Interpolace funkčních závislostí

Prezentace na téma: "Interpolace funkčních závislostí"— Transkript prezentace:

1 Interpolace funkčních závislostí
V experimentu měníme hodnotu jedné nebo několika veličin xi a studujeme závislost veličiny y. - např. měníme , ostatní xi bereme jako parametry (a, b, g, ...): Chceme posoudit platnost závislosti y na xi z výsledků experimentu. → tj. chceme získat odhady parametrů např. pro N hodnot jsme naměřili N hodnot Předpokládáme, že známe funkční závislost f a že přesnost nastavení hodnot veličiny x je řádově větší, než přesnost měření závisle proměnné y (která má obecně pro každý bod jinou dispersi). ... teoretická závislost (fyzikální zákon)

2 Metoda nejmenších čtverců
Metoda početní interpolace. Používá se pro získání odhadů parametrů : 1) Zkonstruujeme veličinu 2) Hledáme minimum c2(a,b,g,...). x 1 2 3 4 5 6 7 y 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

3 Metoda nejmenších čtverců - lineární fit
lineární fit, y = mx minimalizace c2: disperze m: problém: co když neznáme x 5 10 15 20 y -10 30 40 50 60 m = 2.48  0.03

4 Metoda nejmenších čtverců - lineární fit
Pokud jsou neznámé, ale stejné, potom Pro neznámou disperzi pak lze spočítat odhad: ozn. - nevychýlený odhad: Odhad disperze m je tedy: ... minimální suma čtverců odchylek

5 Fitování Konstrukce křivky (funkce), která co nejlépe odpovídá naměřeným hodnotám. - může podléhat dodatečným podmínkám Lineární vs. nelineární regrese Interpolace a vyhlazování (spline) Regresní analýza a extrapolace Softwarové nástroje - Excel, Origin, Sigmaplot, ... - gnuplot, Octave, R, ... metoda největšího spádu Gaussova-Newtonova metoda algoritmus Levenberg–Marquardt simplex

6 Testování hypotéz - pojmy
Statistická hypotéza - tvrzení o tom, jaké je rozdělení pozorované náhodné veličiny Test hypotézy - pravidlo, pomocí kterého hypotézu zamítneme nebo nezamítneme. - obvykle: tzv. nulová hypotéza H0 vs. alternativní hypotéza H1. Chyba: - pokud je platná hypotéza zamítnuta (chyba 1. druhu) - pokud neplatná hypotéza zamítnuta není (chyba 2. druhu) - pravděpodobnost výskytu chyb určuje kvalitu našeho testu. Hladina významnosti a: pravděpodobnost chyby 1. druhu nepřekročí hodnotu a Síla testu: 1-(pravděpodobnost chyby 2. druhu) Testovací kritérium (testovací statistika) p-hodnota: jak často nastává situace svědčící proti testované hypotéze. hypotézu H0 zamítáme na hladině pravděpodobnosti a, pokud je p-hodnota < a (kritický obor - množina hodnot, pro které test hypotézu zamítá)

7 Testování hypotéz, příklad
Z 30 hodů mincí padl 19x orel a 11x panna. Je mince poctivá? a=5% nulová hypotéza H0: mince je poctivá (výsledky se řídí binomickým rozdělením) alternativní hypotéza H1: mince není poctivá (nemá binomické rozdělení) spočítáme p-hodnotu: pravděpodobnost, že poctivá mince dá tento výsledek p-hodnota je pravděpodobnost, že: padne 19x a více orel nebo padne 19x a více panna p-hodnota = 2x 0, ~ 0,2 p-hodnota je větší než hladina významnosti 5%, hypotézu tedy nezamítneme. např. pro 21x orel a 9x panna už by p-hodnota byla 0,043 a H0 bychom zamítli.

8 Testování hypotéz, c2-test
testy střední hodnoty, rozptylu, párové testy, testy (ne)závislosti, trendů, optimality, ... c2-test dobré shody (c2-test kvality fitu, Pearsonův c2-test) testuje nulovou hypotézu, která říká, že rozdělení četnosti zkoumané náhodné veličiny odpovídá nějakému konkrétnímu rozdělení (normální, rovnoměrné, ...) náhodný pokus nám dává k výsledků při N nezávislých opakování pokusu: - pozorujeme četnosti: n1, ..., nk - výsledky nastávají s pravděpodobnostmi: p1, ..., pk. - očekávané četnosti jsou: Np1, ..., Npk Tedy: H0: H1: alespoň pro jedno i platí: c2-test dobré shody je založen na statistice: většinou požadujeme ni > 5

9 Testování hypotéz, c2-test
Testovací statistika: - srovnáváme ji s hodnotou rozdělení c2 s (k-N) stupni volnosti. Použijeme stejný postup: spočítáme p-hodnotu hypotézu H0 zamítneme, je-li p-hodnota menší než hladina významnosti a, (typicky a = 0.01 až 0.05) tj. pokud: