Ekvivalentní úpravy rovnic Název projektu: Moderní škola Ekvivalentní úpravy rovnic Mgr. Martin Krajíc   2.9.2013 matematika 1.ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Ekvivalentní úpravy rovnic Rovnice je zápis rovnosti dvou algebraických výrazů. Všechna čísla, která po dosazení za neznámou do rovnice splňují podmínky dané jejím zadáním, se nazývají kořeny (řešení) dané rovnice. Rovnice má pravou a levou stranu. Rovnice v anulovaném tvaru – na jedné straně rovnice je pouze číslo nula. Zkoušku provádíme dosazením kořenů za neznámou do výrazů v rovnici a porovnáním levé a pravé strany rovnice. Definiční obor je množina, pro jejíž každý prvek mají výrazy dané rovnice smysl.

Ekvivalentní úpravy rovnic Pro výpočet rovnice používáme ekvivalentní úpravy. Po jejich provedení získáme rovnici, která má stejnou množinu všech řešení jako původní rovnice.

Ekvivalentní úpravy rovnic Přičtení stejného čísla nebo výrazu, který je definován v celém oboru rovnice, k oběma stranám rovnice. x – 5 = 3 / +5 x – 5 + 5 = 3 + 5 x = 8 Odečtení stejného čísla nebo výrazu, který je definován v celém oboru rovnice, od obou stran rovnice. x + 5 = 3 / -5 x + 5 – 5 = 3 – 5 x = -2

Ekvivalentní úpravy rovnic Násobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem nebo výrazem, který je definován v celém oboru rovnice. = 3 /.2 . 2 = 3 . 2 x = 6 Dělení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem nebo výrazem, který je definován v celém oboru rovnice. 3x = 6 /:3 3x : 3 = 6 :3 x = 2

Ekvivalentní úpravy rovnic Nahrazení strany rovnice výrazem, který se jí rovná. x + y = 4 ˄ x = 2 + y 2 + y + y = 4 Záměna stran rovnice. x + 2 = 3 3 = x + 2 Poznámka: často používáme násobení číslem -1 -x = 3 / .(-1) x = -3

Ekvivalentní úpravy rovnic Poznámka: Velmi často využíváme metodu přesunu jednotlivých členů rovnice z jedné strany na druhou. Při převodu z jedné strany rovnice na druhou musíme změnit znaménko u daného členu na opačné.

Ekvivalentní úpravy rovnic Př: Řešte v R, využijte ekvivalentních úprav: 3(x – 5) – 4(x + 7) = x + 3 3x – 15 – 4x – 28 = x + 3 -x – 43 = x + 3 / + 43 - x -x – 43 + 43 –x = x + 3 + 43 – x -2x = 46 / : (-2) x = -23

Ekvivalentní úpravy rovnic - příklady Př: Řešte rovnice a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): Leonard Euler: „Vyšší matematika …… osvětluje nejskrytější pravdy a vynáší je na světlo.“ 1) 5(x – 6) – 7(x – 1) = 2x – 6(x + 9) a) N = -15,5 b) V = 15,5 2) 7x – 4(-5 – x) = 15x – 8 a) Í = -7 b) Á = 7 3) 18x – 12 = 7x – 4(3 – x) a) C = 1 b) M = 0

Ekvivalentní úpravy rovnic – správné řešení Leonard Euler: „Vyšší matematika ………….. osvětluje nejskrytější pravdy a vynáší je na světlo.“ NÁM

Ekvivalentní úpravy rovnic – použité zdroje Matematické citáty. [online]. [cit. 2013-09-02]. Dostupné z: elmartin.txt.cz/clanky/50290/matematicke-citaty/