Deduktivní odvozování v TIL Nikola Ciprich, Martina Číhalová, Marie Duží, Tomáš Frydrych Marek Menšík VŠB – Technická univerzita Ostrava, FEI, Katedra informatiky

Obsah prezentace Obecná motivace Základní charakteristiky TIL Tři typy kontextů Základní pravidla odvozování v TIL Ilustrační příklady úsudků

TIL jako deduktivní systém- motivace Výhody – vysoká expresivní síla TIL umožňuje rigorosní logickou analýzu - mizí řada problémů s odvozením nedostatečných znalostí i logických nekonzistencí a paradoxů Problémy nutnost rozlišení mezi typem kontextu, v němž se konstrukce vyskytuje parcialita

Základní principy TIL Hyperintensionální, typovaný, parciální lambda kalkul Nekonečná hierarchie typů Základní pojem: Konstrukce Abstraktní procedury, které jsou algoritmicky strukturovány Skládají se z konstituentů, které je nutno vykonat, chceme-li danou konstrukci provést

Ontologie TIL Nestrukturované entity – objekty 1. řádu bázové (atomické) entity - pravdivostní hodnoty () - individua () - časové okamžiky, reálná čísla () - možné světy ()… Funkcionální (molekulární) entity ( 1…n) př.: Propozice ( ), vlastnosti (),relace () individuové úřady 

Strukturované entity řádu n > 1 Ontologie TIL Strukturované entity řádu n > 1 Proměnné x, y Trivializace 0Prvočíslo, 0Student, 0[0= [0+ 01 02] 03] Uzávěr x [0 x 00], x [0+ x 01] wt [0Happywt 0Charles] Kompozice [0= [0+ 01 02] 03].

Zmiňování versus užití výrazu ve třech typech kontextu

Příklady výskytů konstrukce v různých kontextech Hyperintenzionální kontext Karel řeší rovnici sinus x = 0. wt [0Solve 0Charleswt 0 [x [0Sinus x] = 00]] Intenzionální kontext Sinus je periodická funkce. [0Periodical 0Sinus] Extenzionální kontext sin() = 0 [[0Sinus 0] = 00] Periodical/(()); Sinus/(); Solve /((*)); / ; Charles/

Základní zákony a principy inference v TIL Improperness (ne-existence) C v-konstruující entitu typu  může být v-improper pouze když se její konstituent D vyskytuje v C extenzionálně. Improperness pramení z užití Kompozice, která je procedurou aplikace funkce f na argument takovým způsobem, že: buď f produkuje value gap, nebo C neobdrží argument na němž by operovala, protože některé z konstituentů C jsou v-improper. V tomto případě je parcialita striktně propagována nahoru.

Základní zákony a principy inference v TIL existence Jestliže C je v-proper, pak všechny její konstituenty Di vyskytující se extensionálně jsou také v-proper. Jinými slovy, příslušné hodnoty funkcí konstruovaných těmito konstituenty existují.

Základní zákony a principy inference v TIL Leibnitzovo pravidlo substituce ve třech typech kontextů 1) Extenzionální kontext Korektní Substituce v-kongruentních konstrukcí D a D’ v konstrukci C je platná pro extenzionálně se vyskytující konstituenty; konstrukce D, D’ jsou v-kongruentní jetsliže v-konstruují identickou entitu.

Základní zákony a principy inference v TIL Leibnitzovo pravidlo substituce ve třech typech kontextů 2) Intenzionální kontext Korektní Substituce ekvivalentních konstrukcí D a D’ v C je platná pro všechny konstituenty C; konstrukce D, D’ jsou ekvivalentní jestliže v-konstruují identickou entitu pro všechny valuace v.

Základní zákony a principy inference v TIL Leibnitzovo pravidlo substituce ve třech typech kontextů 3) Hyperintenzionální kontext Korektní Substituce procedurálně izomorfních konstrukcí D, D’ v C je platná pro všechny pod-konstrukce C; konstrukce D, D’ jsou procedurálně izomorfní jestliže v-konstruují identickou entitu pro všechny valuace v stejným procedurálním způsobem.

Synonymní versus ekvivalentní výrazy Procedurálně isomorfní výrazy (synonymní) 0Prime, x [0Prime x], y [0Prime y], Ekvivalentní výrazy: 0Prime versus x [[0Card y [0Divide y x]] = 02]

Ilustrační příklad 1 “Karel řeší rovnici 2 + x = 7” Typy: Charles/; Solve/(n); 2, 7/; x  . - Karel chce zjistit, která množina objektů (zde singleton) je konstruována Uzávěrem x [0= [0+ 02 x] 07]. - Je tedy ve vztahu k samotnému uzávěru, nikoli k jeho produktu. wt [0Řešitwt 0Karel 0[x [0= [0+ 02 x] 07]]].

Ilustrační příklad 1 Mějme následující úsudek (neplatný): Karel řeší rovnici 2 + x = 7. Řešení rovnice 2 + x = 7 je rovno řešení rovnice 13 – x = 8  Karel řeší rovnici 13 – x = 8. To, že je neplatný, snadno odhalíme následující analýzou:

Ilustrační příklad 2 wt [0Solvewt 0Charles 0[x [0= [0+ 02 x] 07]]] x [0= [0+ 02 x] 07] = y [0= [0– 013 y] 08]  wt [0 Solve wt 0 Charles 0[y [0= [0+ 02 y] 07]]] Konstrukce [x [0= [0+ 02 x] 07]] se v 1. premise vyskytuje hyper-intensionálně. Tedy substituce salva veritate je v tomto případě platná pouze pro procedurálně isomorfní konstrukce. Druhá premisa zaručuje pouze ekvivalenci dvou Uzávěrů; konstruují stejnou množinu čísel, ale nikoliv isomorfním způsobem.

Ilustrační příklad 3 úsudek (platný): Karel řeší rovnici 2+x = 7 Existuje něco, co Karel řeší. wt [0Solvewt 0Charles 0[x [0= [0+ 02 x] 07]]] wt c [0 Solve wt 0 Charles c] Proměnná c jde přes 1.

Ilustrační příklad 3 Důkaz: Nechť Proper/(n) je třída konstrukcí, které pro jakoukoli valuaci v nejsou v-improper. Pak v každém wt následující kroky zachovávají pravdivost: [0Solvewt 0Charles 0[x [0= [0+ 02 x] 07]]] předpoklad [0Proper 0[x [0= [0+ 02 x] 07]]]] improperness pravidlo c [0Solvewt 0Charles c] existenční generalizace

wt [0Want_to_bewt 0Charles Ilustrační příklad 4 Karel chce být prezidentem Finska. Prezident Finska je první ženou zastávající tento úřad. Karel chce být první ženou zastávající tento úřad. wt [0Want_to_bewt 0Charles wt [0President_ofwt 0Finland]] [0Firstwt x [[0Femalewt x]  [0= x wt [0President_ofwt 0Finland]wt]]]] wt [0Want_to_bewt 0Charles wt [0Firstwt x [[0Femalewt x]  [0= x wt [0President_ofwt 0Finland]wt]]]] Typy: Karel /; Chce-být /(); Prezident_(čeho ) /(); Finsko/

Ilustrační příklad 4 Předchozí Úsudek je evidentně neplatný: wt [0President_ofwt 0Finland] se v 1. premise vyskytuje v supozici de dicto, tj. intensionálně, zatímco 2. premisa zaručuje pouze v-kongruenci Uzávěru: wt [0Firstwt x [[0Femalewt x]  [0= x wt [0President_ofwt 0Finland]wt]]], tj. jde pouze o kontingentní co-obsazenost dvou úřadů, nešlo by tedy o korektní substituci.

Ilustrační příklad 5 4) Úsudek (platný) wt [0Watchwt wt [0President_ofwt 0Finland]wt 0TV] wt [0Existwt wt [0President_ofwt 0Finland]] Typy: Watch/(); TV/ ; Exist/( ) /(()): třída neprázdných tříd individuí; c v ; x v ; =o/(); =of /(()()) Improper/(1) vlastnost konstrukcí „být v-improper“ v příslušné kolekci w, t Empty/(()) singleton zahrnující prázdnou množinu individuí 0Exist =of wt c [0x [x = cwt]] ., [0Existwt c] = [0x [x =i cwt]]

Ilustrační příklad 5_ Doplnění Kvantifikátory ,  jsou extenze typu ((α)) Je-li B  , x  , pak [0 x B] konstruuje Pravdu, pokud konstrukce [x B] konstruuje celý typ , jinak Nepravdu. [0 x B] konstruuje Pravdu, pokud konstrukce [x B] konstruuje neprázdnou podmnožinu typu , jinak Nepravdu. singularizátor I je objekt typu (()) [0I x B] konstruuje jediný prvek množiny konstruované [x B], pokud je tato množina singleton (jednoprvková), jinak je tato konstrukce nevlastní. ,

Ilustrační příklad 5 Důkaz: 1) [0Watchwt wt [0President_ofwt 0Finland]wt 0TV] předpoklad 2) [0Improperwt 0[[wt [0President_ofwt 0Finland]]wt]] definice kompozice 3) [0Empty x [x =i [wt [0President_ofwt 0Finland]]wt]] zřejmé z 2) 4) [0x [x =i [wt [0President_ofwt 0Finland]]wt]] existenční generalizace 5) [0Existwt [wt [0President_ofwt 0Finland]]] z def. Exist.

Ilustrační příklad 6 wt [0Watchwt wt [0President_ofwt 0Finland]wt 0TV] wt [0= wt [0President_ofwt 0Finland]wt 0Halonen] wt [0Watchwt 0Halonen 0TV] 1) [0Watchwt wt [0President_ofwt 0Finland]wt 0TV] předpoklad 2) [0Halonen =i wt [0President_ofwt 0Finland]wt] předpoklad 3) [0Watchwt 0Halonen 0TV] substituce identit

Děkujeme Vám za pozornost