„Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“. Tento digitální učební materiál (DUM) vznikl na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“. ANALYTICKÁ GEOMETRIE METRICKÉ VZTAHY ÚTVARŮ V ROVINĚ Autor: Mgr. Kateřina Šigutová Zpracováno: 11.2.2014 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Metrické vztahy v rovině Vzdálenost bodu od přímky P měříme na kolmici vzdálenost A od paty kolmice na p 𝒗 𝐴 𝑚;𝑛 𝑣 𝐴;𝑝 = 𝑎𝑚+𝑏𝑛+𝑐 𝑎 2 + 𝑏 2

Metrické vztahy v rovině Vzdálenost rovnoběžek P 𝒗 P 𝑚;𝑛 𝑣 𝑃;𝑞 = 𝑎𝑚+𝑏𝑛+𝑐 𝑎 2 + 𝑏 2

Metrické vztahy v rovině Odchylka přímek ? cos = 𝑠 𝑝 ∙ 𝑠 𝑞 𝑠 𝑝 ∙ 𝑠 𝑞 𝑠 𝑝 ∙ 𝑠 𝑞 Odchylka přímek je ten menší z úhlů, který přímky svírají. <𝟗𝟎  !

Vzdálenost bodu od přímky – úloha 1 Urči vzdálenost bodu A 𝟏;−𝟏 od přímky p:𝒙=𝟐+𝟑𝒕; 𝒚=−𝟏−𝒕;𝒕∊𝑹 převod do obecného tvaru - 𝑛 𝑝 ; P ∊𝒑 𝑣 𝐴;𝑝 = 𝑎𝑚+𝑏𝑛+𝑐 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑣 𝐴;𝑝 = 1+3∙ −1 +1 1 2 + 3 2 𝑣 𝐴;𝑝 = 𝟏 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎 𝟏𝟎 výpočet vzdálenosti 𝑠 𝑝 = 𝟑;−𝟏 𝑛 𝑝 =(𝟏;𝟑) P 𝟐;−𝟏 𝒙+𝟑𝒚+𝒄=𝟎 P∊𝒑: 𝟐+𝟑∙ −𝟏 +𝒄=𝟎 𝒄=𝟏 𝒑: 𝒙+𝟑𝒚+𝟏=𝟎

Vzdálenost bodu od přímky – úloha 2 Urči souřadnice bodu A 𝟏;𝒑 tak, aby jeho vzdálenost od přímky𝒑: 𝒙+𝟑𝒚+𝟏=𝟎 byla 3j. výpočet vzdálenosti odstranění odmocniny 𝑣 𝐴;𝑝 = 𝑎𝑚+𝑏𝑛+𝑐 𝑎 2 + 𝑏 2 3 = 1+3∙𝑝+1 1 2 + 3 2 3 10 = 2+3𝑝 3 10 = 2+3𝑝 9∙10= 2+3𝑝 2 90=4+12𝑝+9 𝑝 2 9 𝑝 2 +12𝑝−86=0 𝐷=3240 /^2 𝑝 1 =2,5; 𝑝 2 =−3,8

Vzdálenost rovnoběžek – úloha 1 Urči vzdálenost přímek 𝒑: 𝒙+𝟑𝒚+𝟏=𝟎 a q:𝒙+𝟑𝒚+𝟒=𝟎 vzdálenost rovnoběžek  vzdálenost bodu jedné přímky od přímky druhé bod na přímce p výpočet vzdálenosti 𝑣 𝑃;𝑞 = 𝑎𝑚+𝑏𝑛+𝑐 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑣 𝑃;𝑞 = 0+3∙ − 1 3 +4 1 2 + 3 2 𝑣 𝑃;𝑞 = 𝟑 𝟏𝟎 = 𝟑 𝟏𝟎 𝟏𝟎 P∊p: 𝟎;𝒑 𝒑: 𝒙+𝟑𝒚+𝟏=𝟎 𝟎+𝟑𝒑+𝟏=𝟎 𝒑=− 𝟏 𝟑

Vzdálenost rovnoběžek – úloha 2 Urči parametr c tak, aby vzdálenost přímek 𝒑: 𝒙+𝟑𝒚+𝟏=𝟎 a q:𝟐𝒙+𝟔𝒚+𝒄=𝟎 byla 𝟑 𝟏𝟎 𝟐 bod na přímce p vzdálenost 𝒗 𝑷;𝒒 = 𝒂𝒎+𝒃𝒏+𝒄 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝟑 𝟏𝟎 𝟐 = 𝟎+𝟔∙ − 𝟏 𝟑 +𝒄 𝟐 𝟐 + 𝟔 𝟐 𝟔𝟎=𝟐 −𝟐+c −𝟐+𝒄=𝟑𝟎∨𝟐−𝒄=𝟑𝟎 𝒄 𝟏 =𝟑𝟐; 𝒄 𝟐 =−𝟐𝟖 P∊p: 𝟎;𝒑 𝒑: 𝒙+𝟑𝒚+𝟏=𝟎 𝟎+𝟑𝒑+𝟏=𝟎 𝒑=− 𝟏 𝟑 /∙2 40

Odchylka přímek – úloha 1 Urči odchylku přímek 𝐩: 𝟑𝒙−𝟐𝒚+𝟏=𝟎 a 𝒒: 𝟑−𝟐𝒕;𝟏+𝒕;𝒕∈𝑹 směrové vektory 𝒏 𝒑 = 𝟑;−𝟐 𝒔 𝒑 = 𝟐;𝟑 𝒔 𝒒 = −𝟐;𝟏 𝒔 𝒑 = 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 = 𝟏𝟑 𝒔 𝒒 = −𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟓 odchylka 𝒄𝒐𝒔 = 𝒔 𝒑 ∙ 𝒔 𝒒 𝒔 𝒑 ∙ 𝒔 𝒒 𝒄𝒐𝒔= 𝟐∙ −𝟐 +𝟑∙𝟏 𝟏𝟑 ∙ 𝟓 𝒄𝒐𝒔= 𝟏 𝟔𝟓 = 𝟔𝟓 𝟔𝟓 𝒄𝒐𝒔=𝟎,𝟏𝟐𝟒 =𝟖𝟐𝟓𝟐´

Odchylka přímek – úloha 2 Urči parametr b tak, aby dané přímky měly odchylku 45. 𝒑:𝒙−𝒚−𝟏=𝟎;𝒒:𝟑𝒙+𝒃𝒚−𝟑=𝟎 normálové vektory 𝒏 𝒑 = 𝟏;−𝟏 𝒏 𝒒 = 𝟑;𝒃 𝒏 𝒑 = 𝟏 𝟐 + (−𝟏) 𝟐 = 𝟐 𝒏 𝒒 = 𝟑 𝟐 + 𝒃 𝟐 = 𝒃 𝟐 +𝟗 odchylka 𝒄𝒐𝒔 = 𝒏 𝒑 ∙ 𝒏 𝒒 𝒏 𝒑 ∙ 𝒏 𝒒 𝟐 𝟐 = 𝟏∙𝟑+(−𝟏)∙𝒃 𝟐 ∙ 𝒃 𝟐 +𝟗 𝟐 𝟐 = 𝟑−𝒃 𝟐 𝒃 𝟐 +𝟏𝟖 𝟒 𝒃 𝟐 +𝟑𝟔 =𝟐 𝟑−𝒃

Odchylka přímek – úloha 2 Urči parametr b tak, aby dané přímky měly odchylku 45. 𝒑:𝒙−𝒚−𝟏=𝟎;𝒒:𝟑𝒙+𝒃𝒚−𝟑=𝟎 odchylka 𝒄𝒐𝒔 = 𝒏 𝒑 ∙ 𝒏 𝒒 𝒏 𝒑 ∙ 𝒏 𝒒 𝟐 𝟐 = 𝟏∙𝟑+(−𝟏)∙𝒃 𝟐 ∙ 𝒃 𝟐 +𝟗 𝟐 𝟐 = 𝟑−𝒃 𝟐 𝒃 𝟐 +𝟏𝟖 𝟒 𝒃 𝟐 +𝟑𝟔 =𝟐 𝟑−𝒃 𝟒 𝒃 𝟐 +𝟑𝟔=𝟒 𝟗−𝟔𝒃+ 𝒃 𝟐 𝟒 𝒃 𝟐 +𝟑𝟔=𝟑𝟔−𝟐𝟒𝒃+𝟒 𝒃 𝟐 𝒃=𝟎 𝒒:𝟑𝒙−𝟑=𝟎 𝒙=𝟏 /^2

Použité zdroje: POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999, 626 s. ISBN 80-719-6166-3. KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: analytická geometrie. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 187 s. ISBN 80-719-6120-5.   PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3. .