Vlny.

Prezentace na téma: "Vlny."— Transkript prezentace:

1 Vlny

2 Postupné vlny ? výchylka jiné částice (v místě x)
výchylka počátku provazu „libovolná“ funkce času zpoždění částice opakuje stejný pohyb se zpožděním

3 Postupné vlny „libovolná“
funkce popisuje postupnou vlnu jdoucí rychlostí v ve/proti směru osy x

4 Příčné a podélné vlny Příčná (transverzální) vlna
Polarizace - směr výchylky zde lineárně polarizovaná vlna Existují dvě ortogonální polarizace Podélná (longitudinální) vlna

5 Postupná rovinná vlna Příčná (transverzální) vlna
Polarizace - směr výchylky zde lineárně polarizovaná vlna Existují dvě ortogonální polarizace Podélná (longitudinální) vlna

6 Vlny v přírodě

7 Přenos informace?

8 (staré HRW)

9

10 Sinusové (harmonické) postupné vlny
„libovolná“ „libovolná“ harmonická („sinusová“)

11 Sinusové (harmonické) postupné vlny
Všechny body kmitají se stejnou frekvencí a amplitudou. Fáze se mění lineárně s polohou. „libovolná“ „libovolná“ harmonická („sinusová“)

12 Sinusové (harmonické) postupné vlny
- vlnový vektor udává směr šíření vlny fázová rychlost

13 Proč fázová? u poloha myšleného bodu (ne částice prostředí!), jehož stav (=fáze) se nemění rychlost bodu jehož fáze je konstantní

14 => vlnoplocha je rovina
Proč fázová? x poloha myšlených bodů, jejichž fáze je konstantní (tyto body tvoří tzv. vlnoplochu) rovnice roviny => vlnoplocha je rovina rychlost postupu vlnoplochy

15 Pozn. různá vyjádření sinusové postupné vlny
komplexní vyjádření - Re si musíme domyslet konvence v HRW2, kap. 16

16 Modelový příklad: Vlny na struně

17 Vlny na struně přejdeme od „korálků na (nehmotné) struně“ ke struně se spojitě rozloženou hmotností T T T - napětí ve struně x pohybová rovnice: ?

18 pohybová rovnice: ? 0 pro

19 Jsou postupné vlny řešením této rovnice?
pohybová rovnice: vlnová rovnice Jsou postupné vlny řešením této rovnice? derivujeme složenou funkci Ano, pokud

20 Vlnová rovnice a postupné vlny (shrnutí)
(bezdisperzní) vlnová rovnice Postupná vlna je řešením vlnové rovnice. postupná vlna dvakrát diferencovatelná funkce Pro postupné vlny dále platí rovnice postupných vln

21 Energie a výkon vlny Aby vytvořil harmonickou vlnu, musí konat práci, tedy dodávat výkon vlně. Energie se šíří prostředím s rychlostí šíření vlny (?) - upřesníme později. Pro harm. oscilátor Přenášený výkon = rychlost šíření energie × energie (na jednotku délky) (důkaz později)

22 Princip superpozice Důkaz: je lineární
lineární kombinace řešení je také řešení: řešení řešení tedy také řešení (stačí dosadit)

23 Princip superpozice

24 Odraz na pevném a volném konci
Pevný konec pro harmonickou vlnu: odražená vlna je v protifázi s přicházející vlnou. Volný konec pro harmonickou vlnu: odražená vlna je ve fázi s přicházející vlnou. (podrobně později) x

25 Záleží na fázovém rozdílu
Interference vln uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové délce, které jsou navzájem fázově posunuty a postupují stejným směrem u dráhový rozdíl HRW2, kap to už známe, jedná se o skládání stejnosměrných harmonických kmitů (případ kdy jsou stejné frekvence i amplitudy) Záleží na fázovém rozdílu

26 Interference vln uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové délce, které jsou navzájem fázově posunuty a postupují stejným směrem u dráhový rozdíl Interference: amplituda výsledné vlny se v závislosti na fázovém rozdílu může měnit z minimální hodnoty do maximální hodnoty vnikne opět harmonická vlna o stejné vlnové délce postupující stejným směrem

27 Interference vln (plně) konstruktivní interference
(plně) destruktivní interference fázový rozdíl: dráhový rozdíl: - lib. celé číslo Interference: amplituda výsledné vlny se v závislosti na fázovém rozdílu může měnit z minimální hodnoty do maximální hodnoty vnikne opět harmonická vlna o stejné vlnové délce postupující stejným směrem

28 Interference vln (plně) konstruktivní interference
(plně) destruktivní interference fázový rozdíl: dráhový rozdíl: - lib. celé číslo

29 (pozn. konvence v HRW) y

30 Stojaté vlny uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové délce, které postupují navzájem opačným směrem u Není to postupná vlna! pohyb každého bodu prostředí je harmonický amplituda kmitů se mění harmonicky v prostoru

31 Stojaté vlny uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové délce, které postupují navzájem opačným směrem nepohybují se dvojnásobná amplituda Není to postupná vlna! pohyb každého bodu prostředí je harmonický amplituda kmitů se mění harmonicky v prostoru

32 Stojaté vlny zvolme počátek osy x tak, aby v něm byl uzel uzel kmitna
polohy uzlů: - libovolné celé číslo polohy kmiten: - libovolné celé číslo

33 Jak vytvoříme stojaté vlny?
Pomocí odrazu Pevný konec - uzel pro harmonickou vlnu: odražená vlna je v protifázi s přicházející vlnou. Volný konec - kmitna pro harmonickou vlnu: odražená vlna je ve fázi s přicházející vlnou. x

34 Stojaté vlny konečné struny
polohy uzlů: na obou koncích struny musí být uzel

35 Vlastní kmity (mody), rezonance
vlastní frekvence vlastní funkce V každém okamžiku lze popsat tvar struny pomocí superpozice modů. vlastní funkce pro první 3 harmonické frekvence

36 Vlastní kmity (mody), rezonance (2D)

37 Charakteristická impedance (struna jako nucený oscilátor)
y Aby vytvořil vlnu, musí působit silou. Podobně pro každé dvě sousední částice struny. T - napětí ve struně

38 Charakteristická impedance (struna jako nucený oscilátor)
y Aby vytvořil vlnu, musí působit silou. Podobně pro každé dvě sousední částice struny. charakteristická impedance Z = příčná síla / rychlost částice je vlastností struny a napětí, nezávisí na tvaru pulzu

39 Postupná vlna a přenos energie
y Aby vytvořil vlnu, musí konat práci, tedy dodávat výkon vlně. Podobně pro každé dvě sousední částice struny. T - napětí ve struně

40 Energie (pro strunu) hustota kinetické energie
x hustota kinetické energie hustota potenciální energie = práce potřebná ke změně délky / délka = napětí × změna délky / délka změna délky / délka hustota potenciální energie

41 Energie (obecně pomocí Z a v)
hustota kinetické energie hustota potenciální energie (platí pro libovolnou vlnu) pro postupnou vlnu

42 Postupná vlna a přenos energie
y Aby vytvořil vlnu, musí konat práci, tedy dodávat výkon vlně. Podobně pro každé dvě sousední částice struny. harmonická vlna Platí pro bezdisperzní postupné vlny, tj. splňují

43 Vlny na rozhraní dvou strun

44 Vlny na rozhraní u x rozhraní x = 0 obvykle stejné jako Impedance nejsou stejné, vlna nemůže jenom projít (srv. struna jako nucený oscilátor) Co platí na rozhraní?

45 Hraniční podmínky u x rozhraní x = 0 spojitost výchylky
obvykle stejné jako spojitost výchylky spojitost příčné síly integrujeme, integrační konstanta je nulová

46 Odraz a průchod rozhraním
u x rozhraní x = 0 obvykle stejné jako obě podmínky platí pro každé t spojitost výchylky spojitost příčné síly koeficient odrazu koeficient průchodu

47 Odraz a průchod rozhraním
u x rozhraní x = 0 obvykle stejné jako obě podmínky platí pro každé t spojitost výchylky spojitost příčné síly koeficient odrazu 2 rovnice pro 2 neznámé se snadno vyřeší a máme konečně výsledek: koeficient průchodu

48 Odraz a průchod rozhraním
vždy volný konec pevný konec Pozn.: v případě stejných napětí

49 Vlnový balík, disperze a grupová rychlost

50 Superpozice dvou sinusových vln se stejnou amplitudou avšak mírně odlišnou frekvencí a vlnovým číslem malé rychle se měnící člen, pohybuje se fázovou rychlostí pomalu se měnící obálka, pohybuje se grupovou rychlostí u x

51 Připomeňme si korálky na struně...
T - napětí ve struně

52 Disperze předpokládané řešení Bezdisperzní vlny - křivka (a)
Disperzní závislost (3 příklady) předpokládané řešení Bezdisperzní vlny - křivka (a) př.: ohebná struna, zvukové vlny v plynu, em vlny ve vakuu Vlny s disperzí - křivky (b) nebo (c) př.: „korálky na struně“, tuhá struna, vlny na vodě, em vlny v látkovém prostředí

53 Pulz (vlnový balík) Princip superpozice: obecný pulz vyjádříme jako superpozici harmonických vln v čase 0 je dáno inverzní Fourierovou transformací funkce (nyní ale proměnná k) rozkládáme prostorovou závislost nebo (snadná substituce v integrálu) v poloze x = 0 to je inverzní Fourierova transformace funkce rozkládáme časovou závislost bez disperze disperze (slabá)

54 Šíření pulzu Princip superpozice: obecný pulz vyjádříme jako superpozici harmonických vln v čase 0 je dáno inverzní Fourierovou transformací funkce (nyní ale proměnná k) rozkládáme prostorovou závislost nebo (snadná substituce v integrálu) v poloze x = 0 to je inverzní Fourierova transformace funkce rozkládáme časovou závislost V disperzním systému se každá harmonická vlna šíří jinou fázovou rychlostí. Dojde tedy k postupnému rozplývání pulzu při jeho postupu.

55 Disperzní prostředí délky x (lineární systém)
Šíření pulzu vstupující pulz - známe vystupující pulz ? Disperzní prostředí délky x (lineární systém) (srv. Jak najít odezvu na libovolný signál?)

56 Šíření pulzu vstupující pulz - známe vystupující pulz ? Příklad: FT

57 Šíření pulzu vstupující pulz - známe vystupující pulz ?
(malé) je nenulové pouze v úzké oblasti kolem

58 Šíření pulzu vstupující pulz - známe vystupující pulz ?
(malé) je nenulové pouze v úzké oblasti kolem rychle se měnící člen, který se pohybuje fázovou rychlostí pomalu se měnící obálka, která se pohybuje grupovou rychlostí

59 Disperze, grupová rychlost
Frequency dispersion in groups of gravity waves on the surface of deep water. The red dot moves with the phase velocity, and the green dots propagate with the group velocity. In this deep-water case, the phase velocity is twice the group velocity. The red dot overtakes two green dots when moving from the left to the right of the figure. Obálka („amplituda“) a tedy i energie se šíří grupovou rychlostí rychle se měnící člen, který se pohybuje fázovou rychlostí pomalu se měnící obálka, která se pohybuje grupovou rychlostí

60 Disperze, grupová rychlost
Disperzní závislost (3 příklady) předpokládané řešení

61 Zvukové vlny

62 Zvukové vlny v plynech x rovnovážný tlak průřez trubice

63 Zvukové vlny v plynech rovnovážný tlak průřez trubice
x rovnovážný tlak průřez trubice výchylka tenké vrstvy plynu x

64 Akustický tlak a posunutí
x „výchylka“ tlaku (akustický tlak) - souvisí se změnou objemu modul objemové pružnosti - HRW2 vztahy (12.25) a (17.2)

65 Pohybová rovnice x hustota plynu při rovnovážném tlaku

66 Zvukové vlny v plynech Shrnutí dosavadních výsledků:
x Shrnutí dosavadních výsledků: vztah mezi akustickým tlakem a výchylkou tenké vrstvy plynu vlnová rovnice (v 1D, už známe) rychlost zvukové vlny

67 (Skalární) vlnová rovnice a trojrozměrné vlny
1D 3D Důležitá řešení: - rovinná vlna - kulová vlna

68 Trojrozměrné vlny: rovinná vlna
jednotkový vektor kolmý na vlnoplochu víme že totéž přepsáno do tvaru, který nezávisí na volbě SS: x´ (postupná rovinná vlna šířící se ve směru/proti směru vektoru ) x pro harmonickou vlnu rovnice roviny (vlnoplochy)

69 Trojrozměrné vlny: kulová vlna
pokud je počátek SS v Z (rozbíhavá/sbíhavá kulová vlna) pro harmonickou vlnu

70 Rychlost zvukové vlny adiabatický děj (obecně) celkový tlak
x adiabatický děj (obecně) celkový tlak v našem označení a pro malé změny

71 Harmonická zvuková vlna: výchylka a tlak
x vztah mezi akustickým tlakem a výchylkou tenké vrstvy plynu harmonická vlna

72 Harmonická zvuková vlna: výchylka a tlak

73 Harmonická zvuková vlna: výkon a intenzita
x charakteristická impedance Intenzita = střední hodnota energie, která projde za jednotku času jednotkovou plochou kolmou ke směru šíření.

74 hladina intenzity zvuku

75 Kulová vlna: změna intenzity se vzdáleností
předp. harmonickou vlnu pokud se zachovává mechanická energie porovnáme s => amplituda musí klesat takto

76 Stojaté vlny ještě jednou
stejně jako na struně Kde má tlak kmitnu má výchylka uzel a naopak.

77 Stojaté vlny ještě jednou

78 Stojaté vlny ještě jednou
oba konce stejné různé konce

79 Stojaté vlny ještě jednou
newt.phys.unsw.edu.au/jw/sound.spectrum.html oba konce stejné

80 Zdroje hudebního zvuku

81 Zdroje hudebního zvuku

82 Interference (nyní 2 bodové zdroje ve 3D)
to už známe, jedná se o skládání harmonických kmitů (případ kdy jsou stejné frekvence) Záleží na fázovém rozdílu

83 Interference (nyní 2 bodové zdroje ve 3D)
dráhový rozdíl: konstruktivní interference destruktivní interference fázový rozdíl: dráhový rozdíl: - lib. celé číslo Záleží na fázovém rozdílu

84 Dvojštěrbinový experiment (Youngův pokus)

85 předpokládáme skládání harmonických kmitů (stejné frekvence i amplitudy)

86

87 Vlny a částice

88 Dopplerův jev

89 Dopplerův jev

90 Dopplerův jev pro světlo neplatí

91 Nadzvukové rychlosti, rázové vlny