Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ IV/ POSLOUPNOSTI – ŘEŠENÉ ÚLOHY MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová Zpracováno dne

Úloha 1 Řešené úlohy 2 Odhadněte vzorec pro n-tý člen posloupnosti, znáte-li několik jejích prvních členů: 3, 5, 7, 9, 11,... a 1 = 3 a 2 = 5 a 3 = 7 a 4 = 9 a 5 = a 1 = 3 a 2 = 5 a 3 = 7 a 4 = 9 a 5 = a n = 2n + 1

Úloha 2 Řešené úlohy 3 Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro n-tý člen vyjádřete rekurentně:. a 1 = log 2 10 a n = log 2 10 n a n+1 = log 2 10 n+1 = log 2 (10 n. 10) = log 2 10 n + log 2 10 a 1 = log 2 10 a n = log 2 10 n a n+1 = log 2 10 n+1 = log 2 (10 n. 10) = log 2 10 n + log 2 10 a n+1 – a n = log 2 10 n + log 2 10 – log 2 10 n a n+1 – a n = log 2 10 a n+1 = a n + log 2 10 a 1 = log 2 10

Úloha 3 Řešené úlohy 4 Posloupnost určenou rekurentně vyjádřete vzorcem pro n-tý člen: a 1 = 1, a n+1 = -3a n. a 1 = 1 a 2 = -3 a 3 = 9 a 4 = -27 a 5 = a 1 = 1 a 2 = -3 a 3 = 9 a 4 = -27 a 5 = a n = (-3) n-1 Vzorec pro n-tý člen jsme odhadli, proto je třeba jeho správnost ověřit důkazem matematickou indukcí. 1. n = 1  a 1 = (-3) 1 – 1 = 1  platí 2.  k  N: a k = (-3) k – 1  a k+1 = (-3) k a k+1 = -3a k = -3 (-3) k – 1 = (-3) k – = (-3) k  cbd

Úloha 4 Řešené úlohy 5 Rozhodněte, zda je daná posloupnost monotónní, omezená zdola, shora popř. omezená a zda má nejmenší popř. největší člen: a n = –n a 1 = 3 a 2 = 0 a 3 = –5 a 4 = –12... a 1 = 3 a 2 = 0 a 3 = –5 a 4 = –12... Předpoklad: 1.Klesající 2.Omezená shora h = 3 3.Největší člen max a n = 3

Úloha 4 Řešené úlohy 6 Rozhodněte, zda je daná posloupnost monotónní, omezená zdola, shora popř. omezená a zda má minimální popř. maximální člen: a n = –n Klesající a n+1 – a n < 0 –(n+1) – (–n 2 + 4) = –n 2 – 2n – n 2 – 4 = – 2n – 1 < 0 Posloupnost je klesající.

Úloha 4 Řešené úlohy 7 Rozhodněte, zda je daná posloupnost monotónní, omezená zdola, shora popř. omezená a zda má minimální popř. maximální člen: a n = –n Omezená shora a n  h = 3 –n  3  n 2  1  řešením nerovnice jsou všechna n. Posloupnost je omezená shora.

Úloha 4 Řešené úlohy 8 Rozhodněte, zda je daná posloupnost monotónní, omezená zdola, shora popř. omezená a zda má minimální popř. maximální člen: a n = –n Největší člen max a n = 3 –n = 3  n 2 = 1  n = 1  max a 1 = 3 Posloupnost má největší člen.

Použitá literatura Literatura JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Československá akademie věd, ISBN JARNÍK, Vojtěch. Integrální počet (2). 3. vyd. Praha: Československá akademie věd, ISBN KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN ODVÁRKO, Oldřich, Miloš BOŽEK a Marta RYŠÁNKOVÁ. Matematika: pro II. ročník gymnázií. 1. vyd. Praha: SPN, ISBN ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Funkce. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. 3. vyd. Prometheus, Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, ISBN VOCELKA, Jindřich. Maturujeme jinak. 1. vyd. Praha: Prometheus, ISBN X. Řešené úlohy

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ SOUBOR PREZENTACÍ MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA