CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 11. PŘEDNÁŠKA Březen 2009

lineárního programování. ….. METODY ŘEŠENÍ patřící do oblasti lineárního programování. ☺ POKRAČOVÁNÍ

Simplexová metoda Vychází z metody řešení soustavy lineárních rovnic - patří v matematice k nejpropracova- nějším. Obecný postup je založen na nume- rickém řešení soustavy lineárních rovnic a nerovnic. Vypracována americkým matematikem G. B. Datzingem v roce Simplexová metoda Březen 2009

Je to metoda iterační využívající Gauss-Jor- danovu eliminační metodu doplněnou o dvě kritéria umožňující nalézt optimální řešení. Nechť je soustava lineárních rovnic zapsána v maticovém tvaru: A * x = b Simplexová metoda Březen 2009

Řešení musí splňovat tyto podmínky: * musí být nezáporné, tj. x* ≥ 0 * musí maximalizovat lineární formu L (x) – musí platit, že: L (x*) ≥ L (x) pro všechna ostatní řešení x dané soustavy. Simplexová metoda Březen 2009

Ve výše uvedených vztazích platí, že: x = ( x 1, x 2, x 3,......, x n ) T je vektor proměnných. Matice A je typu (m,n) pro m < n a platí předpoklad, že: h(A) = h(Ar) = m a úloha LP je nedegenerovaná. Simplexová metoda Březen 2009

matice sou- stavy nebo matice koef. proměnných Dále pro matici A platí, že je to matice sou- stavy nebo matice koef. proměnných Simplexová metoda Březen 2009 a 11 a a 1n A = ( a 1, a 2, a 3,......, a n ) = ………. a m1 a m2... a mn b = ( b 1, b 2, b 3,......, x n ) T... vektor hodnot pravých stran ( A │ b )... je tzv. rozšířená matice soustavy

Nejzajímavější budou ta řešení, která jsou zároveň krajními body množiny: S = { x │ A * x = b, x ≥ 0 } pokud existuje bod x 0 splňující rovnost A * x 0 = b pak lze pomocí Gauss-Jordanovy eliminace nalézt (vypočítat) další řešení x 1, x 2, atd. – těchto řešení je konečný počet. Simplexová metoda Březen 2009

Dále se spočte funkční hodnota L(x k ) u kaž- dého základního řešení x k … pro k = 1, 2, … q ≤ číslo n nad m po projití všech základních řešení, tj. všech krajních bodů množiny S, lze z nich elimino- vat nejvyšší hodnotu L(x k ) … pro k = 1, 2, … q ≤ číslo n nad m Simplexová metoda Březen 2009

x N - což je výsledek řešení zadané úlohy. Pokud je označen příslušný index k = N, je nejvyšší hodnotou hodnota L(x N ) a optimál- ním řešením je bod x N - což je výsledek řešení zadané úlohy. Problémem je nalézt výchozí základní řešení x 0 – řešením je vynucená úloha pro bi > 0, kde i = 1, 2, …, m. Simplexová metoda Březen 2009

Další problém – q číslo n nad m z předcho- zích vztahů může být obrovské – např. pro n = 50 a m = 50 bude mít číslo hodnotu q = 4,7129 * a popsaný postup nezvládnou ani superpo- čítače. Je zřejmé, že je to použitelné pro velmi malé hodnoty n a m. Simplexová metoda Březen 2009

Ruční výpočet simplexové metody Ruční výpočet simplexové metody probíhá v simplexové tabulce – představuje rozšíře- nou matici soustavy lineárních rovnic. Je potřeba zajistit, aby pravá strana rovnic byla nezáporná. Rovněž může být vyžita doplňková proměnná typu rezerva. Simplexová metoda Březen 2009

Test optimality využívá kriteriálních hodnot (z r – c r ) min nebo (z r – c r ) max které při nabytí nulových hodnot signalizují, že test končí a že optimální hodnoty bylo dosaženo. Následující test přípustnosti zase vypočí- tává hodnoty Ω min (k). Simplexová metoda Březen 2009

Simplexová metoda – tabulka (obecně) Březen 2009 x 1 x 2... x n c 1 c 2... c n Ω min (k) x B1 c B1 x B2 c B2.... x Bm c Bm Ab β B1 / α B1 β B2 / α B2.... β Bm / α Bm (z r – c r ) min z 1 – c 1 z 2 – c 2... z n – c n y ( x )

reprezentuje bod k x 0 řešením soustavy rovnic definujících množinu S. Jiné (obecnější, širší) znázornění matice A je tabulkovou formou – výhodou této tabulky je mimo jiné, že snadno definuje účelovou funkci k L( k x 0 ) i souřadnice bodu k x 0 – také se říká, že tabulka TO reprezentuje bod k x 0 – je řešením soustavy rovnic definujících množinu S. Simplexová metoda Březen 2009

Simplexová metoda - tabulka Březen 2009 c1c1 c2c2 … cncn c n+1 c n+2 … c n+m a1a1 a2a2 … anan a n+1 a n+2 … a n+m b c n+1 a n+1 a 11 a 12 … a 1n 10 … 0b1b1 c n+2 a n+2 a 21 a 22 … a 2n 01 … 0b2b2 …………………… 1 …… c n+m a n+m a m1 a m2 … a mn 00 … 1bmbm z - cd1d1 d2d2 … dndn d n+1 d n+2 … d n+mk L( k x 0 )

Simplexová metoda - Konečná Simplexová tabulka Březen 2009 c1c1 c2c2 … cncn c n+1 c n+2 … cmcm a1a1 a2a2 … anan a n+1 a n+2 … amam b c1c1 a1a1 a 11 a 12 … a 1n a 1n+1 a 1n+2 … a 1m x1x1 c2c2 a2a2 a 21 a 22 … a 2n a 2n+1 a 2n+2 … a 2m x2x2 …………………… 1 …… cmcm amam a m1 a m2 … a mn a mn+1 a mn+2 … a mm xmxm z - cd1d1 d2d2 … dndn d n+1 d n+2 … dmdm

TO │ k x 0 = ( 0, 0, …, 0, b 1, b 2, …, b m ) T … k x 0 vývojový diagram Sim- plexové metody. TO │ k x 0 = ( 0, 0, …, 0, b 1, b 2, …, b m ) T … definice bodu k x 0 Pro praxi je potřeba hledat a nalézat všech- na optimální řešení, která danému problému přísluší. Pro úplnost ještě vývojový diagram Sim- plexové metody. Simplexová metoda Březen 2009

Simplexová metoda Březen 2009 Optimální řešení NALEZENO k x w k Je řešení optimální? Test přípustnosti Konec řešení Neomez. hodnota kritéria – LP nemá optimální řešení Nové přípustné konečné řešení existuje? Přechod na nové bazické řešení s lepší hodnotou účelové funkce – výpočet k-tého krajního bodu pro index: 1 ≤ e ≤ n+m - řídicí prvek je a s j k Začátek Podmínky simplexového algoritmu iterace k : = 0 Výchozí bazické řešení - nalezení 0-tého krajního bodu množiny k S = { x │ A x : = b ; x ≥ 0} Před testem optimality - výpočet řádku z k – c k Test optimality - nalezení min (z e k – c e k ) = z j k – c j k pro index: 1 ≤ e ≤ n+m NE k : = k + 1

nuly hodnoty d i. Pro určení zda existuje více než jedno opti- mální řešení, jsou důležité nuly v poslední řádce, tj. hodnoty d i. Pokud si jejich hodnoty budou rovny (až do indexu n) a zároveň budou rovny nule a dále, ostatní od indexu n+1 až po index m budou rovny nule nebo větší než nula, bude exis- tovat pouze jediné optimální řešení x*1. Simplexová metoda Březen 2009

Množina všech optimálních řešení Množina všech optimálních řešení je kon- vexním obalem množiny tvořené krajními body x 1, x 2, …, x s množiny přípustných řešení S a dále tvořené všemi body polopří- mek p 1 ( ), p 2 ( ), …, p v ( ). Simplexová metoda Březen 2009

Způsoby a postupy řešení soustavy li- neárních rovnic Způsoby a postupy řešení soustavy li- neárních rovnic * Gauss-Jordanova eliminační metoda vy- cházející z ekvivalentní soustavy rovnic vy- tvořené k původní soustavě tak, že nová matice je diagonální a má na diagonále jed- ničky. Vede k úpravě rovnic do kanonického tvaru….. Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

Povolené eliminační úpravy soustavy rovnic (omezujících podmínek) pro řešení lineárních optimalizačních modelů jsou dvě – násobení řídící rovnice převrácenou hodnotou řídícího prvku a přičtení vhodného násobku řídící rov- nice k původní (upravované) rovnici. Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

* bazické, nebazické a parametrické řeše- ní pro soustavu lineárních rovnic o n – pro- měnných převedenou do kanonického tvaru – kanonické proměnné s koeficienty vytváře- jícími jednotkovou matici, se nazývají bazické a ostatní proměnné jsou nebazické Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

* matice transformace – k původní matici A se připojí submatice E – postupuje se Gauss- Jordanovou eliminací vedoucí od výchozího tvaru rozšířené matice soustavy k transfor- movanému tvaru – přitom obě soustavy jsou si ekvivalentní, takže platí vztah: ( A │ E │ b ) ~ ( Ẫ │ E │ B-1│ β ) Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

* matice transformace - po aplikaci Gauss- Jordanovy metody je na místě jednotkové matice E matice B-1 což je matice inverzní k matici bazických vektorů B. Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

Optimalizační model - dalším způsob řešení. První je stanovení kriteria optimality = zda lze k danému řešení x p soustavy omezujících podmínek najít řešení jiné, které bude mít lepší hodnotu kriteria (účelové funkce). Pokud takové řešení neexistuje, je řešení x p opti- málním řešením lineárního optimalizačního modelu. Přitom kritérium optimality může být pro maximalizační i minimalizační úlohu. Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

posledním krokem ekono- mická interpretace Získané optimální řešení udává optimální stav systému v určitém okamžiku a při splnění určitého souboru předpokladů popsaných soustavou omezujících podmínek a účelovou funkcí. Proto je posledním krokem ekono- mická interpretace - určuje závislost na kva- litativních vlivech a protože se mohou v prů- běhu chování systému měnit, mohou podstat- ným způsobem ovlivnit výsledné rozhodnutí. Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

změ- nám optimálního řešení postoptimalizační analýza, …… Je potřeba provést rozsáhlý rozbor získaných informací a exaktně stanovit rozsah přípust- ných změn, v rámci nichž nedochází ke změ- nám optimálního řešení. Těmto navazujícím postupům se obecně říká postoptimalizační analýza, do které patří …… Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

* ekonomická interpretace výsledné simplexové tabulky * sledování vlivu změn hodnot nebazických proměnných na optimální řešení * hledání suboptimálního řešení * citlivostní analýza. Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

Analýza citlivosti Analýza citlivosti se zabývá určováním tako- vého rozsahu změn výchozích údajů lineární optimalizační úlohy, v rámci nichž nedochází ke změně optimální báze (sledují se změny, k nimž by došlo změnou hodnot vstupních parametrů – takto se hledá i interval stability). Simplexová metoda - postupy řešení Březen 2009

Degenerovaná úloha LP Degenerovaná úloha LP = úloha, kde ales- poň jeden krajní bod množiny přípustných řešení S má méně než m kladných složek a tedy více než (n-m) složek nulových. Těmto úlohám je potřeba věnovat pozornost v případech, kdy by mohly znemožnit naleze- ní optimálního řešení pomocí Simplexové me- tody. Je asi vhodné poznamenat, že se jedná převážně o ekonomické úlohy. Degenerované úlohy Březen 2009

tentýž bod Problémem této skupiny úloh je, že nebývá jednoznačná volba řídícího řádku v Simplexo- vých tabulkách a že bývá volen náhodně (což nemusí být volba správná nebo vhodná – jak v praxi potvrzují rozbory řešených příkladů). Výpočet se může dokonce zacyklovat, proto- že při přechodu z jedné tabulky do druhé bu- de výsledkem tentýž bod a mění se pouze báze tabulky. Degenerované úlohy Březen 2009

Potřeba pravidla vylučujícího tuto nejedno- značnost je značná. Pravidlo spočívá v hodnocení podílů bodů sloupců a řádků a je popsáno v literatuře. Degenerované úlohy Březen 2009

* Hodnoty přídatných proměnných nevyužité ka- pacity příslušného zdroje * Hodnoty pravých stran rovnic množiny Zobecněné výsledky * Hodnoty přídatných proměnných u kaž- dého přípustného (a tedy i optimálního) řešení mají v těchto úlohách význam nevyužité ka- pacity příslušného zdroje – proto se jim taky říká volné (slack) proměnné. * Hodnoty pravých stran rovnic množiny S mají význam hodnoty zdrojů (proto název vektor zdrojů nebo krátce jen zdroje). Zobecněné výsledky Březen 2009

* Koeficienty u jednotlivých proměnných * Koeficienty u jednotlivých proměnných v rovnicích množiny S mají význam normy přímé spotřeby – koeficient a ij udává spotřebu i-tého zdroje na jednotku j-tého výrobku – používají se také názvy strukturální koefi- cienty nebo technické koeficienty. Březen 2009 Zobecněné výsledky

Řešením úlohy kritérium optimality Řešením úlohy se vlastně stanoví výrobní program, nebo též plán (sled) určitých činností (operací). To čeho má být řešením úlohy dosaženo se nazývá kritérium optimality Březen 2009 Zobecněné výsledky

Do úlohy Do úlohy mohou vstupovat další informace či omezení: * účast pracovníků s různou kvalifikací K i (což je vstup prolínající se komplexem celé úlohy) * spotřeba času H i potřebného pro zhotovení (vyrobení, sestavení, …) jednotky výrobku * hodinová kapacita příslušného výrobního stroje V i (nástroje, použitých přístrojů a po- můcek, …) Březen 2009 Zobecněné výsledky

výsledek řešení * skladová, nakládací či skládací, dopravní problematika. * výsledek řešení může vést i k variantám, závisejícím na vstupních datech či na sou- boru a kombinaci omezení * atp. Březen 2009 Zobecněné výsledky

Další typické úlohy Další typické úlohy se týkají: * rozvozu materiálu (výrobků) * v projektování třeba optimalizace skladby bytů v daném domě * optimální zatížení konstrukce * zásobování zavlažovací vodou * plnění nádrží vzhledem ke spotřebě a (předpokládaným) dešťovým srážkám. Březen 2009 Zobecněné výsledky

Až dosud lineárního programování. Až dosud probrané metody a způsoby řeše- ní se spolu s dalšími probranými v pokračo- váních se týkají (asi největší a nejširší) oblasti lineárního programování. … metody … postupy …. Březen 2009

březen 2009 …..… cw05 – 11. POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují …… DALŠÍMI METODAMI

……… Březen 2009