OHMŮV ZÁKON TROCHU JINAK Jiří J. Mareš Fyzikální ústav AV ČR v.v.i.

Přenos elektřiny materiálním prostředím S. Gray, 1729

Vodiče a izolanty „Scestná Grayeova hypotéza“: Přenos elektrického fluida  (A /L)  2 třídy materiálů, vodiče a izolanty

Základní poznatky o transportu elektřiny Ermanův experiment (1802) „Podél vodiče, kterým protéká elektřina, ubývá elektroskopická síla.“

Hledání kvantitativních vztahů Ohmovy a Fechnerovy experimenty s kovovými vodiči, eliminace vlastností zdroje (Thermokette vs. Hydrokette) 

Ohmova konstitutivní relace G. S. Ohm (1827), G. T. Fechner (1829) Lokální (diferenciální) formulace „zákona“ i = F (1) i (A/m2) je hustota proudu a  (S/m) vodivost Vzorec nevyjadřuje přírodní zákon, ale je konstitutivní relací mezi tokem i a zobecněnou silou F a definující konstantu .

Jaká je fyzikální povaha veličiny F ? Foronomické podmínky Rovnici (1) je třeba doplnit obecně platnými požadavky na transport „nezničitelné“ substance div i  0 (rovnice kontinuity) (2a) i  0 (rovnice diskontinuity) (2b) Jaká je fyzikální povaha veličiny F ?

Protagonisté G. S. Ohm G. Kirchhoff

Dvě interpretace zobecněné síly F 1. Ohm (1827) F  - grad  (3) “Elektroskopische Kraft“  experiment & Fourierův zákon 1-fluidový model (  makroskopická hustota elektrického náboje C/m3 ) (3) popisuje dobře experiment, ale obecně vyžaduje   0 

Při vypnutí proudu musí totiž podle (3) být: i =  F =   grad  = 0,  = const. Integrace: grad  = 0   = const.  0, Elektrické fluidum tedy v analogii s Fourierovým zákonem šíření tepla relaxuje do stavu s rovnoměrným rozložením fluida uvnitř vodiče.

 Rozpor s Cavendishovým teorémem Cavendishův teorém (1773) o sídle elektřiny na povrchu vodičů, je matematicky ekvivalentní Coulombovu zákonu (1785) o vzájemném působení elektrických nábojů.

Řešení = použití veličiny  konjugované s Q 2. Kirchhoff, (1849) F   grad  (4) (  elektrostatický potenciál (V)) Podmínka (2a) spolu s (1) a (4)  (i když i  0)   0 („transport náboje bez náboje“  2-fluidový model)

(Laplaceova rovnice elektrostatiky pro prostor bez náboje) Kirchhoffův teorém F   grad  , i = F  vypočteme div i = 0 (podle 2a) div F =   div grad  = 0 (5) (Laplaceova rovnice elektrostatiky pro prostor bez náboje) Uvnitř vodiče, kterým protéká proud neexistuje makroskopický elektrický náboj (neutralita)  V případě existence prostorového náboje ve vodiči kterým protéká proud, je Ohmova relace (1) neplatná.

Porušení neutrality - příklady Veškeré odchylky od Ohmova zákona svědčí o přítomnosti prostorového náboje ve vzorku, tj. o porušení neutrality. Nelineární I-V charakteristiky vykazují plošné diskontinuity jako např. Schottkyho bariéra, p-n přechod, injekční proudy omezené prostorovým nábojem = základ polovodičové elektroniky

Prostorový náboj v nelineární struktuře Měření zachyceného náboje pomocí Faradayova válce ,  > 105 s. (Nucl. Meth. Instr. A 434 (1999) 57)

Plošné rozhraní dvou vodičů Okrajová podmínka na diskontinuitě protékané proudem:  = 0(2F2  1F1) (6) i = 1F1 = 2F2  = i 0(2 /2  1 /1)

Elektrické pole vně vodiče, kterým protéká proud V různých bodech povrchu vodiče s proudem je obecně různý potenciál   v okolí vodiče existuje elektrické pole, které má na povrchu vodiče nenulovou normálovou složku 

Existence povrchového náboje F2  0 Uspokojení foronomické podmínky (2b) na vnitřní hranici vodiče i   F1  0 vede k vytvoření laminární proudové trubice (sphondyloid) uvnitř vodiče  Nevyhnutelnost vzniku povrchového náboje

Funkce povrchových nábojů Povrchový náboj formuje proudovou trubici uvnitř vodiče a odstiňuje ji od vnějších elektrických polí To umožňuje, mimo jiné, transport elektřiny libovolně „zamotaným“ vodičem, bez ohledu na původní elektrické pole aplikované k jeho koncům. vnějších a intrinsických polí

Distribuce hustoty povrchového náboje () Na vnější hranici vodiče je obecně F2  0, je tedy podle rovnice /0 = F2 F1 = F2 (6) distribuce hustoty povrchového náboje () určena výhradně veličinou F2, která závisí na souhře: externích elektrických polí a vlastního (intrinsického) pole vodiče

Původ intrinsických polí - přechodový jev Po „zapnutí proudu“ začnou nosiče proudu sledovat původní siločáry (ABCD), čímž nabijí body (B a C) na povrchu vodiče a vytvoří proudovou trubici splňující podmínku (2b).

Povrchový náboj potřebný k „odklonu“ proudu Model: krychle v rohu o hraně A  Fn = I/A , 0 Fn = Q/ A Q  (0 /) I (7) kde 0 je permitivita okolí vodiče.

Energetická bilance v Ohmickém režimu Disipace energie v objemu V (Jouleův výkon) W =  i F dV =  (i2/) dV Hledejme minimum tohoto integrálu za podmínky (2a) div i = 0    (i2/)  2 div i dV = 0  je neurčitý Lagrangeův koeficient  i =  grad  V případě, že koeficient  ztotožníme s potenciálem  

Distribuce proudu ve vodiči V ohmickém režimu je distribuce proudočar a ekvipotenciál taková, že celková disipace energie při transportu náboje je minimální  Vlastní elektrické pole uvnitř „sphondyloidu“ tak definuje okrajovou podmínku i pro vnější intrinsické pole vodiče

Rozpor mezi K-teorémem a existencí stínicích nábojů U povrchu každého vodiče, kterým teče proud, nutně existuje prostorový náboj zasahující do jeho vnitřku  POVRCHOVÝ NÁBOJ JE ABSTRAKCE!  rozpor s Kirchhoffovým teorémem (porušení neutrality) Je možné rovnicí (1) popsat experimentálně pozorovaný transport i za přítomnosti prostorových nábojů ?

ANO!  Nutnost zobecnění Ohmovy relace Spojení Ohmova a Kirchhoffova přiblížení  (PhysicaE 12 (2002) 340) Lineární kombinace obou konjugovaných proměnných užívaných v elektrostatice: i   grad (  2/0), (8)  je volný délkový parametr zaručující homogenitu rovnice, druhý člen v závorce se nazývá difúzní.

Důsledky vztahu (8), význam veličiny  i  0    0 exp(/) (9) kde  je délka měřená podél normály k povrchu vodiče. i  0    2/0  0 (10) Gouyova-Schottkyho podmínka lokální rovnováhy, 0  const. je povrchový potenciál.  má význam stínicí délky

Kvantitativní odhady Odhady podle vzorce (7) (krychle v rohu) měď ve vakuu,   6.4  107 S/m, I = 1 A,  Q = 1.4  1019 C  1 elektron SI-GaAs,   5.0  107 S/m, I = 1 A,   12  Q = 2.1  104 C  1.3  1015 elektronů Prostorové náboje se uplatňují hlavně ve špatných vodičích

Přímý důkaz povrchového náboje Metoda zkusné kuličky a Faradayova válce   (2/ 6) S („proof sphere limit“)

Příklad měření

Elektrostatické stínění a „difúzní člen“ 3D, Debye-Hückelovo přiblížení pro stínicí délku:   (kT0/ne2) Cu: n  8.51028 m3 při T = 300 K    4 1012 m Pro kovy tak nemá „difúzní člen“ v (8) praktický význam 2/0   (41012)2 / 8.85  1012  1.81012 V V polovodičích a izolátorech je to významná korekce k  SI-GaAs: n  51014 m3 při T = 300 K    5 105 m 2/0   (5105 )2 / 8.85  1012  2.8102 V

Integrální tvar Ohmova zákona pro dobré vodiče (kovy) V případě jednoduché geometrie homogenního vodiče a při zanedbání prostorových nábojů lze integraci diferenciálního tvaru provést snadno: délka vodiče L průřez vodiče A potenciálový spád na vodiči V = 1 2 i = I /A = F =  V/L  V/I = (L/A) = R což je integrální tvar Ohmova zákona, veličina R se nazývá elektrický odpor vodiče

Zmizí neutrální oblast, transport probíhá za přítomnosti Co nastane, když a  2 ?  Klasická definice dvojrozměrného elektronového plynu a heterodimensionálního přechodu. Zmizí neutrální oblast, transport probíhá za přítomnosti prostorového náboje. Vzniká stínící deficit vzhledem k vnějším polím, t.j. elektrické pole proniká vodičem.

Dvojrozměrný elektronový plyn (2DEG) Definice: T  a (tloušťka 2D systému) Thoulessova difúzní délka T = (2DC) C kvantový koherenční čas D   2 /0 ( difúzní člen) C  /kT  a  (/0 kT) Pro širokou třídu polovodičů je 1  (/0 kT)  Klasická a kvantová definice 2D jsou ekvivalentní

Elektrostatické stínění 2DEG Pronikání elektrického pole vodivou vrstvou odlišuje „tenký“ kov od 2D systému = základ experimentálního studia 2DEG kapacitními metodami

2DEG v GaAs/GaAlAs QW Kvantový Hallův jev Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 4699

Rychlost šíření elektřiny C.F.C. du Fay (1733) šíření elektřiny na velké vzdálenosti > ½ km L. G. Le Monnier (1746) Měření rychlosti s jakou se šíří elektřina vodičem.  „Elektřina je více než 30  rychlejší než zvuk“

Telegrafní drát – nerelativistické přiblížení Průměr drátu (d), křivost (1/D)   = I (0/) (4L/d2)(2/d + 1/D) Náboj deponovaný na rovném úseku ( = 1) : Q = I (0/) (8L/d2) L Čas t potřebný k nabití drátu od 0 po L proudem I:  Q/I = (0/) (8L/d2) L  t = (0/) (4L2/d2) 

Difúze signálu vedením  Rovnice difúze (d2 t /40) = L s koeficientem difúze:  (d2/80) „Rychlost“ přenosu závisí na délce vedení! vS  ( /0) (d2/4L) (pro krátká vedení vS > c, zanedbané relativistické efekty, tj. magnetické pole, indukčnost vedení)

„Rychlost“ signálu vs. driftová rychlost elektronů  = 6.4  107 S/m d = 103 m, L = 9  104 m (Praha – Plzeň)  vS  200 087 885 m/s  (2/3)c I/A = e n vD I = 1 C/s, A = 106 m2, n (Cu) = 8,51028 m3  vD = 7,3 105 m/s

Tok elektromagnetické energie v okolí vodiče Poyntingův vektor (1884) = hustota toku energie, W/m2 S = [F, H] =  (F H) sin  H = I/ (d) ( = /2) Bez povrchového S povrchovým náboje nábojem

Příklad - energetický tok ve spotřebiči Malý potenciálový spád na přívodu, velké elektrické pole F v koaxiální mezeře 

Závěry 1) Nedílnou součástí elektrického transportu vodičem je přítomnost elektrického náboje u jeho povrchu 2) Povrchový náboj odstiňuje vnitřek vodiče od vnějších polí, zajišťuje podmínku neutrality uvnitř vodiče a modifikuje přenos elektromagnetické energie v jeho okolí

KONEC Děkuji za pozornost