Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ IV/ PRŮBĚH FUNKCE II: KONVEXNOST – INFLEXNÍ BODY MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová Zpracováno dne

Co už byste měli znát Průběh funkce II 2  Limita funkce v bodě  Asymptota a tečna grafu funkce  Derivace elementárních funkcí  Monotónnost, lokální extrémy a 1. derivace  Vlastnosti elementárních funkcí  Úprava výrazů

Konvexnost a konkávnost Průběh funkce II 3 x y f a x2x2 x1x1 0 x y b konkávní konvexní graf vždy POD tečnou graf vždy NAD tečnou

Konvexnost a konkávnost Průběh funkce II 4 x y f a 0 x y b konkávní konvexní I x0x0 = inflexní bod konkávní konvexní f´´(x 0 ) = 0 f´´(x 1 ) < 0 f´´(x 2 ) > 0 x2x2 x1x1

Úloha 1 Průběh funkce 5 Urči intervaly, ve kterých je funkce f: y = (x + 2) 3 konvexní a konkávní. 1. f´(x) = 3(x + 2) 2 2. f´´(x) = 6(x + 2) 3. f´´(x) = 0 6(x + 2) = 0 x = −2 Bod −2 je podezřelý z inflexe.

Úloha 1 Průběh funkce 6 Urči intervaly, ve kterých je funkce f: y = (x + 2) 3 konvexní a konkávní. f´´(x) > 0 Funkce je konvexní v intervalu (−2,  ). 4. x > −2 6(x + 2) > 0 f´´(x) < 0 Funkce je konkávní v intervalu (− , −2,). 5. x < −2 6(x + 2) < 0

Úloha 2 Průběh funkce 7 Zjisti, pro která x  R má funkce y = x 4 − x 3 inflexní body. 1. f´(x) = 4x 3 – 3x 2 2. f´´(x) = 12x 2 – 6x 3. f´´(x) = 0 12x(x – 0,5) = 0 x 1 = 0 Body 0 a 0,5 jsou podezřelé z inflexe. x 2 = 0,5

Úloha 2 Průběh funkce 8 Zjisti, pro která x  R má funkce y = x 4 − x 3 inflexní body. f´´(x) > 0 4. x  (-  ; 0) Funkce má právě dva inflexní body I 1 = [0, 0] a I 2 = [0,5; −0,0625] x  (0; 0,5) f´´(x) < 0 x  (0,5;  ) f´´(x) >0

Použitá literatura Literatura JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Československá akademie věd, ISBN HRUBÝ, Dag. Matematika pro gymnázia: Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 1997, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN Průběh funkce

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ SOUBOR PREZENTACÍ MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA