Gottfried Wilhelm von Leibniz 8. Přednáška derivace BRVKA Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716)

derivace funkce - úvod V dalším výkladu budeme rozlišovat: BRVKA derivace funkce - úvod V dalším výkladu budeme rozlišovat: DERIVACE FUNKCE V BODĚ … to je číslo DERIVACE FUNKCE … to je funkce Souvislost mezi nimi: pokud určíme funkční hodnotu derivace funkce v bodě a, získáme derivaci v bodě a. Význam derivací: Určování extrémů – minim a maxim, např. při daném povrchu tělesa získat maximální objem – „konzerva“ Vyšetřování průběhu funkce – kreslení grafu funkce a určování vlastností Fyzikální aplikace – např. rychlost je derivace dráhy podle času, zrychlení je derivace rychlosti podle času ….

derivace funkce - zavedení BRVKA Mějme funkci f(x) definovanou v okolí bodu a. Proměnnou a zvětšíme o hodnotu h, tím se zvětší funkční hodnota o f(a+h)– f(a). Průměrná změna funkční hodnoty je potom: Což je geometricky směrnice sečny: y f(a+h) f(a+h)–f(a) f(a) h a a+h x Pokud zmenšujeme velikost h k nule h→0, stává se ze sečny tečna a zlomek nám určuje „okamžitou“ limitní změnu funkční hodnoty…a to už je derivace v bodě.

derivace funkce - definice BRVKA Definice: Mějme funkci f(x) definovanou v okolí bodu a. Derivace funkce f v bodě a je: Pokud počítáme limity zleva a zprava, jedná se o derivaci zleva a zprava. Definice: Mějme funkci f(x) definovanou na intervalu I, která má v každém bodě tohoto intervalu vlastní derivaci. Derivace funkce f je funkce f ´(x), která každému x přiřadí derivace funkce f v bodě x. Pokud známe funkční předpis derivace, můžeme určovat derivaci funkce v bodě dosazením do předpisu. Věta o souvislosti derivace a spojitosti: Funkce je spojitá v každém bodě, ve kterém má vlastní derivaci.

DERIVACE – SMĚRNICE TEČNY BRVKA DERIVACE – SMĚRNICE TEČNY Pozn.: Směrnice tečny (někdy směrnice grafu) je tangens úhlu α, který tečna svírá s osou x (jejím kladným směrem). Geometrický význam derivace funkce pro její graf: Směrnice tečny ke grafu funkce f(x) v daném bodě a je rovna derivaci funkce f(x) v tomto bodě. y f(a) tg α = f ´(a) α a x Tečna ke grafu v bodě a má rovnici y = f ´(a).x + b. Koeficient b určíme dosazením za [x,y] = [a, f(a)].

Tabulka derivací Funkce f,g mají derivace, c je konst. BRVKA Funkce f,g mají derivace, c je konst. Funkce g○f je složená funkce, kde g je vnější a f vnitřní funkce.

Derivace součtu a rozdílu BRVKA Derivace součtu a rozdílu Typické zadání zní: „zderivujte“, tím se míní to, že hledáme předpis funkce, která je derivací zadané. Většinou je potřeba předpis upravit tak, abychom mohli použít tabulku derivací.

Derivace součinu Derivace součinu NENÍ součin derivací! BRVKA Derivace součinu Derivace součinu NENÍ součin derivací! V součinu derivujeme vždy jen jeden činitel, ostatní činitele necháme beze změny, členy po zderivování sčítáme.

BRVKA Derivace podílu Vzorec je složitější a je nutno zachovat pořadí funkcí.

BRVKA Složená funkce Laicky: Máme dvě funkce f(x) a g(x). Složená funkce vznikne, jestliže výsledek (funkční hodnotu) jedné funkce dosadíme do druhé funkce za x. Definice: Funkce h je složena z funkcí g, f, právě když platí: (def.obor funkce h je množina těch x z def.oboru f, pro které je jejich funkční hodnota z def.oboru funkce g) a pro každé x z D(h) platí h(x) = g ( f (x)). Složenou funkci h označujeme symbolem h = g ○ f (čteme h se rovná g na f nebo g složeno s f). Skládání funkcí není komutativní ⇒ g ○ f NENÍ f ○ g . Dodatek: Pokud platí h = g ○ f říká se někdy, že funkce f je funkce vnitřní a funkce g je funkce vnější.

SLOŽENÁ FUNKCE - PŘÍKLADY BRVKA SLOŽENÁ FUNKCE - PŘÍKLADY Především musíme v předpisu umět najít vnitřní a vnější funkci. Pro derivování je víceméně jedno, která je která, ale v zásadě platí: vnitřní je ta, kterou bychom do kalkulačky zadali dřív, kdybychom počítali postupně. Najděte vnitřní (f) a vnější (g) funkce v předpisech:

SLOŽENÁ FUNKCE - derivace BRVKA SLOŽENÁ FUNKCE - derivace Derivujeme zvlášť vnitřní (f) a vnější (g) funkce a mezi sebou jejich derivace NÁSOBÍME. Zderivujte předchozí funkce:

BRVKA Určení tečny - návod Zadání většinou zní: „Určete rovnici tečny ke grafu funkce f(x) vedené jejím bodem a.“ Návod: Určíme funkční hodnotu f(a) dosazením čísla a do předpisu funkce. Zderivujeme funkci f(x), získáme funkci f ´(x). Do předpisu derivace f ´(x) dosadíme číslo a, máme f ´(a), což je směrnice tečny. Do očekávané rovnice tečny y = f ´(a).x + b dosadíme za y = f (a) (získáno v bodě 1) a za x = a. Dopočítáme b a napíšeme rovnici tečny.

BRVKA Určení tečny - příklad Určete rovnici tečny ke grafu funkce f(x) = 2x2 + 8x – 1 vedené jejím bodem a = –1. 1) Určíme funkční hodnotu f(a) dosazením čísla a do předpisu funkce. f(–1) = 2.(–1) 2 + 8.(–1) – 1 = –7 2) Zderivujeme funkci f(x), získáme funkci f ´(x). f ´(x) = 2.2x + 8 = 4x + 8 3) Do předpisu derivace f ´(x) dosadíme číslo a, máme f ´(a). f ´(–1) = 4.(–1) + 8 = 4 4) Do očekávané rovnice tečny y = f ´(a).x + b dosadíme za y = f (a) (získáno v bodě 1) a za x = a. Dopočítáme b a napíšeme rovnici tečny. y = 4x + b → –7 = 4.(–1) + b → b = –3 y = 4x – 3

BRVKA A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost.