Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ IV/ PRŮBĚH FUNKCE – MONOTÓNNOST – EXTRÉMY MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová Zpracováno dne

Co už byste měli znát Průběh funkce 2  Limita funkce v bodě  Asymptota a tečna grafu funkce  Derivace elementárních funkcí  Vlastnosti elementárních funkcí  Úprava výrazů

Monotónnost funkce Průběh funkce 3 x y f a x2x2 x1x1 0 x y b

Monotónnost funkce Průběh funkce 4 0 x y f a b x2x2 x1x1 φ 1. x  (a, x 1 )  Funkce je rostoucí.  Směrový úhel tečny je ostrý.  Směrnice tečny je kladná.  Derivace funkce v (a, x 1 ) je kladná.  x  (a, x 1 ): f´(x) > 0  f je rostoucí.  x  (a, x 1 ): f´(x) > 0  f je rostoucí. x Výše uvedené platí i pro interval (x 2, b).

Monotónnost funkce Průběh funkce 5 x y f a x2x2 x1x1 φ 2. x  (x 1, x 2 )  Funkce je klesající.  Směrový úhel tečny je tupý.  Směrnice tečny je záporná.  Derivace funkce v (x 1, x 2 ) je záporná.  x  (x 1, x 2 ): f´(x) < 0  f je klesající.  x  (x 1, x 2 ): f´(x) < 0  f je klesající. 0 x y b x

Úloha 1 Průběh funkce 6 Urči intervaly monotónnosti funkce f: y = (x − 2) 2. f 2 0 x y 4 1. f´(x) = 2(x − 2) f´(x) > (x − 2) > 0 x > 2 Funkce je rostoucí v intervalu (2,  ).

Úloha 1 Průběh funkce 7 Urči intervaly monotónnosti funkce f: y = (x − 2) 2. f 2 0 x y 4 1. f´(x) = 2(x − 2) f´(x) < (x − 2) < 0 x < 2 Funkce je klesající v intervalu (− , 2).

Extrémy funkce Průběh funkce 8 x y f a x2x2 x1x1 0 x y b  Směrové úhly tečen grafu funkce v bodech x 1 a x 2 jsou nulové.  Směrnice tečen jsou rovny nule.  1. derivace funkce v x 1, x 2 je nulová. f´(x) > 0 f´(x) < 0 f´(x) > 0 V případě existence lokálních extrémů mění derivace funkce v nulových bodech znaménko.

Funkce má v bodě x 1 ostré lokální maximum. Extrémy funkce Průběh funkce 9 x i :  nulové body  stacionární body  body „podezřelé z extrémů f´(x i ) = 0 Funkce má v bodě x 2 ostré lokální minimum. x y f a x2x2 x1x1 0 x y b

Extrémy funkce Průběh funkce 10 x y f a x2x2 x1x1 0 x y b Funkce má v bodě x 2 ostré lokální minimum, f´(x 2 ) =  ALE Lokální extrémy může mít funkce jen v těch bodech, ve kterých:  je 1. derivace = 0  derivace neexistuje

Použitá literatura Literatura JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Československá akademie věd, ISBN HRUBÝ, Dag. Matematika pro gymnázia: Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 1997, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN Průběh funkce

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ SOUBOR PREZENTACÍ MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA