Rovnice s neznámou pod odmocninou Název projektu: Moderní škola Rovnice s neznámou pod odmocninou Mgr. Martin Krajíc   2.6.2013 matematika 1.ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Rovnice s neznámou pod odmocninou Neekvivalentní úpravy Při úpravě rovnic s neznámou pod odmocninou budeme využívat neekvivalentní úpravy (umocňování obou stran rovnice na druhou). Jedná se o důsledkovou metodu, při které žádné řešení nezmizí, ale může některé přibýt. Nesmíme proto zapomínat na zkoušku. Pouze v případě, že hodnoty všech čísel na obou stranách jsou nezáporné nebo jsou obě nekladné, pak je umocnění rovnice ekvivalentní úpravou. Poznámka: u odmocniny provádíme podmínku – výraz pod odmocninou nesmí být záporný.

Rovnice s neznámou pod odmocninou Vzorce Při úpravách rovnic budeme často využívat vzorce (a ± b)². (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b²

Rovnice s neznámou pod odmocninou Úpravy výrazů pomocí vzorců: ( + 3)² = ( )² + 2. .3 + 3² = x + 6 + 9 ( - )² = ( )² - 2. + ( )² = = x + 2 - 2 + x – 5 = 2x – 3 – 2 (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b²

Rovnice s neznámou pod odmocninou Postup řešení: určíme podmínky – výrazy pod odmocninou nesmí být záporné a) v rovnici máme pouze jeden výraz s odmocninou – výraz s odmocninou převedeme na jednu stranu rovnice, všechny ostatní členy převedeme na stranu druhou a umocníme. b) v rovnici máme dva výrazy s odmocninou – výrazy s odmocninou převedeme na jednu stranu rovnice, všechny ostatní členy převedeme na stranu druhou a umocníme. Vznikne rovnice s jedním výrazem pod odmocninou, potom postupujeme jako v případě a).

Rovnice s neznámou pod odmocninou c) v rovnici máme více výrazů s odmocninou – převádíme a umocňujeme dle vlastního uvážení. porovnáme výsledky s podmínkami provedeme zkoušku

Rovnice s neznámou pod odmocninou Př: Řešte rovnici v R: + 1= 4 /-1 = 3 /² ( )² = 3² 2x + 5 = 9 2x = 4 x = 2 Podmínka: 2x + 5 ≥ 0 x ≥ - x ɛ ˂- , ∞) Zkouška: L = + 1 = 4 P = 4 Výsledek vyhovuje podmínce, provedeme ještě zkoušku.

Rovnice s neznámou pod odmocninou Př: Řešte rovnici v R: = 1 + - = 1 /² ( - )² = 1² 3x + 4 – 2 + x + 5 = 1 4x + 8 = 2 /:2 2x + 4 = /² (2x + 4)² = ²

Rovnice s neznámou pod odmocninou 4x² + 16x + 16 = 3x² + 15x + 4x + 20 x² -3x - 4 = 0 pomocí Viétových vzorců určíme kořeny: x1 = 4, x2 = -1 Podmínky: 3x + 4 ≥ 0 ˄ x + 5 ≥ 0 x ≥ -4/3 ˄ x ≥ -5…. x ɛ ˂-4/3, ∞) Zkouška: L(4) = = 4, P(4) = 1 + = 4 L(-1) = = 1, P(-1) = 1 + = 3 Závěr: vyhovuje pouze jedno řešení x = 4 Oba kořeny vyhovují podmínkám rovnice. Zkouška platí pouze pro kořen x = 4

Rovnice s neznámou pod odmocninou Podmínka: 2x + 1 ≥ 0 ˄ x – 3 ≥ 0 ˄ x ≥ 0 x ≥ -0,5 ˄ x ≥ 3 ˄ x ≥ 0 x ɛ ˂ 3, ∞) Př: Řešte rovnici v R: + = 2 /² 2x + 1 + 2 + x – 3 = 4x 2 = x + 2 /² 4(2x² + x – 6x – 3) = x² + 4x + 4 7x² - 24x – 16 = 0 Pomocí vzorců vypočteme kořeny: x1 = 4, x2 = -4/7 Zkouška: L(4) = + = 4, P(4) = 2 = 4… L(4) = P(4) Výsledek: x = 4 Druhý kořen nevyhovuje podmínce.

Rovnice s neznámou pod odmocninou - příklady Př: Řešte rovnice a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): David Hilbert: „Matematika je …….. hraná podle jistých jednoduchých pravidel s nesmyslnými znaky na papíře. 1) = 2 + a) H = {16}, b) V = {4} 2) = 1 + a) Ě = {10}, b) R = {20} 3) = 2x + 1 a) A = {-0,5}, b) C = {0,5}

Rovnice s neznámou pod odmocninou – správné řešení David Hilbert: „Matematika je …….. hraná podle jistých jednoduchých pravidel s nesmyslnými znaky na papíře. HRA

Rovnice s neznámou pod odmocninou – použité zdroje Matematické citáty. [online]. [cit. 2013-06-02]. Dostupné z: elmartin.txt.cz/clanky/50290/matematicke-citaty/