Ryze kvadratická rovnice Řešení rovnic Ryze kvadratická rovnice Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Rovnice s jednou neznámou: Rovnice s jednou neznámou je zápis rovnosti dvou výrazů, zjednodušeně L(x) = P(x), kde x je z daného číselného oboru. Levá strana rovnosti. Pravá strana rovnosti.

Rovnice s jednou neznámou: Označujeme je jako neznámé (proměnné). V zápisu rovností výrazů na levé straně rovnice a výrazu na pravé straně rovnice se mohou vyskytovat písmena x, y, z apod. Označujeme je jako neznámé (proměnné). Hlavním úkolem (řešením rovnice) je nalézt takové hodnoty příslušné neznámé (proměnné), pro které bude rovnost splněna.

Řešení rovnic: Řešit rovnici s jednou neznámou znamená určit všechny hodnoty neznámé (proměnné) z daného číselného oboru, pro které platí zadána rovnice Provedení zkoušky doporučuji provádět vždy. Velmi jednoduše se přesvědčíte, zda jste se nedopustili nějaké chyby, například numerické. V případě použití některých úprav, nejčastěji umocnění rovnice, je provedení zkoušky nezbytně nutné

Princip řešení rovnic ‒ hledání kořenů rovnice: Hledání kořenů rovnice je proces, při kterém místo dané rovnice píšeme nové rovnice, většinou takové, které mají stejná řešení jako rovnice původní. O takové nové rovnici řekneme, že je s tou naší původní rovnicí ekvivalentní. Úpravy, které budeme provádět s příslušnou rovnicí, se nazývají ekvivalentní úpravy. Ekvivalentní úpravy jsou takové úpravy rovnice, při nichž žádný kořen neztratíme a také obráceně, žádný kořen nedostaneme navíc. Množiny kořenů původní rovnice a nové rovnice jsou si vždy po celou dobu řešení rovny.

Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic: 1. Vzájemná výměna obou stran rovnice. 2. Úprava jedné strany rovnice provedením možných početních operací a úprav – sčítání, odčítání, krácení zlomku, roznásobení závorek,… 3. Přičtení (odečtení) téhož čísla nebo výrazu majícího smysl v celém oboru řešení rovnice k jejím (od jejích) oběma stranám (obou stran). 4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. Použití všech úprav si ukážeme v praxi při řešení následující rovnice:

Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic: Použití všech úprav si ukážeme v praxi při řešení následující rovnice: 2. Úprava strany rovnice – roznásobení závorek, sčítání, odčítání 3. Úprava - přičtení téhož čísla nebo výrazu k oběma stranám rovnice

Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic: Použití všech úprav si ukážeme v praxi při řešení následující rovnice: 1. Úprava - vzájemná výměna obou stran rovnice. 4. Úprava - násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. Pozor na odmocnění obou stran rovnice. Sudá odmocnina má dvě řešení – kladné a záporné!

Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic: Použití všech úprav si ukážeme v praxi při řešení následující rovnice: Na závěr ještě zkoušku:

Na co si při použití ekvivalentních úprav dávat pozor: 4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. Ukázka chybného použití: Velmi častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá to, že nevynásobíme všechny členy rovnice.

Na co si při použití ekvivalentních úprav dávat pozor: 4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. Další častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá i to, že naopak vynásobíme i „něco“ navíc. Velmi častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá to, že nevynásobíme všechny členy rovnice. Ukázka chybného použití: Trojkou byly roznásobeny chybně oba členy součinu, tzn. jak zlomek před závorkou, tak i závorka. Vynásob nejdřív výraz před závorkou, závorku opiš a až v dalším kroku roznásob závorku podle úpravy 2.

Na co si při použití ekvivalentních úprav dávat pozor: 4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. Další častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá i to, že naopak vynásobíme i „něco“ navíc. Velmi častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá to, že nevynásobíme všechny členy rovnice. A ještě jedna obvyklá chyba se při použití úpravy číslo 4 objevuje. Je jí dělení rovnice výrazem s proměnnou. Ukázka chybného použití: Z uvedeného řešení by se mohlo zdát, že množina kořenů rovnice je pouze jednoprvková. Snadno však dosazením do rovnice zjistíme, že je dvouprvková K = {-2; 2}. Uvedené dělení výrazem (2-x) nás zbavilo řešení x=2 a bylo nekorektní. Neurčili bychom kořeny všechny, a to je špatně! Nutno pravou stranu roznásobit a upravovat ekvivalentníma úpravami.

Základní druhy rovnic s jednou neznámou: Lineární rovnice, tzn. rovnice, které povolenými úpravami můžeme „dostat“ do tvaru: ax + b = 0, a,bR, a0 Kvadratické rovnice, tzn. rovnice, které povolenými úpravami můžeme „dostat“ do tvaru: ax2 + bx + c = 0, a,b,cR, a0 Iracionální rovnice, tzn. rovnice, které obsahují odmocniny z neznámé nebo z výrazů s neznámou.  

Kvadratickou rovnicí s neznámou x se nazývá rovnice Kvadratická rovnice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x se nazývá rovnice ax2 + bx + c = 0, a,b,cR, a0 Například: nebo rovnice, které můžeme ekvivalentními úpravami převést na rovnici typu : ax2 + bx + c = 0. Čísla a, b, c se nazývají koeficienty kvadratické rovnice. Výraz ax2 se nazývá kvadratický člen kvadratické rovnice. Výraz bx se nazývá lineární člen kvadratické rovnice. Výraz c se nazývá absolutní člen kvadratické rovnice.

ax2 + c = 0, a, c  R, a  0 ax2 + bx = 0, a, b  R, a  0 Kvadratická rovnice: Kvadratický koeficient a je vždy nenulový. Nastat však mohou případy, kdy buď b = 0 nebo c = 0. Rovnice bude neúplná. Je-li b = 0, rovnici nazveme ryze kvadratickou rovnicí. Má tvar: ax2 + c = 0, a, c  R, a  0 Například: Je-li c = 0, rovnici nazveme kvadratickou rovnicí bez absolutního členu. Má tvar: ax2 + bx = 0, a, b  R, a  0 Například: A právě prvnímu typu neúplných kvadratických rovnic, rovnicím ryze kvadratickým, se nyní budeme věnovat.

Ryze kvadratické rovnice: Ryze kvadratické rovnice tvaru ax2 + c = 0 řešíme tak, že převedeme absolutní člen c na pravou stranu rovnice, a rovnici dělíme koeficientem a, není-li roven plus jedné. Další postup pak závisí na znaménku pravé strany rovnice. Ukážeme a procvičíme si to na konkrétních příkladech. Řešte v R rovnici: Opět mějme na paměti, že druhá odmocnina kladného čísla má dvě řešení. A rovnice tudíž dva kořeny.

Ryze kvadratické rovnice: Ryze kvadratické rovnice tvaru ax2 + c = 0 řešíme tak, že převedeme absolutní člen c na pravou stranu rovnice, a rovnici dělíme koeficientem a, není-li roven plus jedné. Další postup pak závisí na znaménku pravé strany rovnice. Ukážeme a procvičíme si to na konkrétních příkladech. Řešte v R rovnici: Zkouška:

Ryze kvadratické rovnice: Ani rovnice tak nebude mít žádné řešení! Řešte v R rovnici: V tomto případě druhá odmocnina záporného čísla neexistuje. A to proto, že žádné reálné číslo, když jej umocníme na druhou, nebude rovno zápornému číslu. Ani rovnice tak nebude mít žádné řešení!

Ryze kvadratické rovnice ‒ příklady k procvičení řečení: Řešte v R rovnici:

Ryze kvadratické rovnice ‒ příklady k procvičení řečení: Řešte v R rovnici:

Ryze kvadratické rovnice ‒ příklady k procvičení řečení: Řešte v R rovnici:

Ryze kvadratické rovnice ‒ příklady k procvičení řečení: Řešte v R rovnici:

Ryze kvadratické rovnice ‒ příklady k procvičení řečení: Řešte v R rovnici: Zkouška:

Ryze kvadratické rovnice ‒ příklady k procvičení řečení: Řešte v R rovnici:

Ryze kvadratické rovnice ‒ příklady k procvičení řečení: Řešte v R rovnici:

Ryze kvadratické rovnice ‒ příklady k procvičení řečení: Řešte v R rovnici:

Ryze kvadratické rovnice ‒ příklady k procvičení řečení: Řešte v R rovnici:

Ryze kvadratické rovnice ‒ příklady k procvičení řečení: Řešte v R rovnici:

Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-06-10]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-white-board.html>

CITACE: MACHÁŇOVÁ, Šárka CITACE: MACHÁŇOVÁ, Šárka. Kvadratické rovnice – ryze kvadratické rovnice. Metodický portál : Digitální učební materiály [online]. 28. 07. 2011, [cit. 2012-07-08]. Dostupný z WWW: <http://dum.rvp.cz/materialy/kvadraticke-rovnice-ryze-kvadraticke-rovnice.html>. ISSN 1802-4785.