Planarita a toky v sítích

Slides:



Advertisements
Podobné prezentace
Grafové algoritmy.
Advertisements

DOTAZOVACÍ JAZYKY slajdy přednášce DBI006
Komplexní čísla. Komplexní číslo je uspořádaná dvojice [x, y], kde číslo x představuje reálnou část a číslo y imaginární část. Pokud je reálná část nulová,
PLANARITA A TOKY V SÍTÍCH
Utvořte negaci výroku, a to bez použití záporu.
Diskrétní matematika Opakování - příklady.
Aplikace teorie grafů Základní pojmy teorie grafů
Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/ Úvod do teorie grafů.
Základy infinitezimálního počtu
Teorie čísel Nekonečno
CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ
KRUŽNICE.
autor: RNDr. Jiří Kocourek
59. ročník MO Soustředění řešitelů Kategorie A
Úvod do Teorie množin.
LOGISTICKÉ SYSTÉMY 7/14.
Stereometrie Řezy hranolu I VY_32_INOVACE_M3r0108 Mgr. Jakub Němec.
Základní číselné množiny
TI 6.1 STROMY A KOSTRY Stromy a kostry. TI 6.2 Stromy a kostry Seznámíme se s následujícími pojmy: kostra grafu, cyklomatické číslo grafu, hodnost grafu.
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
TI 7.1 NEJKRATŠÍ CESTY Nejkratší cesty - kap. 6. TI 7.2 Nejkratší cesty z jednoho uzlu Seznámíme se s následujícími pojmy: w-vzdálenost (vzdálenost na.
ORIENTOVANÉ GRAFY V této části se seznámíme s následujícími pojmy:
Formulace a vlastnosti úloh lineárního programování
Rovnoběžné promítání. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině.
Stromy.
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona III/2VY_32_INOVACE_763.
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Lukáš Jirovský Teorie grafů – prezentace Bc. Práce Vedoucí práce: RNDr. Pavla Pavlíková, Ph.D.
Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/ Grafové pojmy Projekt učitelé.
VLASTNOSTI GRAFŮ Vlastnosti grafů - kap. 3.
Teorie grafů.
VY_42_INOVACE_407_KRUŽNICE OPSANÁ TROJÚHELNÍKU Jméno autora VMMgr. Václav Hendrych Datum vytvoření VM duben 2012 Ročník použití VM 6. ročník Vzdělávací.
* Kružnice a kruh Matematika – 8. ročník *
Autor: Mgr. Lenka Šedová
Kostra grafu Prohledávání grafu
Množiny.
hledání zlepšující cesty
Vektorové prostory.
Barvení grafů Platónská tělesa
MATEMATIKA Planimetrie - úvod.
autor: RNDr. Jiří Kocourek
Vzájemná poloha tří rovin
Vzájemná poloha dvou kružnic
Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 1 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání stavového prostoruGRA, LS 2013/14, Lekce 11.
Vzájemná poloha dvou rovin
Les, stromy a kostry Kružnice: sled, který začíná a končí ve stejném vrcholu, ostatní vrcholy jsou různé Souvislý graf: mezi každými dvěma vrcholy existuje.
Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 1 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)NP-úplné problémyGRA, LS 2012/13, Lekce 13 1 / 14 NP-ÚPLNÉ.
VLASTNOSTI GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc
STROMY A KOSTRY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc
Jak je to s izomorfismem
GRAFOVÉ ALGORITMY A ZÁKLADY TEORIE SLOŽITOSTI Doc. RNDr
Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 1 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Toky v sítích IIGRA, LS 2013/14, Lekce 10 1 / 35 TOKY V.
Hledání cyklů Komunikační sítě Elektrické obvody Odběr surovin a výrobků v průmyslové výrobě Logistika Chemie ….
MATEMATIKA Největší společný dělitel Nejmenší společný násobek.
Název školy: ZŠ A MŠ ÚDOLÍ DESNÉ, DRUŽSTEVNÍ 125, RAPOTÍN Název projektu: Ve svazkové škole aktivně - interaktivně Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/
CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 23. PŘEDNÁŠKA.
NEJKRATŠÍ CESTY Nejkratší cesty - kap. 6.
POZNÁMKY ve formátu PDF
STROMY A KOSTRY Stromy a kostry - odst. 3.2.
Znázornění dopravní sítě grafem a kostra grafu Předmět: Teorie dopravy - cvičení Ing. František Lachnit, Ph.D.
Maximální propustnost rovinné dopravní sítě
MINIMÁLNÍ KOSTRA V GRAFU
CW-057 LOGISTIKA 43. PŘEDNÁŠKA Teorie grafů – 2 Leden 2017
CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ
Běžné reprezentace grafu
PLANARITA A TOKY V SÍTÍCH
Toky v sítích.
Dělitelnost přirozených čísel
VLASTNOSTI GRAFŮ Vlastnosti grafů - kap. 3.
Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
Transkript prezentace:

Planarita a toky v sítích PLANARITA A TOKY V SÍTÍCH Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2013/2014, Lekce 9 https://edux.fit.cvut.cz/courses/BI-GRA Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita a toky v sítích

Separabilita a planarita Seznámíme se s následujícími pojmy: hranový řez artikulace neseparabilní graf planární graf Eulerova formule základní neplanární grafy homeomorfismus Skripta odst. 3.3, str. 58 – 63

Separabilita a planarita Jak rozdělit graf na dvě části odebráním hran? Hranový řez ... minimální S  H: h(G - S) = h(G) - 1 Artikulace grafu ... u  U: G - {u} má více komponent než G S2 S3 S5 G S1 u S4 G-{Si}

Vlastnosti hranových řezů a artikulací Množina hran incidujících s uzlem u souvislého grafu je jeho hranovým řezem, právě když u není artikulací. Hranový řez obsahuje alespoň jednu větev každé kostry. ? Hranové řezy stromů, kružnic, E-grafů ... ?

Jak hledat hranové řezy? Začneme rozkladem U = U1  U2 takovým, že podgrafy indukované množinami uzlů U1 a U2 jsou souvislé. H = H(U1 x U1)  H(U2 x U2)  H(U1 x U2) Fundamentální soustava hranových řezů / kružnic Neseparabilní graf: pro  G1G : G1 obsahuje aspoň dva uzly  mají G1 a G-G1 alespoň dva uzly společné

Planární grafy Planární graf ... lze nakreslit v rovině bez křížení hran ? Je K4 planární ? ? a co K5? ? a K3,3 ?

|H| - |U| + 2 = r (Eulerova formule) V: Nechť G = H,U,  je (souvislý) planární graf. Potom platí |H| - |U| + 2 = r (Eulerova formule) kde r je počet stěn grafu G (včetně vnější). Jinak řečeno: r = (G)+1 O2 O3 O4 O6 O5 O1 O8 O7 |H| = 19 |U| = 13 r = 8 8 = 19 -13 + 2 Důkaz: indukcí podle r

Vlastnosti planárních grafů Důsledek: Je-li každá stěna planárního grafu ohraničena kružnicí o k hranách, pak |H| = k . (|U|-2) / (k-2) D: r=|H|-|U|+2, r.k = k.|H|-k.|U|+2k = 2.|H|  k.(|U|-2) = |H|.(k-2) Takže: |H|  3 . (|U| - 2) (pro k=3) |H|  2 . (|U| - 2) pokud G neobsahuje K3  planární grafy jsou řídké! K5 a K3,3 jsou neplanární (základní neplanární grafy)

Kuratowského věta V: (Kuratowski) Graf G je planární  neobsahuje podgraf homeomorfní s K5 a K3,3 . Homeomorfismus G1~ G2 ... jsou izomorfní nebo se jimi stanou po provedení půlení hran v jednom nebo obou

Kontrolní otázky 8.8 Charakterizujte neorientovaný graf, jehož každý uzel stupně většího než 1 je jeho artikulací. 8.9 Charakterizujte neorientovaný graf, jehož každý hranový řez je tvořen pouze jednou hranou. 8.10 Dokažte, že každý hranový řez má s každou kostrou grafu alespoň jednu společnou hranu. 8.11 Jak se mohou změnit hodnoty charakteristických čísel hodnost h(G), cyklomatické číslo (G), nezávislost (G), dominance (G) a chromatické číslo (G) pokud v grafu G provedeme rozpůlení jedné hrany? 8.12 Nalezněte neorientovaný graf s co nejmenším počtem hran, který je neplanární a má průměr roven 4. 8.13 Mějme dvojici homeomorfních grafů G1 a G2. Existuje nějaký vztah mezi jejich hodnostmi h(G1) a h(G2) nebo jejich cyklomatickými čísly (G1) a (G2)? 8.14 Určete všechny neizomorfní faktory úplného grafu s pěti uzly K5, které mají tři nebo čtyři hrany a neobsahují žádnou kružnici. Tyto faktory rozdělte do skupin vzájemně homeomorfních grafů. 8.15 Nechť T1 a T2 jsou dva homeomorfní neorientované stromy. Co bude platit pro soubory stupňů těchto dvou stromů?