, ale lin. kombinace ano:

20 Konečný počet částic T T T - napětí ve struně N částic
okrajové podmínky: reálná forma je obecně celé číslo , aby řešení leželo v 1. BZ

21 Konečný počet částic (výsledek)
T - napětí ve struně N částic okrajové podmínky: (stojatá vlna) N vlastních frekvencí => Existuje N řešení (modů)

22 Konečný počet částic N = 1 N = 2