III. část – Vzájemná poloha přímky Matematika 8.ročník ZŠ Kruh, kružnice III. část – Vzájemná poloha přímky a kružnice Creation IP&RK

O b s a h : 1. Kružnice, kruh: opakování - pojmy, definice 2. Úvod do učiva 3. Vnější přímka kružnice 4. Tečna kružnice 5. Sečna kružnice 6. Tětiva kružnice 7. Příklady - tětiva

S 1. Opakování: Kružnice - pojmy, definice r d Platí: d = 2 . r Kružnicí rozumíme všechny body (množinu bodů) v rovině, které mají od daného pevného bodu (středu) S stejnou vzdálenost. k r d Kružnici k se středem S a poloměrem r = 4 cm budeme zapisovat: k(S,r = 4 cm) S Vzdálenost bodů na kružnici ke středu nazýváme poloměr kružnice. Poloměr značíme r. Platí: d = 2 . r r = ½ d Vzdálenost dvou bodů na kružnici, jejichž spojnice prochází středem, se nazývá průměr kružnice. Průměr značíme d.

S 1. Opakování: Kruh - pojmy, definice r d Platí: d = 2 . r r = ½ d Kruhem rozumíme část roviny, která je omezená kružnicí. k Kruh k se středem S a poloměrem r = 4 cm budeme zapisovat: K(S,r = 4 cm) r d S Vzdálenost bodů na kruhu ke středu nazýváme poloměr kruhu. Poloměr značíme r. Platí: d = 2 . r r = ½ d Vzdálenost dvou bodů na kruhu, jejichž spojnice prochází středem se nazývá průměr kruhu. Průměr značíme d.

1. Opakování: Číslo  (pí) Poměr délky kružnice a jejího průměru je pro všechny kružnice stejný (roven číslu ). Ludolfovo číslo  – matematická konstanta udávající poměr obvodu kruhu k jeho průměru.  

Jaké možné polohy přímky vzhledem ke kružnici mohou nastat? 2. Úvod do učiva Načrtněte si kružnici k(S; r) a přímku …. Jaké možné polohy přímky vzhledem ke kružnici mohou nastat? k n T r S C t D p

Nastanou tyto případy: 2. Úvod do učiva Nastanou tyto případy: S r k T p n t D C Přímka n nemá s kružnicí k žádný společný bod. Přímka p má s kružnicí k dva společné body. Přímka t má s kružnicí k jeden společný bod.

Vzájemná poloha přímky a kružnice - shrnutí vnější přímka - přímka, která nemá s kružnicí žádný společný bod tečna - přímka, která má s kružnicí jeden společný bod sečna - přímka, která má s kružnicí dva společné body

Přímka n nemá s kružnicí k žádný společný bod: 3. Vnější přímka kružnice Vzdálenost středu kružnice S od přímky n je větší než poloměr kružnice. k S l > r r Přímka n nemá s kružnicí k žádný společný bod: n  k =  l n .

Vnější přímka – příklad: Sestroj kružnici k o středu S a poloměru 5 cm. Sestroj libovolnou přímku p, která má od středu S vzdálenost 7 cm. p x 7 cm S . k

l = r t  k = T 4. Tečna kružnice k S r l t . T Bod T – bod dotyku. Vzdálenost středu kružnice S od přímky t je rovna poloměru kružnice r. k l = r S r t  k = T l t . Bod T – bod dotyku. T

Konstrukce tečny 1 Konstrukce: S . T Zápis konstrukce: 1. k; k(S; r = 2,5 cm) k 2. T; T  k 3. → ST 4. t; t  → ST, T  t S Úloha má jedno řešení. . t Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání, a výsledek vytáhneme silněji. T

Konstrukce tečny 2 Sestrojte kružnici m(S; 2,5 cm) a vyznačte bod A, pro který platí |SA| = 6,5 cm. Sestrojte tečnu z bodu A ke kružnici m. Vypočítejte vzdálenost bodu A od bodu dotyku tečny s kružnicí. Řešení tohoto příkladu se opírá o znalost učiva o Thaletově kružnici. Její výklad není součástí této prezentace. Thaletova kružnice

Konstrukce tečny 2 Náčrt a rozbor: T1 r m t1 S k S1 T2 t2 A Sestrojíme kružnici m a bod A dle zadání. Ke konstrukci použijeme znalost Thaletovy kružnice. T1 r m t1 S k S1 T2 t2 A

Konstrukce tečny 2 Konstrukce: Zápis konstrukce: t1 T1 k A S1 S m T2 1. m; m(S; r = 2,5 cm) t1 2. A; |SA| = 6,5 cm T1 k 3. S1; S1 je střed SA 4. k; k(S1; r = |SA|/2) 5. T1,2; T1,2  m ∩ k A S1 S m 6. t1,2; t1 = ↔ AT1 t2 = ↔ AT2 T2 Úloha má dvě řešení. t2 Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání, a výsledek vytáhneme silněji.

Konstrukce tečny 2 Výpočet: t1 S r A S1 T2 T1 m t2  ATS je pravoúhlý  Pythagorova věta |SA|2 = |AT2|2 + |T2S|2 6,52 = |AT2|2 + 2,52 42,25 = |AT2|2 + 6,25 |AT2|2 = 42,25 – 6,25 |AT2|2 = 36 |AT2| = |AT2| = 6 cm t1 S r A S1 T2 T1 m t2 Výsledek výpočtu ověříme změřením |AT| v konstrukci.

l < r p  k = C, D k S l p . r D C 5. Sečna úsečka CD – tětiva Vzdálenost středu kružnice S od přímky p je menší než poloměr kružnice r. k l < r S l p  k = C, D p . r D C, D – průsečíky sečny s kružnicí C úsečka CD – tětiva

Tětiva kružnice o A P r B AB ...... tětiva r p o ...... osa tětivy S ∆ABS.... rovnoramenný ∆ tětiva AB .... základna |AS| = |BS| = r (poloměr kružnice) |PS| = v ...... výška na základnu |Sp| = v ...... vzdálenost středu kružnice od tětivy

Tětiva – příklad 1: |PQ| = ? ∆PQL .... rovnoramenný Náčrtek |PQ| = 2.x Vypočti délku tětivy PQ, která je od středu kružnice k(L; 5 cm) vzdálená 4 cm. Náčrtek |PQ| = ? ∆PQL .... rovnoramenný |PQ| = 2.x P x =? Q . x2 = 52 - 42 x2 = 25 - 16 x = x = 3 cm v = 4cm r = 5 cm r = 5 cm L k |PQ| = 2.3 = 6 cm Tětiva měří 6 cm.

Tětiva – příklad 2: Náčrtek v = ? ∆ABS .... rovnoramenný A B Tětiva AB kružnice k(S; 6 cm) má délku 8 cm. Urči vzdálenost tětivy od středu kružnice. Náčrtek v = ? ∆ABS .... rovnoramenný A 8 cm B v2 = 62 - 42 v2 = 36 - 16 v = v = 4,5 cm 4 cm . v = ? r = 6 cm r = 6 cm r = 6 cm S k Vzdálenost tětivy od středu kružnice je 4,5 cm.

Tětiva – příklad 3: Náčrtek r = ? r2 = 122 + 52 r2 = 144 + 25 r = Vypočti poloměr kružnice k(S; r), jestliže tětiva této kružnice má délku 24 cm a je vzdálena od středu kružnice 5 cm. Náčrtek r = ? r2 = 122 + 52 r2 = 144 + 25 r = r = 13 cm 24 cm 12 cm . v = 5 cm v = 5 cm r = ? r = ? S k Poloměr kružnice je 13 cm.

Konec III. části.

Při přípravě tohoto výukového materiálu mi bylo inspirací mnoho prezentací na různých webech. Za mnohé bych hlavně jmenoval následující dva zdroje. Za jejich vypracování patří autorům velký dík. [PPT]Konstrukce tečny dum.rvp.cz/materialy/stahnout/vtwiyhvc/Konstrukce_tecny.ppt Konstrukce tečny. 1. Bodem, který leží na kružnici. 2. Bodem, který leží mimo kružnici. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, ... Téma: Přímka a kružnice, 8.třída Použitý software: držitel licence - ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. Windows XP Professional MS Office Použitá literatura: učebnice matematiky pro základní školu Autor: Mgr. Bohumila Zajíčková ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. (www.zsrozmital.cz)