„Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“. Tento digitální učební materiál (DUM) vznikl na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“. ANALYTICKÁ GEOMETRIE OBECNÝ, SMĚRNICOVÝ A ÚSEKOVÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY V ROVINĚ Autor: Mgr. Kateřina Šigutová Zpracováno: 3.2.2014 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Směrový a normálový vektor přímky směrový vektor přímky 𝒔 𝒏 normálový vektor přímky p Směrový a normálový vektor přímky jsou kolmé. 𝒔 = 𝒂;𝒃  𝒏 = −𝒃;𝒂

Obecná rovnice přímky v rovině 𝒑: 𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄=𝟎;(𝒂,𝒃)≠(𝟎;𝟎) Souřadnice normálového vektoru 𝒏 = −𝒃;𝒂 , Bod, který leží na přímce - X 𝒙;𝒚 𝒂,𝒃 −𝒖𝒓č𝒖𝒋í 𝒔𝒎ě𝒓 𝒑ří𝒎𝒌𝒚

Obecná rovnice přímky v rovině 𝒑: 𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄=𝟎, jaký je význam parametru c? přímky se stejnými a,b mají stejný směr, c vyjadřuje posun

Obecné vyjádření – úloha 1 a) Napiš obecnou rovnici přímky p, která prochází body A a B; A 1;3 ; 𝐵 −1;6 𝒖 𝟏 =−𝟏−𝟏=−𝟐 𝒖 𝟐 =𝟔−𝟑=𝟑 𝒖 = −𝟐;𝟑 𝒏 = 𝟑;𝟐 𝒑: 𝟑𝒙+𝟐𝒚+𝒄=𝟎 A 1;3  𝒑 𝟑∙𝟏+𝟐∙𝟑+𝒄=𝟎 𝟗+𝒄=𝟎 𝒄=−𝟗 𝒑: 𝟑𝒙+𝟐𝒚−𝟗=𝟎 rovnice přímky 𝒔𝒎ě𝒓𝒐𝒗ý 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓: 𝒖 = 𝑨𝑩 =(𝑩−𝑨) určení parametru c 𝒙 𝒚 𝒏𝒐𝒓𝒎á𝒍𝒐𝒗ý 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓: b) Napiš obecnou rovnici přímky p, která prochází body A a B; A −1;2 ; 𝐵 3; − 2 3 Ř:2𝑥+3𝑦−4=0

Obecné vyjádření – úloha 2 a) Napiš obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A 1;3 a její směrový vektor je 𝑠 =(−1;2) 𝒏 = 𝟐;𝟏 𝒑:𝟐𝒙+𝒚+𝒄=𝟎 A 1;3  𝒑 𝟐∙𝟏+𝟑+𝒄=𝟎 𝟓+𝒄=𝟎 𝒄=−𝟓 𝒑: 𝟑𝒙+𝟐𝒚−𝟓=𝟎 𝒏𝒐𝒓𝒎á𝒍𝒐𝒗ý 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓: určení parametru c 𝒙 𝒚 rovnice přímky

Obecné vyjádření – úloha 3 Urči, zda na přímce p: 𝟑𝒙+𝟐𝒚−𝟗=𝟎 leží body a) A 𝟑;𝟎 ; b) B 𝟐;−𝟐 ; c) C 𝟐;𝒑 𝒐𝒗ěří𝒎, 𝒛𝒅𝒂 𝒔𝒐𝒖ř𝒂𝒅𝒏𝒊𝒄𝒆 𝒃𝒐𝒅ů 𝒗𝒚𝒉𝒐𝒗𝒖𝒋í 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄𝒊 𝒑 𝑳 𝑨 =𝟑∙𝟑+𝟐∙𝟎−𝟗=𝟎 𝑷 𝑨 =𝟎 𝑳 𝑨 = 𝑷 𝑨 ⇒𝑨∈𝒑 𝑳 𝑩 =𝟑∙𝟐+𝟐∙ −𝟐 −𝟗=−𝟕 𝑷 𝑩 =𝟎 𝑳 𝑩 ≠ 𝑷 𝑩 ⇒𝑩∉𝒑 𝑳 𝑪 =𝟑∙𝟐+𝟐∙𝒑−𝟗 𝑷 𝑪 =𝟎 𝒂𝒃𝒚 𝑪∈𝒑 ⇒ 𝑳 𝑪 = 𝑷 𝑪 𝟑∙𝟐+𝟐∙𝒑−𝟗 =𝟎 𝟐𝒑=𝟗−𝟔 𝒑= 𝟑 𝟐

rovnice sečtu, parametr vyloučím Převod: parametrická – obecná r. p𝐚𝐫𝐚𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜𝐤á 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄𝒆: 𝑿=𝑨+𝒕∙ 𝒔 𝒙= 𝒂 𝟏 + 𝒔 𝟏 ∙𝒕 𝒚= 𝒂 𝟐 + 𝒔 𝟐 ∙𝒕 o𝐛𝐞𝐜𝐧á 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄𝒆: 𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄=𝟎 2 rovnice obsahují parametr 1 rovnice neobsahuje parametr rovnice sečtu, parametr vyloučím

Převod – úloha 1 Přímku p: 𝒙=𝟐+𝟑𝒕;𝒚=𝟏−𝟐𝒕;𝒕∈𝑹 vyjádři obecnou rovnicí 𝟐𝒙=𝟒+𝟔𝒕 𝟑𝒚=𝟑−𝟔𝒕 𝟐𝒙+𝟑𝒚=𝟕 𝟐𝒙+𝟑𝒚−𝟕=𝟎 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄𝒆 𝒔𝒆č𝒕𝒖, 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓 𝒗𝒚𝒍𝒐𝒖čí𝒎 /∙2 /∙3 𝑠𝑒č𝑡𝑢 𝒐𝒃𝒆𝒄𝒏á 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄𝒆 𝒑ří𝒎𝒌𝒚

ze směrového vektoru určím normálový, vypočítám parametr c Převod: parametrická – obecná r. p𝐚𝐫𝐚𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜𝐤á 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄𝒆: 𝑿=𝑨+𝒕∙ 𝒔 𝒙= 𝒂 𝟏 + 𝒔 𝟏 ∙𝒕 𝒚= 𝒂 𝟐 + 𝒔 𝟐 ∙𝒕 o𝐛𝐞𝐜𝐧á 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄𝒆: 𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄=𝟎 obsahuje bod a směrový vektor obsahuje normálový vektor a parametr c ze směrového vektoru určím normálový, vypočítám parametr c

Převod – úloha 2 𝒔 = 𝟑; −𝟐 𝒏 = 𝟐;𝟑 𝟐𝒙+𝟑𝒚+𝒄=𝟎 Přímku p: 𝒙=𝟐+𝟑𝒕;𝒚=𝟏−𝟐𝒕;𝒕∈𝑹 vyjádři obecnou rovnicí 𝒔 = 𝟑; −𝟐 𝒏 = 𝟐;𝟑 𝟐𝒙+𝟑𝒚+𝒄=𝟎 𝒔𝒎ě𝒓𝒐𝒗ý 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓 𝒃𝒐𝒅 𝒏𝒂 𝒑ří𝒎𝒄𝒆 𝒙 𝒚 𝑨 𝟐;𝟏 𝒏𝒐𝒓𝒎á𝒍𝒐𝒗ý 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓 𝒗𝒚𝒑𝒐čí𝒕á𝒎 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓 𝒄 𝟐∙𝟐+𝟑∙𝟏+𝒄=𝟎 𝟕+𝒄=𝟎 𝒄=−𝟕 𝟐𝒙+𝟑𝒚−𝟕=𝟎 𝒐𝒃𝒆𝒄𝒏á 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄𝒆 𝒑ř. 𝒐𝒃𝒆𝒄𝒏á 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄𝒆 𝒑ří𝒎𝒌𝒚

Převod: obecná – parametrická r. 𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄=𝟎 p𝐚𝐫𝐚𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜𝐤á 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄𝒆: 𝑿=𝑨+𝒕∙ 𝒔 𝒙= 𝒂 𝟏 + 𝒔 𝟏 ∙𝒕 𝒚= 𝒂 𝟐 + 𝒔 𝟐 ∙𝒕 obsahuje normálový vektor obsahuje bod a směrový vektor z normálového vektoru určím směrový, najdu libovolný bod, který náleží přímce (jeho souřadnice vyhovují rovnici

Převod – úloha 3 𝒏 = 𝟐;𝟑 𝒔 = 𝟑; −𝟐 𝑨 𝟏;𝒚 Přímku p: 𝟐𝒙+𝟑𝒚−𝟕=𝟎 vyjádři parametrickou rovnicí 𝒏 = 𝟐;𝟑 𝒔 = 𝟑; −𝟐 𝑨 𝟏;𝒚 𝒏𝒐𝒓𝒎á𝒍𝒐𝒗ý 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓 𝟐∙𝟏𝟑∙𝒚−𝟕=𝟎 𝟑𝒚−𝟓=𝟎 𝒚= 𝟓 𝟑 𝒔𝒎ě𝒓𝒐𝒗ý 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒌é 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒊𝒄𝒆 𝒙=𝟏+𝟑𝒕 𝒚= 𝟓 𝟑 −𝟐𝒕; t∊ R 𝒃𝒐𝒅 𝒏𝒂 𝒑ří𝒎𝒄𝒆, souřadnice vyhovují rovnici

Směrnicový tvar přímky v rovině 𝒚=𝒌𝒙+𝒒; obecnou rovnici dělím koef. 𝒃≠𝟎 𝒌 −𝒔𝒎ě𝒓𝒏𝒊𝒄𝒆 𝒑ří𝒎𝒌𝒚, 𝒌=𝒕𝒈 =− 𝒃 𝒂 ; 𝒒=− 𝒄 𝒃

𝒑, 𝒒 – úseky, které přímka vytíná na souř. osách Úsekový tvar přímky v rovině 𝑞 𝑝 𝒑: 𝒙 𝒑 + 𝒚 𝒒 =𝟏; 𝒑≠𝟎 ⋀𝒒 ≠𝟎 𝒑, 𝒒 – úseky, které přímka vytíná na souř. osách

Směrnicový tvar přímky – úloha1 Určete směrnicový tvar přímky, která prochází bodem A 𝟏;𝟑 a má směrový úhel 45 𝒌=𝒕𝒈 𝟒𝟓=𝟏 𝒚=𝟏𝒙+𝒒 𝒔𝒎ě𝒓𝒏𝒊𝒄𝒆 𝒌 𝑘=𝑡𝑔  𝒖𝒓č𝒆𝒏í 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒖 𝒒 𝐴∈𝑝; A 𝟏;𝟑 𝒙 𝒚 𝒚=𝟏𝒙+𝒒 𝟑=𝟏+𝒒 𝒒=𝟐 p: 𝒚=𝒙+𝟐 𝒔𝒎ě𝒓𝒏𝒊𝒄𝒐𝒗ý 𝒕𝒗𝒂𝒓 p: 𝒚=𝒌𝒙+𝒒

Úsekový tvar přímky – úloha1 Určete úsekový tvar přímky, která prochází bodem A 𝟏;𝟎 a B 𝟎;−𝟑 A 𝟏;𝟎 a B 𝟎;−𝟑 𝒖𝒓č𝒆𝒏í 𝒑 𝒂 𝒒 ú𝒔𝒆𝒌𝒐𝒗ý 𝒕𝒗𝒂𝒓 𝒑: 𝒙 𝒑 + 𝒚 𝒒 =𝟏 p; 𝟎 0; 𝒒 p: 𝒙 𝟏 + 𝒚 −𝟑 =𝟏

Použité zdroje: POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999, 626 s. ISBN 80-719-6166-3. KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: analytická geometrie. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 187 s. ISBN 80-719-6120-5.   PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.