Hodnoty tP pro různé pravděpodobnosti P a pro různé počty stupňů volnosti (n-1): Výsledek n-krát opakovaného měření veličiny x: S rostoucím počtem stupňů volnosti (n-1), tj. s rostoucím počtem opakování měření (n), se tP blíží hodnotám pro normální rozdělení. (Důsledek CLV.) Zejména pro malé hodnoty n a vysokou P je korekce výrazná. - tj. máme-li malý počet měření, musíme pro dosažení stejně velké pravděpodobnosti P volit širší interval výskytu okolo .

Příklad - zpracování měření jedné veličiny Mikrometrem byla změřena tloušťka destičky, byly změřeny tyto hodnoty: Výsledek měření udejte: a) se střední kvadratickou chybou b) s mezní chybou (Vliv měřidla prozatím nezapočítáváme.) číslo měření 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d (mm) 2,45 2,38 2,41 2,71 2,57 2,48 2,39 2,43 2,49 2,55

Příklad - zpracování měření jedné veličiny 1) Spočítáme aritmetický průměr mm, 2) Odchylky jednotlivých hodnot. 3) Nevychýlený odhad standardní odchylky pro di: 4) Vyloučíme hrubé chyby, Koeficient tP pro hladinu pravděpodobnosti 3s (99,73%) a n-1 = 9: 5) Odhad standardní odchylky aritm. průměru : číslo měření (mm) (mm2) 1 2,45 -0,04 0,0013 2 2,38 -0,11 0,0112 3 2,41 -0,08 0,0058 4 2,71 0,22 0,0502 5 2,57 0,08 0,0071 6 2,48 -0,01 0,0000 7 2,39 -0,10 0,0092 8 2,43 -0,06 0,0031 9 2,49 0,00 10 2,55 0,06 0,0041 2,486 0,0920

Příklad - zpracování měření jedné veličiny 6) Spočítáme výslednou nejistotu (korigovanou pomocí tP) jako: a) standardní odchylku aritmetického průměru, P ~ 68.27 % (interval ± s ) (též směrodatná odchylka, střední kvadratická chyba) b) mezní chybu aritmetického průměru, P ~ 99,73 % (interval ± 3s ) 7) Zaokrouhlení a zápis: a) b)

Nejistota měření Chyba měření - odchylka naměřené hodnoty od správné hodnoty → Nejistota měření Kombinovaná standartní nejistota: statistické (typ A) - mají původ v náhodných jevech ostatní (typ B) - metoda měření, použité měřící přístroje

Nejistota metody a měřidel - obvykle systematická chyba - je-li to možné, nejistotu posoudit a kvantifikovat → korekce - stanovení odhadem Příklad: měření odporu přímou metodou korekce na vnitřní odpor přístrojů (voltmetr)

Třída přesnosti měřících přístrojů statistické šetření (výrobcem) na sérii vyrobených měřících přístrojů X0 = nominální hodnota získaná měřením přístrojem s podstatně vyšší přesností Di = odchylka i-tého přístroje: třída přesnosti: řada P = 0.1, 0.2, 0.5, 1, 1.5, 2.5 chyba naměřené veličiny: rovnoměrné rozdělení v intervalu (-a, a): V intervalu (-uB, uB) kolem odhadnuté hodnoty měřené veličiny se skutečná (správná) hodnota měřené veličiny nachází s pravděpodobností R = rozsah stupnice

Třída přesnosti měřících přístrojů přístroje dělíme podle třídy přesnosti: příklad: - rozsah ampérmetru: R = 3 A - třída přesnosti: P = 1.5 Absolutní nejistota (chyba) měření proudu na tomto rozsahu je: Pozn.: je tedy vhodné měřit v horní části stupnice ručkového měřícího přístroje. R = rozsah stupnice P Kategorie 0.1 etalony, normály 0.2 cejchovní 0.5 laboratorní 1 1.5 provozní 2.5

Třída přesnosti - zobecnění Pojem třídy přesnosti můžeme zobecnit i na další měřicí přístroje Absolutní chybu měřidla lze odhadnout z dělení stupnice: předpokládáme rovnoměrné dělení stupnice v intervalu (-a, a) volíme a = D = nejjemnější dílek stupnice Příklad: Při měření posuvným měřidlem je D = 0.1 mm. Chybu měření pak odhadneme jako: →

Třída přesnosti - zobecnění princip nonia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……….. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……….. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Značení elektrických měřících přístrojů Brož J., a kol.: Základy fyzikálních měření I, SPN Praha 1967, tab. 1.1 a tab. 1.2 str. 208 třída přesnosti 2.5

Digitální měřící přístroje Maximální chyba se vyjadřuje většinou v procentech naměřené hodnoty + násobek řádu poslední platné číslice zobrazené na displeji Specifikace : Základní funkce Rozsah Přesnost Měření DC napětí 600mV / 6V / 60V / 600V /1000V +/- (0,3% + 2) Měření AC napětí +/- (0,6% + 5) Měření DC proudu 600μA / 6000μA / 60mA / 600mA / 10A +/- (0,5% + 3) Měření AC proudu +/- (1% + 5) Měření odporu 600Ω / 6kΩ / 60kΩ / 600kΩ / 6MΩ / 60MΩ +/- (0,5% + 2) Měření kapacity 6nF / 60nF / 600nF / 6mF / 60mF / 600mF / 6mF +/- (2% + 5) Měření teploty ve °C - 40°C až do + 1000°C +/- (1% + 3) Měření teploty ve °F - 40°F až do + 1832°F +/- (1,5% + 5) Měření kmitočtu 60Hz / 60kHz / 600kHz / 6MHz / 60MHz +/- (0,1% + 3)

Digitální měřící přístroje Příklad: Metex M-3850D Měříme odpor. Naměříme R = 51,37 W na rozsahu 400 W. Přístroj má 4-místný displej. Podle údajů výrobce je chyba: 0.5% naměřené hodnoty plus 2x0,010 W, tj. D = 0,005 × 51,37 + 2 × 0,01 W = 0,27685 W Výsledek měření je tedy R = (51,37 ± 0,16) W.

Přenos nejistoty Náhodná veličina y, která je funkcí náhodných proměnných xi: xi se řídí rozděleními pi(xi) → můžeme najít jejich střední hodnoty mi a disperze Jak se projeví nejistoty xi na veličině y? → chceme získat odhad nejistoty veličiny y. Funkci f lze rozvinout do Taylorovy řady v okolí bodu : (nelineární členy zanedbáme)

Přenos nejistoty Očekávaná hodnota: Disperze: Jsou-li xi nezávislé:

Nejistota nepřímého měření Příklad: měření el. odporu proměnné xi: U, I - měřením U jsme získali a , z přesnosti přístroje: uU, B → - měřením I jsme získali a , z přesnosti přístroje: uI, B Očekávaná hodnota: Nejistota: Výsledek:

Shrnutí: zpracování výsledků měření veličiny y = f(x1, x2, ..., xk) 1) Zpracování pro přímo měřené veličiny. Pro každou veličinu xi: a) výpočet aritm. průměru a směrodatné odchylky b) vyloučení hrubých chyb (>„3s“) c) výpočet odhadu standardní odchylky aritm. průměru d) určení chyby měřidla Dx. (Je-li , lze Dx zanedbat a obráceně.) e) volba pravděpodobnosti P a určení korekce tP (závisí na P a počtu měření ni) - např. P~ 68 % ... standardní odchylka („s“) f) určení celkové střední chyby veličiny xi: g) zaokrouhlení a zápis 2) Výsledek pro veličinu y: a) výpočet střední hodnoty: b) výpočet celkové střední chyby: c) zaokrouhlení a zápis výsledku: (P ~ 68 %)

Interpolace funkčních závislostí V experimentu měníme hodnotu jedné nebo několika veličin xi a studujeme závislost veličiny y. - např. měníme , ostatní xi bereme jako parametry (a, b, g, ...): Chceme posoudit platnost závislosti y na xi z výsledků experimentu. → tj. chceme získat odhady parametrů např. pro N hodnot jsme naměřili N hodnot Předpokládáme, že známe funkční závislost f a že přesnost nastavení hodnot veličiny x je řádově větší, než přesnost měření závisle proměnné y (která má obecně pro každý bod jinou dispersi). ... teoretická závislost (fyzikální zákon)

Metoda nejmenších čtverců Metoda početní interpolace. Používá se pro získání odhadů parametrů : 1) Zkonstruujeme veličinu 2) Hledáme minimum c2(a,b,g,...). x 1 2 3 4 5 6 7 y 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

Metoda nejmenších čtverců - lineární fit lineární fit, y = mx minimalizace c2: disperze m: problém: co když neznáme x 5 10 15 20 y -10 30 40 50 60 m = 2.48  0.03

Metoda nejmenších čtverců - lineární fit Pokud jsou neznámé, ale stejné, potom Pro neznámou disperzi pak lze spočítat odhad: ozn. - nevychýlený odhad: Odhad disperze m je tedy: ... minimální suma čtverců odchylek

Fitování Konstrukce křivky (funkce), která co nejlépe odpovídá naměřeným hodnotám. - může podléhat dodatečným podmínkám Lineární vs. nelineární regrese Interpolace a vyhlazování (spline) Regresní analýza a extrapolace Softwarové nástroje - Excel, Origin, Sigmaplot, ... - gnuplot, Octave, R, ... metoda největšího spádu Gaussova-Newtonova metoda algoritmus Levenberg–Marquardt simplex