Počítačová chemie (8. přednáška) Úvod ( 1. přednáška ) Molekula –Struktura molekuly (2., 3. a 4. přednáška) –Geometrie molekuly (5. přednáška) –Vhled do praxe (6. přednáška) Molekulové modelování –Molekulová mechanika (7. a 8. přednáška) –Kvantová mechanika (9. a 10. přednáška) –Molekulová dynamika (11. přednáška) –Vhled do praxe (12. přednáška)

Významné body v PES - matematické pojmy I Gradient: –Vektor prvních parciálních derivací funkce f v bodě x = (x 1, x 2, …, x n ) –Označujeme ho  f(x): Chemický význam gradientu potenciálové funkce: Vektor síly v bodě x je roven -  f(x).

Významné body v PES - matematické pojmy II Hessian: –Matice druhých parciálních derivací funkce f v bodě x = (x 1, x 2, …, x n ) –Označujeme ho  2 f(x) nebo také H f (x)

Významné body v PES - matematické pojmy - cvičení Vypočítejte gradient a hessián Rosenbrockovy funkce (obecně a v bodě (1, 0)): f(x) = 100(x 2 – x 1 2 ) 2 + (1 – x 1 ) 2 Gradient: Hessián:

Domácí úkol 5 Najděte free software (nebo shareware)*, který je schopen vypočítat Epot pro (alespoň 3) různá silová pole a napočítejte pomocí něho energii pro molekulu trans-2-butenu (pdb soubor naleznete na www stránkách předmětu). (3%) Vytvořte si molekulu 1,1,2-trichlorethanu. Vyzkoušejte alespoň 5 různých torzních úhlů (Cl-C-C-H), a pro vzniklé konformery vypočítejte (např. pomocí programu SwisPDBViewer) potenciální energii. Při odevzdávání přiložte soubory s konformery. (4%) *Neppočítám programy, které jsme si ukazovali na vhledu (viz slidz k vhledu).

Významné body v PES -definice II Stacionární body: Body PES, jejichž gradient je nulový vektor. Patří sem: –Minima a maxima (lokální a globální) –Sedlové body

Významné body v PES -definice III Lokální minimum a lokální maximum (často se označuje pouze minimum a maximum): Minimum:  x  (x*): f(x)  f(x*) Maximum:  x  (x*): f(x)  f(x*) Kde  (x*) je (vícerozměrné) okolí bodu x*.

Významné body v PES -definice IV Globální minimum: Pokud f(x)  f(x*) pro všechna x z definičního oboru funkce f, pak je x* globálním minimem funkce f. Obdobně je definováno globální maximum funkce f.

Významné body v PES -definice V Hessian a stacionární body: Minima*: Ve stacionárním bodě A funkce f je minimum, pokud jsou vlastní hodnoty hessianu H f (A) kladná čísla. Maxima*: Ve stacionárním bodě A finkce f je maximum, pokud jsou vlastní hodnoty hessianu H f (A) záporná čísla. *Jedná se o lokální minima a maxima. Dále budu vždy pod pojmem minimum nebo maximum mínit lokální minimum případně maximum.

Významné body v PES -definice VI Hessian a stacionární body: Pokud není stacionární bod ani minimum ani maximum, jedná se o sedlový bod. Speciálním typem sedlového bodu je tranzitní stav (= nejvyšší bod na nejkratším přechodu mezi dvěma minimy). Je to tedy v jednom rozměru maximum a v dalších rozměrech minimum. Má tedy jednu vlastní hodnotu hessianu zápornou a ostatní kladné.

Minima v PES -definice Chemický význam minim: Souřadnice, v nichž má PES minimum, popisují geometrii molekuly, která je v daném prostředí* stabilní. * Chemické prostředí je popsáno parametry silového pole.

Minima v PES - nalezení Pro vícerozměrné funkce zadané analyticky lze určit minima přímo z pomocí. Potenciálová funkce je zadána příliš složitým způsobem => nelze řešit analyticky => je nutno použít numerické metody

Minima v PES - nalezení II Problém minimalizace: Neformální definice: Pro bod A  PES nalezněte nejbližší minimum, do kterého lze z bodu A sestoupit.

Minima v PES - nalezení III Problém minimalizace: Formální definice: Pro bod A  PES nalezněte bod M  PES, tak aby platilo: –M je minimum PES –existuje křivka z A do M, v jejíchž bodech má E pot tím nižší hodnotu, čím blíže je příslušný bod k bodu M

Minima v PES - metody nalezení Nederivační Jednoduché metody Postupná optimalizace proměnných Systematické prohledávání Náhodnostní metoda Metoda alternujících proměnných Simplexová (Nelder-Meadova) metoda Derivační První derivace Metoda největšího spádu + další spádové metody Metoda konjugovaných gradientů Druhá derivace Newton-Raphsonova metoda Quasi-Newtonova metoda

Jednoduché metody - postupná optimalizace proměnných Jedna z nejstarších optimalizačních metod (označována také „naivní metoda“ :-). Princip: Nejdříve nalezne minimum první proměnné (hodnoty ostatních proměnných se nemění). Původní hodnotu této proměnné nahradí nově nalezenou hodnotou. Analogicky jsou optimalizovány další proměnné. Zhodnocení: Metoda je použitelná pouze v některých případech: funkce 2 nebo 3 proměnných + vhodný tvar funkce. V součastnosti se tato metoda již nevyužívá.

Jednoduché metody - systematické prohledávání Anglicky označována grid search. Princip: Rozdělí vícerozměrný prostor, nad kterým je funkce definována na části pomocí vícerozměrné mřížky. Vypočítá pro každou část funkční hodnoty. Projde všechny funkční hodnoty a nalezne nejmenší z nich. V některých implementacích této metody analogickým způsobem prohledá okolí minima, nalezeného v předchozím kroku atd.

Jednoduché metody - systematické prohledávání Zhodnocení: Výhody: Spolehlivá metoda. Dnes se využívá pro hledání globálních extrémů případně pro nalezení všech extrémů v určité oblasti. Nevýhody: Složitost  (P 1.P P N ), kde P i je počet dílů mřížky pro i-tou proměnnou a N je rozměr prostoru, nad kterým je studovaná funkce definována.

Jednoduché metody - náhodnostní metoda Princip: V rámci každého kroku výpočtu je vypočítáno mnoho hodnot studované funkce pro náhodně vybrané hodnoty proměnných (tyto hodnoty jsou ovšem náhodně vybrány z určitého regionu). Poté je nalezena nejmenší hodnota funkce a ta se stane středem nového regionu (který má menší rozměry než původní region). Zhodnocení: Použitelné, ale pouze při dostatečně velkém počtu vypočítaných funkčnch hodnot v každém kroku. Nevýhodou je velká složitost metody.

Jednoduché metody - metoda alternujících proměnných Anglicky označována alternating variables method. Princip: V iteraci k (k = 1, 2,..., N*) se mění (je optimalizována) pouze proměnná x k, ostatní proměnné jsou ponechány. Poznámka: Proměnná x k je optimalizována např. tak, že jsou vypočítány hodnoty x k ´ = x k +  x a x k  = x k -  x, poté hodnoty f(x 1,..., x k ´,..., x N ) a f(x 1,..., x k ,..., x N ), a pak je pro další iteraci za x k použito nejvhodnější z x k ´ a x k  Po proběhnutí iterací 1... N, když jsou všechny hodnoty optimalizovány, se celý cyklus opakuje znovu (až do splnění podmínek minima). * N je dimenze prostoru, nad kterým je funkce definována.

Jednoduché metody - metoda alternujících proměnných II Zhodnocení: Výhody: Jednoduchá implementace. Rozumná složitost. Nevýhody: V některých případech je tato metoda velmi neefektivní. Postup optimalizace je v těchto případech charakterizován oscilačním průběhem (viz následující obrázek). Navíc je znám problém (viz Practical methods of optimization), pro který metoda chybně konverguje k sedlovému bodu.

Jednoduché metody - metoda alternujících proměnných III Příklad pomalé konvergence metody:

Nelder-Meadova metoda - obecně Nazývá se také simplexová metoda. Základní myšlenka: N-rozměrným prostorem se pohybuje jistý objekt („améba“), který se může natahovat nebo zkracovat v různých směrech. Několik typů takových transformací má zajistit, aby se objekt posouval směrem do „údolí“ a po dosažení dna údolí se „plazil“ co nejkratší cestou k lokálnímu minimu.

Nelder-Meadova metoda - obecně II Simplex: V N-rozměrném prostoru je „améba“ definována jako simplex s N+1 vrcholy s neprázdným obsahem, tj. jde o konvexní obal tvořený N+1 body. Zápis simplexu: S = {p 1, p 2,..., p N }, kde p i  R N Příklady simplexů: R:R 2 :R 3 :

Nelder-Meadova metoda - transformace Reflexe: Bod p i, který má největší funkční hodnotu se přemístí (odzrcadlí) na druhou stranu simplexu, tj. k bodu p i se přičte dvojnásobek rozdílu mezi p i a průměrem ostatních bodů.

Nelder-Meadova metoda - transformace II Reflexe a prodloužení: Totéž jako v předchozím případě, až na to, že simplex je prodloužen v novém směru (tj. přičítá se více než dvojnásobek rozdílu mezi nejhorším bodem a průměrem ostatních).

Nelder-Meadova metoda - transformace III Kontrakce: Nejhorší bod se přiblíží k průměru ostatních. To je vhodné v případě, kdy má „améba“ projít úzkým údolím.

Nelder-Meadova metoda - začátek výpočtu Na začátku výpočtu se simplex nejčastěji definuje takto: kde: i = 1,..., N p 0 pevně zvolený (počáteční) bod e i jednotkové vektory konstanta, odrážející odhad měřítka optimalizačního problému (např. šířku „údolí“)

Nelder-Meadova metoda - ukončení výpočtu Metoda končí, pokud: –Není dosaženo výrazného snížení hodnoty studované funkce –simplex se v některém cyklu prakticky nezmění

Nelder-Meadova metoda - zhodnocení Výhody: –Jednoduchá implementace –Rychlý výpočet 1 iterace –Rychlá konvergence v oblastech daleko od minima Nevýhody: –Pomalá konvergence v oblasteh poblíž minima –Může nastat situace, že výpočet neskončí v lokálním minimu

Nelder-Meadova metoda - příklad aplikace

Metoda největšího spádu -obecně Anglicky označována steepest descent method. Princip: Vydat se směrem, ve kterém studovaná funkce nejrychleji klesá. Tedy ve směru -  f(x), kde x je bod, ve kterém se výpo è et práv ì nachází.

Metoda největšího spádu -obecně II Algoritmus: zvolíme výchozí bod x (0) k-tá iterace: bod x (k+1) vypočítáme z bodu x (k) pomocí vztahu: x (k+1) = x (k) - .g (k), kde: -g (k) zjednodušený zápis -  f(x (k) ), určuje směr přesunu z bodu x (k)  koeficient, popisující délku daného přesunu

Metoda největšího spádu - volba  v metodě největšího spádu Z bodu x (k) se přesunujeme po polopřímce: x(  ) = x (k) + .x (k),kde  > 0 Hodnotu funkce f na této polop ø ímce popisuje funkce  (  ):  (  ) = f(x(  )) Je zřejmé, ž e musíme zvolit takové  , aby platilo: f(x (k) )  f(x (k+1) ),kde x (k+1) = x(   ) pro dostatečný počet iterací. Poznámka: „Dostateèný počet“ = dostačuje k tomu, aby metoda konvergovala k minimu ().

Metoda největšího spádu zhodnocení Výhody: Implementačnì jednoduché Nízká prostorová složitost Nevýhody: Velmi pomalá konvergence (speciálně v oblastech malého spádu => nízkých hodnot gradientu). Chyby, způsobené zaokrouhlením. Mohou vést i k tomu, že se výpočet vůbec nedostane rozumně blízko k minimu. Ale při (ideální) přesné aritmetice metoda konverguje vždy k nějakému lokálnímu minimu.

Spádové metody - obecně Jsou založeny na stejném principu jako metoda největšího spádu: x (k+1) = x (k) +  (k).s (k), kde: s (k) je směr přesunu z bodu x (k), nejčastěji jako směr volíme -g (k)  (k) koeficient, popisující délku daného přesunu Využívají sofistikovanější metody k určení koeficientu . Hodnota koeficientu  je různá pro každou iteraci.

Metody konjugovaných gradientů - obecně = metody sdružených gradientů = conjugate gradient method = speciální případ metod sdružených směrů Základní myšlenka: Pro určení směru přesunu z bodu x (k) do bodu x (k+1) se využívají nejen hodnotu g (k+1), ale rovněž hodnotu g (k). (V obecném případě je možno využít hodnot g (1), g (2),..., g (k), g (k+1). ) Zdůvodnění: Spojení informací o současném a předchozím sklonu studované funkce umožňuje rychlejší sestup do minima (zlepšení konvergence na plochých oblastech).

Metody konjugovaných gradientů - algoritmus Výpočet x (k+1) : x (k+1) se určuje pomocí stejného vztahu jako u spádových metod: x (k+1) = x (k) +  (k).s (k) [2.1] kde: s (k) směr přesunu z bodu x (k)  (k) koeficient, popisující délku daného přesunu

Metody konjugovaných gradientů - algoritmus II Výpočet s (k+1) : s (k+1) se vypočte pomocí gradientu g (k+1) a směru s (k). (Přičemž s (k) byl vypočítán pomocí předchozích hodnot gradientů...). Konkrétně: s (k+1) = -g (k+1) +  (k).s (k) [2.2] Kde  (k) je koeficient, který určuje míru vlivu směru přesunu v kroku k (s (k) ) na směr přesunu v následujícím kroku (s (k+1) ). Výpočet s (0) : s (0) = -g (0)

Metody konjugovaných gradientů - algoritmus III Výpočet  (k+1) : Existuje více možností, jak volit číslo  (k+1). –Hestenes a Stiefel (1952): –Polak a Ribiere (1969): –Fletcher a Reeves (1963):

Newtonovské metody - klasická Newtonova metoda Konstruuje x (k+1) přímo pomocí H (k). V k-ém kroku Newtonovy metody se pak provedou následující operace: a) Najdi řešení  (k) rovnice H (k).  (k) = -g (k) b) Polož x (k+1) = x (k) +  (k)

Newtonovské metody - klasická Newtonova metoda II Nejčastějším postupem, jak získat  (k) je tento:  (k) = - (H (k) ) -1. g (k) Pro x (k+1) tedy platí: x (k+1) = x (k) - (H (k) ) -1. g (k)

Newtonovské metody - klasická Newtonova metoda III Příklad: funkce: f(x, y) = x 2 + 2y 2 bod: x (0) = (9, 9) gradient v bodě x (0) : g (0) = (18, 36) T hessian v bodě x (0) : inverzní hessian: bod x (1) :

Minima v PES - Quasi-Newtonova metoda I Při využití Newton-Raphsonovy metody je nejvíce výpočetně náročné určení inverzního hessianu. Tento krok lze obejít a místo inverzního hessianu použít sérii matic, které se mu limitně blíží: Pro funkci f tedy platí: x k+1 = x k – H´ k.g k kde: g k je gradient H´ k je aproximace inverzního hessianu pro krok k výpočtu

Minima v PES - Quasi-Newtonova metoda II Pro výpočet aproximací inverzního hessianu se používají následující metody: DFP (Davidon-Fletcher-Powell) BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) MS (Murtaugh-Sargent) Další DFP:

Tranzitní stavy v PES -definice Chemický význam tranzitních stavů: Mějme na PES dvě minima (jedno odpovídá molekule M1 a druhé molekule M2), pak tranzitní stav mezi M1 a M2 popisuje souřadnice aktivního komplexu pro reakci M1  M2. Neformální definice tranzitního stavu: Nejvyšší bod na nejkratším (energeticky nejméně náročném) přechodu mezi dvěma minimy. Formální definice tranzitního stavu: Bod A je tranzitním stavem PES, pokud je v tomto bodě gradient funkce f nulový, jedna vlastní hodnota hessiánu záporná a ostatní kladné.

Tranzitní stavy v PES - definice: chemická reakce Chemická reakce: Děj, při němž některé vazby mezi atomy v molekulách výchozích látek zanikají a vytvářejí se nové vazby a tedy i molekuly nových látek - produktů reakce. Teorie aktivovaného komplexu: Popisuje chemickou reakci z energetického a geometrického hlediska.

Tranzitní stavy v PES - definice: chemická reakce II Reakční koordináta: Souřadnice, podél níž se zúčastněné částice při reakčním kroku „posunují“. Má též význam míry (procenta) uskutečnění daného elementárního děje. Graf reakce: Příklad reakčního schématu:

Tranzitní stavy v PES - definice: chemická reakce III Na počátku reakce jsou přítomny pouze reaktanty A a B. V průběhu reakce přicházejí molekuly A a B do kontaktu, mění se jejich prostorové uspořádání a začíná výměna nebo uvolňování atomu případně atomů. Postupně se formují nové vazby a zeslabují původní vazby, kterých se týká reakční změna. Potenciální energie roste, až dosáhne svého maxima.

Tranzitní stavy v PES - definice: chemická reakce IV Bod na reakční křivce, ve kterém je E pot maximální, se nazývá tranzitní stav. Molekulový systém, jehož souřadnice odpovídají energetickému maximu, se nazývá aktivní komplex. Poté se začínají původní vazby rozpadat a nové se zpevňují, tím se aktivní komplex přeměňuje na molekuly produktu. V průběhu tohoto procesu E pot klesá. Pro samovolné reakce platí: E pot (produktů) < E pot (reaktantů)

Tranzitní stavy v PES - definice: chemická reakce V Příklad grafu reakce (CH 3 Br + OH -) :

Tranzitní stavy v PES - PES molekulového systému PES pro každý molekulový systém zároveň obsahuje informace i o všech molekulových systémech, izomerních s tímto molekulovým systémem. Pro každý systém s definovaným počtem elektronů a počtem a typem atomů existuje specifická PES.

Tranzitní stavy v PES - PES molekulového systému II Příklad: Systém, obsahující 2 atomy H a 2 elektrony Izomerní molekulové systémy (lokální minima PES): H, H+, e- 2H+,2e- H+, H- 2H H-H Globální minimum systému: H-H

Tranzitní stavy v PES - PES a chemická reakce Reaktanty a produkty chemické reakce jsou v rámci PES sousedními lokálními minimy. Reakční koordináta je v PES nejkratší cestou z minima, odpovídajícího reaktantům do minima, odpovídajícího produktům. V PES se označuje IRC (intrinsic reaction coordinate).

Tranzitní stavy v PES - PES a chemická reakce II Význam tranzitních stavů: Studium mechanizmu chemické reakce: –Struktura aktivního komplexu –Potenciální energie aktivního komplexu –Průběh reakční koordináty Nalezení reakčních cest mezi dvěma nesousedícími minimy

Tranzitní stavy v PES - vyhledávání Nejčastěji se používají tyto metody: –Linear synchronous transit (LST) –Quadratic synchronous transit (QST) –Saddle optimization method (SOM) –Locally updated planes (LUP) –Self penalty walk (SPW)

Tranzitní stavy v PES - vyhledávání II Všechny vyhledávací metody jsou založeny na předpokladu, že známe souřednice reaktantů (R) a produktů (P). Tranzitní stav (TS) je lokalizován „někde mezi“ R a P. Metody se liší pouze tím, jakou používají interpolaci. Linear synchronous transit (LST) : Vytvoří úsečku z R do P. Vypočítá E pot pro některé body (= souřadnice atomů) této úsečky. Jako TS označí ten bod úsečky, pro který je hodnota E pot největší.

Tranzitní stavy v PES - vyhledávání III Quadratic synchronous transit (QST) : Nejdříve pracuje stejně jako LST. Z bodů R, P a TS sestrojí parabolu. Na této parabole vyhledává opět maximum E pot (nový TS). Saddle optimization method (SOM): Vychází ze struktur P a R. Zkouší na základě R podle vzoru P vygenergovat mezistrukturu (s co největší E pot ), která se velmi podobá R, ale obsahuje již malé strukturní změny směrem k P. Touto strukturou R  poté nahradí R. Analogicky nalezne pro P odpovídající P 2 a tím P nahradí. Opakuje tento proces až do splnění konvergenčních podmínek.

Tranzitní stavy v PES - vyhledávání IV Locally updated planes (LUP) : Na spojnici R a P nalezne maximum a toto maximum relaxuje: Při relaxaci využívá kolmici k nadrovině nalezeném maximu. Self penalty walk (SPW): Reakční cesta je vyhledávána pomocí minimalizace průměrné energie podél dané cesty. Tato energie se vypočte ze vztahu: kde: L je celková délka cesty dl(x) je délkový element této cesty

Globální minimum v PES - definice a význam Definice: Lokální minimum s nejmenší hodnotou E pot. Chemický význam: Nejstabilnější uspořádání atomů a elektronů daného systému => Má nejvyšší pravděpodobnost výskytu v reálném chemickém prostředí.

Globální minimum v PES - vyhledávání Metody prohledávání PES: –Systematické prohledávání (grid search) –Molekulová dynamika –Stochastické a Monte Carlo metody –Genetické algoritmy –Difuzní metody

Globální minimum v PES - vyhledávání II Systematické prohledávání (grid search): Proloží hyperplochou mřížku a v jejích vrcholech vypočítá E pot. Tak zmapuje polohy lokálních minim a mezi nimi pak najde globální minimum. Molekulová dynamika Viz předposlední přednáška :-).

Globální minimum v PES - vyhledávání III Stochastické a Monte Carlo metody : Začínají v nějaké vstupní geometrii (nejčastěji v lokálním minimu. Nové konfigurace generují náhodným posunem jednoho nebo více atomů (random kick). Genetické algoritmy: Základní myšlenkou je, že existují „populace“ objektů, z nichž každý má svou „množinu genů“. „Rodičovské“ objekty mohou tvořit „potomky“ kombinací svých genů (přičemž může docházet i k mutacím). Nejplodnější jedinci z populace jsou vybíráni a přenášeni do další generace. Tito jedinci jsou také „nejplodnější“.

Globální minimum v PES - vyhledávání III Difuzní metody : Potenciálová funkce je postupně měněna tak, že ubývají lokální minima, až zaniknou všechna s vyjímkou globálního. Jsou prováděny například změny: –příspěvky ve směru kolmém k hyperploše => pro minima vzrůstá energie a pro maxima a sedlové body energie klesá

Literatura k MM Leach A.R.: Molecular modelling. Longman (1996) Jensen F.: Computational chemistry. Wiley (1999) Grant G.H., Richards W.G.: Computational chemistry. Oxford university press (1995) Klikorka J., Hájek B., Votinský J.: Obecná a anorganická chemie. SNTL (1989)