„Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“. Tento digitální učební materiál (DUM) vznikl na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“. ANALYTICKÁ GEOMETRIE POLOHOVÉ VZTAHY LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Autor: Mgr. Kateřina Šigutová Zpracováno: 6.2.2014 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

INCIDENCE (BOD (NE)NÁLEŽÍ p ) obecná rovnice A 𝒙;𝒚 p: 𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄=𝟎 obecná rovnice A 𝒙;𝒚 p: 𝒙= 𝒂 𝟏 + 𝒖 𝟏 𝒕 𝒚= 𝒂 𝟐 + 𝒖 𝟐 𝒕 Dosadím souřadnice bodu do rovnice přímky (udělám „zkoušku“). Souřadnice bodu odpovídají rovnici⇒𝐴∊𝑝 Souřadnice bodu neodpovídají rovnici⇒𝐴∉𝑝

Urči, zda na přímce p: 𝟐+𝟑𝒕;−𝟏−𝒕;𝒕∊𝑹 Incidence – úloha 1 Urči, zda na přímce p: 𝟐+𝟑𝒕;−𝟏−𝒕;𝒕∊𝑹 leží body a) A 𝟑;𝟎 ; b) B −𝟏;𝟎 𝒐𝒗ěří𝒎, 𝒛𝒅𝒂 𝒔𝒐𝒖ř𝒂𝒅𝒏𝒊𝒄𝒆 𝒃𝒐𝒅ů 𝒗𝒚𝒉𝒐𝒗𝒖𝒋í 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄𝒊 𝒑 𝒙=𝟐+𝟑𝒕 𝒚=−𝟏−𝒕 𝟑=𝟐+𝟑𝒕 0=−𝟏−𝒕 Parametr není v obou rovnicích stejný⟹ A∉p 𝒃) 𝒙=𝟐+𝟑𝒕 𝒚=−𝟏−𝒕 −𝟏=𝟐+𝟑𝒕 0=−𝟏−𝒕 Parametr je v obou rovnicích stejný⟹ B ∊p ⇒𝒕= 𝟏 𝟑 ⇒𝒕=−𝟏 ⇒𝒕=−𝟏 ⇒𝒕=−𝟏

Urči, zda na přímce p: 𝟓𝒙+𝟑𝒚−𝟏𝟓=𝟎 Incidence – úloha 2 Urči, zda na přímce p: 𝟓𝒙+𝟑𝒚−𝟏𝟓=𝟎 leží body a) A 𝟑;𝟎 ; b) B −𝟏;𝟎 𝒐𝒗ěří𝒎, 𝒛𝒅𝒂 𝒔𝒐𝒖ř𝒂𝒅𝒏𝒊𝒄𝒆 𝒃𝒐𝒅ů 𝒗𝒚𝒉𝒐𝒗𝒖𝒋í 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄𝒊 𝒑 𝟓𝒙+𝟑𝒚−𝟏𝟓=𝟎 𝑳=𝟓∙𝟑+𝟑∙𝟎−𝟏𝟓 𝑳=𝟎 𝑷=𝟎 Souřadnice bodu A odpovídají rovnici přímky⟹ Ap 𝒃)𝟓𝒙+𝟑𝒚−𝟏𝟓=𝟎 𝑳=𝟓∙ −𝟏 +𝟑∙𝟎−𝟏𝟓 𝑳=−𝟐𝟎 𝑷=𝟎 Souřadnice bodu B neodpovídají rovnici přímky⟹ B∉p

Incidence – úloha 3 aby ležel na přímce a) p:𝟓𝒙+𝟑𝒚−𝟏𝟓=𝟎 Urči souřadnice bodu C −𝟐;𝒑 tak, aby ležel na přímce a) p:𝟓𝒙+𝟑𝒚−𝟏𝟓=𝟎 b) q: 𝟐+𝟑𝒕;−𝟏−𝒕;𝒕∊𝑹 𝑨𝒃𝒚 𝒃𝒐𝒅 𝒍𝒆ž𝒆𝒍 𝒏𝒂 𝒑ří𝒎𝒄𝒆, 𝒎𝒖𝒔í 𝒋𝒆𝒉𝒐 𝒔𝒐𝒖ř𝒂𝒅𝒏𝒊𝒄𝒆 𝒐𝒅𝒑𝒐𝒗í𝒅𝒂𝒕 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄𝒊 𝒑ří𝒎𝒌𝒚 𝟓𝒙+𝟑𝒚−𝟏𝟓=𝟎 𝟓∙ −𝟐 +𝟑∙𝒑−𝟏𝟓=𝟎 −𝟏𝟎+𝟑𝒑−𝟏𝟓=𝟎 𝟑𝒑=𝟐𝟓 𝒑= 𝟐𝟓 𝟑 C −𝟐; 𝟐𝟓 𝟑 𝒃)𝒙=𝟐+𝟑𝒕 𝒚=−𝟏−𝒕 −𝟐=𝟐+𝟑𝒕 𝒑=−𝟏+ 𝟒 𝟑 𝒑= 𝟏 𝟑 ; C −𝟐; 𝟏 𝟑 ⇒𝒕=− 𝟒 𝟑

Vzájemná poloha přímek Rovnoběžky 𝒑∥𝒒 splývající 𝒑=𝒒 různé 𝒑≠𝒒 Různoběžky 𝒑∦𝒒 kolmice 𝒑⊥𝒒 nejsou kolmice

Vzájemná poloha přímek - směr Rovnoběžky 𝒑∥𝒒 Různoběžky 𝒑∦𝒒 𝑠 𝑝 𝑠 𝑝 𝑠 𝑞 𝑠 𝑞 𝒔 𝒑 =𝒌∙ 𝒔 𝒒 𝒔 𝒑 ≠𝒌∙ 𝒔 𝒒 𝑠 𝑞 𝑠 𝑝 Kolmice 𝒑⊥𝒒 𝒏 𝒑 = 𝒔 𝒒

Vzájemná poloha přímek - směr Rovnoběžky - obecná rovnice stejný normálový vektor jiný parametr c

Vzájemná poloha přímek – spol. body Rovnoběžky 𝒑∥𝒒,𝒑≠𝒒 Různoběžky 𝒑∦𝒒 žádný sp. b. 1 sp. bod Rovnoběžky 𝒑∥𝒒,𝒑=𝒒 ∞ spol. bodů

Vyšetřování vzájemné polohy přímek Porovnáním směrových/normálových vektorů ? ano 𝑝∥𝑞 najdu bod Pp 𝑠 𝑝 =𝑘∙ 𝑠 𝑞 Pq ? 𝑝∦𝑞 ne ano 𝑝=𝑞 𝑠 𝑝 ∙ 𝑠 𝑞 =0 ? ano 𝑝⊥𝑞 𝑝≠𝑞 ne nejsou kolmé ne

Soustava má právě 1 řešení Vyšetřování vzájemné polohy přímek b) Řešením soustavy rovnic: Řeš soustavu rovnic Soustava nemá řešení Soustava má právě 1 řešení Soustava má  řešení 𝑝∥𝑞 𝑝∦𝑞 𝑝=𝑞

Vzájemná poloha přímek – úloha 1 Urči vzájemnou polohu přímek p: 𝟐+𝟑𝒕;−𝟏−𝒕;𝒕∊𝑹 𝟐+𝟑𝒕;−𝟏−𝒕;𝒕∊𝑹 ; 𝐪: 𝟓𝒙+𝟑𝒚−𝟏𝟓=𝟎 𝑠 𝑝 = 𝟑;−𝟏 𝑛 𝑞 = 𝟓;𝟑 𝑠 𝑞 = 𝟑;−𝟓 𝑠 𝑝 ≠𝑘∙ 𝑠 𝑞 nalezení průsečíku převod p na obecný tvar p: 𝒙=𝟐+𝟑𝒕 𝒚=−𝟏−𝒕 𝒙=𝟐+𝟑𝒕 𝟑𝒚=−𝟑−𝟑𝒕 p: 𝒙+𝟑𝒚+𝟏=𝟎 směrové vektory: /∙3 ⇒𝑝∦𝑞 p: 𝒙+𝟑𝒚+𝟏=𝟎 𝒒:𝟓𝒙+𝟑𝒚−𝟏𝟓=𝟎 𝒙+𝟑𝒚+𝟏=𝟎 −𝟓𝒙−𝟑𝒚+𝟏𝟓=𝟎 −𝟒𝒙+𝟏𝟔=𝟎 x=4 → 𝒙+𝟑𝒚+𝟏=𝟎 𝟒+𝟑𝒚+𝟏=𝟎 𝒚=−𝟓/𝟑 𝑷 𝟒;−𝟓/𝟑 /∙(−1)

Vzájemná poloha přímek – úloha 2 Urči vzájemnou polohu přímek p:𝟏𝟎𝒙+𝟔𝒚−𝟑=𝟎 ; 𝐪: 𝟓𝒙+𝟑𝒚−𝟏𝟓=𝟎 𝑛 𝑝 = 𝟏𝟎;𝟔 ~(𝟓;𝟑) 𝑛 𝑞 = 𝟓;𝟑 𝑠 𝑝 = 𝑠 𝑞 p:𝟏𝟎𝒙+𝟔𝒚−𝟑=𝟎 𝒒:𝟓𝒙+𝟑𝒚−𝟏𝟓=𝟎 𝟏𝟎𝒙+𝟔𝒚−𝟑=𝟎 −𝟏𝟎𝒙−𝟔𝒚+𝟑𝟎=𝟎 𝟐𝟕≠𝟎 soustava nemá řešení ⇒𝑝∥𝑞; 𝑝≠𝑞 normálové vektory: jsou přímky splývající? řešení soustavy rovnic /∙(−2) ⇒𝑝∦𝑞

Vzájemná poloha přímek – úloha 3 Urči vzájemnou polohu přímek p:𝒙=𝟐+𝟑𝒕; 𝒒: 𝒙=𝟖−𝟑𝒔 𝒚=−𝟏−𝒕;𝒕∊𝑹 𝒚=−𝟑+𝒔 ;𝒔 ∊𝑹 𝑠 𝑝 = 𝟑;−𝟏 𝑠 𝑞 = −𝟑;𝟏 𝑠 𝑝 =−1∙ 𝑠 𝑞 ⇒𝑝∥𝑞 směrové vektory: 𝟐+𝟑𝒕= 𝟖−𝟑𝒔 −𝟏−𝒕=−𝟑+𝒔 ⇒t=2−s 𝟐+𝟑∙(𝟐−𝒔)=𝟖−𝟑𝒔 𝟐+𝟔−𝟑𝒔=𝟖−𝟑𝒔 𝟎=𝟎 jsou přímky splývající? řešení soustavy rovnic ⇒ nekonečně mnoho řešení, 𝑝=𝑞

Vzájemná poloha přímek – úloha 4 Napiš rovnici přímky, která prochází bodem A 𝟏;−𝟏 a je a) rovnoběžná, b) kolmá na přímku p:𝟏𝟎𝒙+𝟔𝒚−𝟑=𝟎 𝑛 𝑝 = 𝟏𝟎;𝟔 ~(𝟓;𝟑) 𝑛 𝑞 = 𝑛 𝑝 = 𝟓;𝟑 𝟓𝒙+𝟑𝒚+𝒄=𝟎 𝑨∊𝒑: 𝟓∙𝟏+𝟑∙ −𝟏 +𝒄=𝟎 𝒄=−𝟐 𝒑: 𝟓𝒙+𝟑𝒚−𝟐=𝟎 𝒂) normálové vektory: 𝑛 𝑝 = 𝟏𝟎;𝟔 ~ 𝟓;𝟑 𝑛 𝑞 = 𝑠 𝑝 = −𝟑;𝟓 −𝟑𝒙+𝟓𝒚+𝒄=𝟎 𝑨∊𝒑: −𝟑∙𝟏+𝟓∙ −𝟏 +𝒄=𝟎 𝒄=𝟖 𝒑:−𝟑𝒙+𝟓𝒚+𝟖=𝟎 𝒃) normálové vektory: rovnice přímky rovnice přímky

Použité zdroje: POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999, 626 s. ISBN 80-719-6166-3. KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: analytická geometrie. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 187 s. ISBN 80-719-6120-5.   PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.