41.1 Rozkládání mnohočlenů pomocí vytýkání a vzorců Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 41.1 Rozkládání mnohočlenů pomocí vytýkání a vzorců Chceme vyjádřit dvojčlen 18abc + 21bcd jako součin mnohočlenů. 18abc + 21bcd = b . (18ac + 21cd) 18abc + 21bcd = 3 . (6abc + 7bcd) 18abc + 21bcd = 3c. (6ab + 7bd ) Které řešení je správné? Které z daných trojčlenů jsou druhou mocninou dvojčlenu? Autor: Mgr. Marie Makovská

41.2 Co už umíme Vytýkání před závorkou 3x + 3 = 3(x + 1) Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 41.2 Co už umíme Vytýkání před závorkou 3x + 3 = 3(x + 1) z výrazu si vypůjčíme číslo 3 zbytek po vytýkání Opačné mnohočleny Vytkneme (-1) Vzorce pro dvojčleny Členy dvojčlenů vyjádříme písmeny a, b Provedeme násobení jednoho dvojčlenu stejným dvojčlenem 1) 2) 3) Podobně odvodíme vzorec pro třetí součin:

Elektronická učebnice - II Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 41.3 Jak vytýkáme Při rozkladu mnohočlenu na součin budeme vytýkat před závorku všechny činitele, které se vyskytují ve všech členech mnohočlenu. 18abc + 21bcd = 3 . 6 . abc + 3 . 7 . bcd = 3bc . (6a + 7d) 9x 𝑦 3 −18 𝑥 2 𝑦 2 +15 𝑥 2 𝑦 Koeficienty rozložíme na součiny prvočísel, mocniny rozepíšeme jako součiny základů: 3.3.𝑥.𝑦.𝑦.𝑦−2.3.3.𝑥.𝑥.𝑦.𝑦+3.5.𝑥.𝑥.𝑦 najdeme společné činitele všech členů, vytkneme všechny společné činitele před závorku, 3.x.y.(3.y.y – 2.3.x.y + 5.x) výsledný výraz napíšeme co nejstručněji. 3xy.(3 𝒚 𝟐 -6xy+5x) Úprava součtu na součin (a – 2) . 3a + 8 . ( a - 2 ) = (a – 2) . (3a + 8) Z obou sčítanců vytkneme společného činitele a – 2 (a – 2) . 3a + 8 . ( 2 - a ) Dvojčlen 2 – a napíšeme ve tvaru (-1).(a – 2): = (a – 2) . 3a + 8 . (-1).(a – 2) = (a – 2) . 3a - 8 . (a – 2) = (a – 2) . (3a - 8)

41.4 Rozkládání pomocí vzorců Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 41.4 Rozkládání pomocí vzorců Máme dva vzorce, které jsme používali na roznásobení závorek: dělají ze součinu mnohočlenů jeden mnohočlen (opak toho, co při rozkladu na součin chceme) ⇒ můžeme je použít obráceným směrem než dosud a z jednoho mnohočlenu získáme součin mnohočlenů: je nutné napsat mnohočlen přesně ve tvaru vzorce: někdy není vzorec vidět na první pohled: na rozkládání máme ještě jeden vzorec, který již známe:

41.5 Příklady na procvičení (můžeš kliknout na řešení) Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 41.5 Příklady na procvičení (můžeš kliknout na řešení) Rozlož na součin: Rozlož na součin dvou stejných činitelů: Řešení: Řešení: Řešení:

41.6 Náročnější příklady (můžeš kliknout na řešení) Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Elektronická učebnice - II. stupeň Zákadní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 41.6 Náročnější příklady (můžeš kliknout na řešení) Řešení: Rozlož dané mnohočleny na součin: Rozlož na součin Řešení:

41.7 CLIL - Factoring Polynomials Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Mathematics 41.7 CLIL -  Factoring Polynomials Mathematical dictionary činitel, koeficent - factor člen - term druhá mocnina - square dvojčlen - binomial každý - each mnohočlen - polynomial odstranění - removing rozdíl - difference rozkládání - factoring out přepsat - rewrite příklad - example řešení - solution trojčlen - trinomial tvar - form společný - common všimnutí - notice vzorec - formula Removing Common Factors if you see ab + ac, you can write it as a(b + c). Example:  2x2 + 4x Notice that each term has a factor of 2x, so we can rewrite it as: 2x2 + 4x = 2x(x + 2) Difference of Two Squares If you see the form a2 - b2, you should remember the formula Example:  x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) Example 1: Factor out the binomial 9 - 4x 2 Solution: 9 - 4x 2 = 3 2 - (2x) 2 = (3 - 2x)(3 + 2x) Example 2:Factor out the trinomial 9x 3 + 3x 2 – 6x Solution: 9x 3 + 3x 2 – 6x = 3x(3x 2 +x - 2)

41.8 Test – Rozkládání mnohočlenů pomocí vytýkání a vzorců Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 41.8 Test – Rozkládání mnohočlenů pomocí vytýkání a vzorců Rozlož na součin: 4 𝒙 𝟐 + 16 x 𝒚 𝟐 a) 2x . (2x + 8y) b) 4x . (x + 4 𝑦 2 ) c) 2x . (2 + 8 𝑦 2 ) d) 4x . (1 + 8 𝑦 2 ) 2) Z výrazu 7 𝒙 𝟐 + 14 y vytkni před závorku číslo 7: 7 . (x + 2) 7 . (x + 14) 7 . ( 𝑥 2 + 14y) 7 . ( 𝑥 2 + 2y) 3) Z výrazu -12 𝒚 𝟐 + 4xy - 5y vytkni před závorku číslo (-1) (-1) . (12 𝑦 2 + 4xy + 5y) (-1) . (-12 𝑦 2 + 4xy - 5y) (-1) . (12 𝑦 2 - 4xy + 5y) (-1) . (-12 𝑦 2 - 4xy + 5y) 4) Rozlož na součin: x - 1 + 3 . ( 1 - x) (x - 2) . (1 - x) (x - 1) . (3 - x) (x - 1) . (-2) (x - 1) . 4 5) Na místo ? doplň člen tak, aby platila rovnost 4 𝒙 𝟐 - 8xy + 12x 𝒚 𝟐 = 4x . (? - 2y + 3 𝒚 𝟐 ) y2 x xy 4x2 6) Rozlož na součin pomocí vzorců: 36 + 24 y + 4y2 =  (6 + 2y).(6 + 2y)  (6 + y).(6 + y)  (6 - 2y).(6 - 2y)  (6 - 2y).(6 + 2y) 7) Rozlož na součin pomocí vzorců: 16 𝒃 𝟐 − 9 (4b + 3).(4b - 3) (b + 3).(b + 3) (4b - 3).(4b - 3) (8b - 3).(8b - 3) 8) Rozlož na součin pomocí vzorců: 16 𝒃 𝟐 − 24b + 9 Správné odpovědi: 1b 2d 3c 4c 5b 6a 7a 8c Test na známku

Elektronická učebnice - II Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 41.9 Použité zdroje, citace Matematika 1 pro 8. ročník základní školy, Odvárko O., Kadleček J., Prometheus, Praha, 1999 http://dum.rvp.cz/materialy/rozklad-mnohoclenu-na-soucin-vytykani.html http://dum.rvp.cz/materialy/rozkladove-vzorce.html http://www.realisticky.cz/ucebnice/01%20Matematika/01%20Z%C3%A1kladn%C3%AD%20poznatky/07%20Mnoho%C4%8Dleny/09%20Rozklad%20mnoho%C4%8Dlen%C5%AF%20na%20sou%C4%8Din%20II%20%28vzorce%29.pdf http://www.oskole.sk/index.php?id_cat=34&id_test=1259 http://www.jamesbrennan.org/algebra/polynomials/polynomials.htm

41.10 Anotace Autor Mgr. Marie Makovská Období 07 – 12/2011 Ročník Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 41.10 Anotace Autor Mgr. Marie Makovská Období 07 – 12/2011 Ročník 8. ročník Klíčová slova Mnohočlen, vytýkání, vzorce Anotace Prezentace popisující rozklad mnohočlenů pomocí vytýkání a vzorců