„Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“. Tento digitální učební materiál (DUM) vznikl na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY V ROVINĚ I V PROSTORU Autor: Mgr. Kateřina Šigutová Zpracováno: 31.1.2014 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Parametrické vyjádření přímky směrový vektor přímky Bod A budu posouvat o násobky vektoru 𝒔. Body 𝑨´ 𝒏 tvoří přímku.

Parametrické vyjádření přímky směrový vektor přímky Body 𝑨´ 𝒏 tvoří přímku. Souřadnice 𝑨´ 𝒏 =𝐴+𝑡 𝑠 Změna označení 𝑨´ 𝒏 =𝑋; 𝑠 = 𝑢 : 𝑿=𝑨+𝒕 𝒖

𝒖 =( 𝒖 𝟏 ; 𝒖 𝟐 ; 𝒖 𝟑 ) směrový vektor přímky Parametrické vyjádření přímky Přímku popíšu soustavou rovnic ( pro každou souřadnici jedna rovnice) 𝑿=𝑨+𝒕 𝒖 , 𝒕∈𝑹 𝑿= 𝒙;𝒚;𝒛 hledané body přímky A= 𝒂 𝟏 ; 𝒂 𝟐 ; 𝒂 𝟑 daný bod přímky 𝒖 =( 𝒖 𝟏 ; 𝒖 𝟐 ; 𝒖 𝟑 ) směrový vektor přímky 𝒙= 𝒂 𝟏 +𝒕 𝒖 𝟏 𝒚= 𝒂 𝟐 +𝒕 𝒖 𝟐 𝒛= 𝒂 𝟑 +𝒕 𝒖 𝟑 t- parametr, 𝒕∈𝑹, 𝒑𝒓𝒐 𝒌𝒂ž𝒅𝒐𝒖 𝒔𝒐𝒖ř𝒂𝒅𝒏𝒊𝒄𝒊 𝒔𝒕𝒆𝒋𝒏ý

Parametrické vyjádření polopřímky, úsečky Přímka: 𝑿=𝑨+𝒕 𝒖 ;𝒕∈𝑹 Polopřímka: 𝑿=𝑨+𝒕 𝒖 ;𝒕∈ 𝟎; ∞ Opačná polopřímka: 𝑿=𝑨+𝒕 𝒖 ;𝒕∈ − ∞;𝟎 Úsečka: 𝑿=𝑨+𝒕 𝒖 ;𝒕∈ 𝒂, 𝒃

Parametrické vyjádření – úloha 1 a) Najdi alespoň 3 směrové vektory přímky p, která prochází body A a B; A 1;3 ; 𝐵 −1;5 𝒖 𝟏 =−𝟏−𝟏=−𝟐 𝒖 𝟐 =𝟓−𝟑=𝟐 𝒖 =(−𝟐;𝟐) 𝒔𝒎ě𝒓𝒐𝒗ý 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓: 𝒖 = 𝑨𝑩 =(𝑩−𝑨) 𝒖´=−𝟏∙𝒖= 𝟐;−𝟐 𝒖´´= 𝟏 𝟐 ∙𝒖= −𝟏;𝟏 𝒖´´´= −𝟏 𝟐 ∙𝒖= 𝟏;−𝟏 další vektory, které vyjadřují stejný směr: 𝒖´=𝒌∙𝒖 b) Urči, zda vektory 𝑣 = 2;4 𝑎 𝑤 = 1;−1 𝑗𝑠𝑜𝑢 𝑠𝑚ě𝑟𝑜𝑣ý𝑚𝑖 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟𝑦 𝑝ří𝑚𝑘𝑦, 𝑘𝑡𝑒𝑟á 𝑝𝑟𝑜𝑐ℎá𝑧í 𝑏𝑜𝑑𝑦 X −3;1 ; 𝑌 −1;2 Ř: 𝑣 𝑎𝑛𝑜, 𝑤 𝑛𝑒

Parametrické vyjádření – úloha 2 a) Napiš parametrické vyjádření přímky p, která prochází body A a B; A −3;2;1 ; 𝐵 −1;2;3 𝒖 𝟏 =−𝟏− −𝟑 =𝟐 𝒖 𝟐 =𝟐−𝟐=𝟎 𝒖 𝟑 =𝟑−𝟏=𝟐 𝒖 =(𝟐;𝟎;𝟐) 𝒔𝒎ě𝒓𝒐𝒗ý 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓: 𝒖 = 𝑨𝑩 =(𝑩−𝑨) 𝒙=−𝟑+𝟐𝒕 𝒚=𝟐 𝒛=𝟏+𝟐𝒕; 𝒕∈𝑹 𝒑ří𝒎𝒌𝒂: 𝑿=𝑨+ 𝒕 𝒖 b) Napiš parametrické vyjádření přímky, která prochází bodem X 1; 2; −3 a má směrový vektor 𝑢 =(−1;1;3) Ř: 1−𝑡; 2 +𝑡;−3+3𝑡;𝑡∈𝑅

Parametrické vyjádření – úloha 3 Urči, zda přímce p z předcházejícího příkladu náleží 𝑎) 𝑏𝑜𝑑 X −2;0;1 ; b) 𝑌 −5;2;−1 𝒙 𝒚 𝒛 𝒙 𝒚 𝒛 𝒑: 𝒙=−𝟑+𝟐𝒕 𝒚=𝟐 𝒛=𝟏+𝟐𝒕; 𝒕∈𝑹 𝐚) −𝟐=−𝟑+𝟐𝒕 𝟎=𝟐 𝟏=𝟏+𝟐𝒕 nemá řešení ⟹𝑿∉𝒑 b) −𝟓=−𝟑+𝟐𝒕 𝟐=𝟐 −𝟏=𝟏+𝟐𝒕 má řešení ⟹𝒀∊𝒑 ⟹𝒕=−𝟏 ⟹𝒕=−𝟏

Parametrické vyjádření – úloha 4 Urči souřadnice bodu C 2𝑝−1;𝑝−3 tak, aby ležel na přímce p, která prochází body 𝐴 −2;−1 ; 𝐵 1;3 𝒔𝒎ě𝒓𝒐𝒗ý 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓: 𝒖 = 𝑨𝑩 =(𝑩−𝑨) 𝒑ří𝒎𝒌𝒂: 𝑿=𝑨+ 𝒕 𝒖 𝒖 𝟏 =𝟏−(−𝟐)=𝟑 𝒖 𝟐 =𝟑− −𝟏 =𝟒 𝒖 =(𝟑;𝟒) 𝒙=−𝟐+𝟑𝒕 𝒚=−𝟏+𝟒𝒕; 𝒕∊𝑹 𝑪∊𝒑⇒𝒋𝒆𝒉𝒐 𝒔𝒐𝒖ř𝒂𝒅𝒏𝒊𝒄𝒆 𝒗𝒚𝒉𝒐𝒗𝒖𝒋í 𝒔𝒐𝒖𝒔𝒕𝒂𝒗ě 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄 𝟐𝒑−𝟏=−𝟐+𝟑𝒕 𝒑−𝟑=−𝟏+𝟒𝒕; 𝒕∊𝑹 ⇒𝒕= 𝟐𝒑+𝟏 𝟑 𝒑−𝟑=−𝟏+𝟒∙ 𝟐𝒑+𝟏 𝟑 𝒑=−𝟐 C −5;−5

Použité zdroje: POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999, 626 s. ISBN 80-719-6166-3. KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: analytická geometrie. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 187 s. ISBN 80-719-6120-5.   PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.