Gaussův zákon elektrostatiky

úvod Více o elektrickém poli pole některých symetrických nabitých těles jsou vyjádřena jednoduchými vztahy nelze tyto vztahy odvodit podobně jednoduchým způsobem? 𝐸= 𝜏 2𝜋 𝜀 0 𝑦 přímé vlákno nekonečné délky 𝐸= 𝜎 𝜀 0 vodivý povrch 𝐸= 𝑄 4𝜋 𝜀 0 𝑟 2 pole kulové vrstvy pro r > R

objemový tok tekutiny Δ𝜙= 𝑣 ∙Δ 𝑆 Δ 𝑆 Δ𝜙=𝑣Δ𝑆 Δ𝜙=𝑣 cos 𝜃 Δ𝑆 objem tekutiny za 1 s: Δ𝜙=𝑣Δ𝑆 objem tekutiny za 1 s: Δ𝜙=𝑣 cos 𝜃 Δ𝑆 Δ𝜙= 𝑣 ∙Δ 𝑆

tok elektrické intenzity elementem plochy Δ Φ 𝐸 = 𝐸 ∙Δ 𝑆 Φ 𝐸 = 𝐸 ∙Δ 𝑆 tok elektrické intenzity 𝐸 plochou S Φ 𝐸 = 𝑆 𝐸 ∙d 𝑆

tok intenzity několika polí 𝐸 = 𝑖=1 𝑛 𝐸 𝑖 … princip superpozice tok celkové elektrické intenzity 𝐸 plochou S Φ 𝐸 = 𝑆 𝑖=1 𝑛 𝐸 𝑖 ∙d 𝑆 = 𝑖=1 𝑛 𝑆 𝐸 𝑖 ∙d 𝑆 = 𝑖=1 𝑛 Φ 𝐸𝑖

tok vyjádřený počtem siločar 𝜃 𝐸 Δ𝑆 N velikost E intenzity v daném místě je úměrna (∝) hustotě siločar, tj. počtu siločar na jednotku plochy kolmé k siločarám v daném místě: 𝐸∝ Δ𝑁 Δ𝑆 cos 𝜃 Tok intenzity plochou Δ𝑆: Δ Φ 𝐸 =𝐸Δ𝑆 cos 𝜃∝ Δ𝑁 Δ𝑆 cos 𝜃 Δ𝑆 cos 𝜃 =Δ𝑁 celkový tok Φ 𝐸 je úměrný celkovému počtu N průchodů siločar plochou (s příslušnými znaménky) Φ 𝐸 = Δ Φ 𝐸 ∝ Δ𝑁 =𝑁

Gaussův zákon intuitivně Φ 𝐸 = 𝑆 𝐸 ∙d 𝑆 =𝐸𝑆= 𝑄 4𝜋 𝜀 0 𝑟 2 4𝜋 𝑟 2 = 𝑄 𝜀 0 Celkový tok Φ 𝐸 Gaussovou (uzavřenou) plochou je úměrný celkovému počtu N průchodů siločar touto plochou (započtených s příslušnými znaménky)

Gaussův zákon intuitivně Celkový tok Φ 𝐸 Gaussovou (uzavřenou) plochou je úměrný celkovému počtu N průchodů siločar touto plochou (započtených s příslušnými znaménky) Φ 𝐸 = 𝑄 𝜀 0 Φ 𝐸 = 2𝑄 𝜀 0 = 𝑄 celk 𝜀 0

odvození Gaussova zákona 𝑄 d𝜔 𝑟 d𝑆 tok elektrického pole náboje Q plochou d𝑆 vymezenou elementem d𝜔 prostorového úhlu ve vzdálenosti r d Φ 𝐸 =𝐸d𝑆 cos 𝜃 = 𝑄 4𝜋 𝜀 0 𝑟 2 𝑟 2 d𝜔= 𝑄 4𝜋 𝜀 0 d𝜔 tok libovolnou uzavřenou plochou obklopující náboj Q Φ 𝐸 = d Φ 𝐸 = 4𝜋 𝑄 4𝜋 𝜀 0 d𝜔 = 𝑄 𝜀 0 4𝜋 d𝜔 4𝜋 = 𝑄 𝜀 0

Gaussův zákon Φ 𝐸 = 𝑆 𝐸 ∙d 𝑆 = 𝑄 𝜀 0 Pro tok elektrické intenzity 𝐸 libovolnou uzavřenou (Gaussovou) plochou S obklopující celkový náboj Q platí Φ 𝐸 = 𝑆 𝐸 ∙d 𝑆 = 𝑄 𝜀 0

válcová symetrie přímé vlákno nekonečné délky: 𝐸= 𝜏 2𝜋 𝜀 0 𝑟

blesk nábojová hustota elektronů: τ ≈ ‒1⋅10−3 C⋅m−1 ionizace vzduchu nastává při Eion ≈ 3⋅106 N⋅C−1 𝐸= 𝜏 2𝜋 𝜀 0 𝑟

rovinná symetrie nevodivá rovinná plocha: 𝐸= 𝜎 2 𝜀 0

nabitý izolovaný vodič vodič obsahuje volně pohyblivý náboj, z toho důvodu: elektrická intenzita uvnitř vodiče v ustáleném stavu je vždy nulová

nabitý izolovaný vodič elektrická intenzita uvnitř vodiče v ustáleném stavu je vždy nulová Jestliže na izolovaný vodič přivedeme z vnějšku náboj, pak se všechen rozmístí na vnějším povrchu vodiče. Uvnitř vodiče nezůstane žádný volný náboj.

experimentální důkaz M is an insulated, charged metal sphere, N and N' are hemispherical shells with insulated handles into which M fits. If you place N and N' over M, so that they form a sphere as a metal skin and then remove again N and N', M is unloaded and the charge on N and N' equals the initial charge on M.

Henry Cavendish The torsion balance experiment of Henry Cavendish who in 1797 was the first to experimentally measure the gravitational constant G. (Courtesy of the Journal of Measurement and Technology.)‏

povrch nabitého vodiče vodivý povrch: 𝐸= 𝜎 𝜀 0

průchod nabitou vrstvou při průchodu tenkou vrstvou náboje s plošnou hustotou σ … nevodivá plocha: 𝐸= 𝜎 2 𝜀 0 vodivý povrch: 𝐸= 𝜎 𝜀 0 … vzroste intenzita elektrického pole o 𝜎 𝜀 0

dvě vodivé desky 𝐸 1 = 𝜎 1 𝜀 0 𝐸= 2𝜎 1 𝜀 0 = 𝜎 𝜀 0 vodivý povrch: 𝐸 1 = 𝜎 1 𝜀 0 mezi vodivými deskami: 𝐸= 2𝜎 1 𝜀 0 = 𝜎 𝜀 0

kulová symetrie (kulová slupka) r > R: 𝐸= 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑟 2 r < R: 𝐸=0

kulová symetrie (koule) r > R: 𝐸= 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄 𝑟 2 𝑄= 0 𝑅 𝜌 𝑟 ′ 4𝜋 𝑟′ 2 d𝑟′ r < R: 𝐸= 1 4𝜋 𝜀 0 𝑄(𝑟) 𝑟 2 𝑄(𝑟)= 0 𝑟 𝜌 𝑟 ′ 4𝜋 𝑟′ 2 d𝑟′

příklad (koule)

kontrolní otázky

kontrolní otázky

Gaussova-Ostrogradského věta Ω 𝜕Ω 𝜕Ω 𝐴 ∙d 𝑆 = Ω div 𝐴 d𝑉 div 𝐴 = 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 Gaussův zákon: 𝜕Ω 𝐸 ∙d 𝑆 = 1 𝜀 0 Ω 𝜌d𝑉 𝑄 Ω div 𝐸 d𝑉 = 1 𝜀 0 Ω 𝜌d𝑉 Ω div 𝐸 − 𝜌 𝜀 0 d𝑉 =0 div 𝐸 = 𝜌 𝜀 0 libovolné