Monte Carlo simulace Experimentální fyzika I/3

Princip metody Problémy které nelze řešit analyticky je možné modelovat na základě statistického chování jejich komponent Známe-li rozdělení pravděpodobností pro jednotlivé elementární procesy, z nichž se zkoumaný jev skládá, můžeme modelovat rozdělení pravděpodobnosti určité konfigurace systému

Jednoduchý příklad – detekce K 0 S z jeho rozpadových produktů Při kolizi dvou jader Může vzniknout K 0 S (tj. d s ), který má délku života s exponenciálním rozdělením (c  = 2.68 cm) Na konci života se rozpadá na pár nabitých pionů, které registrujeme v detektoru nabitých částic

Jednoduchý příklad – detekce K 0 S z jeho rozpadových produktů Některé  mezony (piony) zasáhnou detektor Z nejméně dvou bodů dráhy částice (bez přítomnosti mg. pole) lze určit dráhu v prostoru lze nalézt nejbližší bod těchto drah odpovídající pozici rozpadového vrcholu Jestliže známe velikost hybnosti produktů, lze určit klidovou hmotu mateřské částice Zajímá nás např. rozdělení hybností rekonstruovaných K 0 S, rozdělení polohy rozpadových vrcholů, efektivita rekonstrukce, přesnost určení polohy rozpadového vrcholu aj. Ty nám umožní pochopit odezvu reálného detektoru

Jednoduchý příklad – detekce K 0 S z jeho rozpadových produktů Vstupní parametry pro simulaci geometrie detektoru a terčíku hybnostní rozdělení mateřské částice rapiditní (rel. ekvivalent rychlosti) rozdělení Rozdělení úhlu  je v soustavě rozpadající se částice isotropní, hybnost produktů P odpovídá schodku klidových hmotností M K -2M 

Jednoduchý příklad – detekce K 0 S z jeho rozpadových produktů Obraz rozpadu pozorovaný v laboratorním systému závisí na rychlosti (~P long. ) mateřské částice Výpočet hmoty mateřské částice M z hybností a klidových hmot produktů (invariantní hmota)

Simulace rozpadu K 0 S a jeho rekonstrukce Výběr charakteristických hodnot z odpovídajících rozdělení Mateřská částice (P,y mateřské částice, směr její emise, dobu života / dráhu kterou proletí do rozpadu) Rozpad (druh a počet produktů (m 0 ), orientace jejich emise v soustavě rozpadající se částice)

Simulace rozpadu K 0 S a jeho rekonstrukce Rekonstrukce Propagace (pohyb) produktů geometrickým modelem detektoru (mnohonásobný rozptyl, interakce s materiálem, vytváření sekundárních částic) Vytvoření modelu hitů v detektorech (geom. pozice, parametrizovaný model odezvy na hit, šum …..) Rekonstrukce drah z hitů Výpočet polohy sekundárního vrcholu, hmoty mateřské částice a dalších parametrů o které se zajímáme Naplnění rekonstruovaných rozdělení Porovnání s experimentem

Model detektoru

Technické řešení simulace Generace náhodných proměnných s daným rozdělením = generování náhodných čísel a transformace jejich rozdělení Generátory náhodné X pseudonáhodné Náhodné ( založeny na náhodných fyz. procesech = šum, šumové diody, emise částic radioaktivním zdrojem ) Pseudonáhodné (posloupnost čísel generována algoritmem, závisí na násadě = počátečním nastavení proměnných algoritmu, délka periody posloupnosti závisí na druhu algoritmu a délce slova počítače) Pseudonáhodné generátory v programových knihovnách (CERNLIB, ROOT …)

Požadavky na generátor Dlouhá perioda Rychlost Tvar rozdělení náhodné proměnné (nejčastěji generátor dodává buď rovnoměrně rozloženou náhodnou veličinu, veličinu Gaussovskou nebo binární sekvenci 1 a 0 se stejnou pravděpodobností (gen. se šumovou diodou)

Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti f(x) je hustota pravděpodobnosti (pravděpodobnost, že x je v int. x,x+dx) F(x) je kumulativní distribuční funkce Je to integrál f(x)dx Střední hodnota f(x) (b+a)/2 Rozptyl f(x) 1/12(b-a) 2

Transformace rozdělení náhodné veličiny Základní metoda = vytvoříme distribuční funkci, generujeme číslo, pomocí inverzní funkce stanovíme odpovídající hodnotu náhodné proměnné x Zamítací metoda (pokud neexistuje F -1 (x)) = generujeme dvě čísla u1,u2 (z patřičných intervalů), jestliže f(u1) =u2 u1 přijmeme

Transformace rozdělení náhodné veličiny Oblast obklopující f(x) je pro maximální efektivitu generování třeba volit tak, aby co nejtěsněji obepínala f(x) Lze použít několik oblastí pokrývajících f(x) po částech

Generování některých rozdělení Normální (střední hodnota 0, rozptyl 1) Normální – rychlejší

Generování některých rozdělení Exponenciální