Automaty a gramatiky

Automaty Jak již název napovídá, teorie automatů se zabývá studiem automatů. Nejjednodušší automat si můžeme představit jako stroj, který má omezenou paměť. Automat funguje tak, že čte znaky ze vstupu a po přečtení každého znaku vyhodnotí situaci a na základě stavu, ve kterém se nachází jeho paměť a přečteného znaku přejde do nějakého stavu paměti.

Fungování automatu Automat má vždy výchozí stav, ve kterém se nachází na začátku, před přečtením prvního znaku zadání a jeden nebo více znaků koncových. Pokud se po přečtení posledního znaku zadání automat nachází v koncovém stavu, skončil výpočet úspěchem a automat akceptoval zadání. V opačném případě automat vstupní informaci neakceptoval.

Vstupní abeceda Aby bylo vůbec možné automat vytvořit, musí být dopředu známé, jaké znaky se mohou vyskytovat na vstupu. Množinu znaků, které lze pro zadání automatu použít, nazýváme vstupní abeceda.

Konečný automat Strojem – automatem nemusí být jen nějaká černá skříňka. Příkladem automatu je například i Rubikova kostka. Vstupní abecedu tvoří všechny možné tahy, které lze s Rubikovou kostkou provést. Stavy automatu jsou všechny pozice, které lze na Rubikově kostce získat. Jedna pozice tvoří výchozí stav. Koncové stavy tvoří složená kostka. Posloupnost tahů je automatem „Rubikova kostka“ akceptována, pokud po jejím provedení je Rubikova kostka složena.

Konečný automat Automat Rubikova kostka má ohromné (ale konečné) množství stavů, ve kterých se může nacházet. Podívejme se na automat, který bude mít pouze tři stavy (0,1,2). Vstupní abecedu budou tvořit všechny číslice. Výchozí stav bude stav 0. Automat po přečtení číslice přejde do stavu, který odpovídá zbytku po dělení třemi součtu stavu, ve kterém se automat nacházel a přečtené číslice.

Kolik znaků má vstupní abeceda? 10

Popis automatu tabulkou 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Popis grafem

Co automat dělá? Nyní se zamysleme nad tím, co vlastně uvedený automat dělá. Navržený automat čte čísla a v každém kroku se nachází ve stavu, který odpovídá zbytku přečteného čísla po dělení třemi. Pokud jako koncový stav zvolíme 0, tak číslo je automatem akceptováno právě tehdy, když je dělitelné třemi.

Co vrátí automat pro vaše rodné číslo? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Co vyšlo?

Rodné číslo 7301273254 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Redukovaný konečný automat   1 2 3 4 5 6 7 8 9

Dělitelnost kolika ověřoval? 5 00

Redukce automatu Tento automat je však zbytečně komplikovaný. O dělitelnosti pěti rozhoduje pouze poslední číslice. Nemusíme tedy používat pět stavů, ale stačí nám pouze dva:

Redukce automatu Postup, při kterém je konstruován ekvivalentní automat s nižším počtem stavů, se nazývá redukce. Automat, který má nejmenší možný počet stavů, se nazývá redukovaný. V redukovaném konečném automatu je možné dosáhnout všech stavů. Odstraněním stavů, kterých automat nemůže nikdy nabýt, dostáváme vždy ekvivalentní automat.

Kolik stavů musí mít redukovaný konečný automat ověřující dělitelnost 15? 6

Formální definice konečného automatu Formálně je konečný automat definován jako uspořádaná pětice , kde: S je konečná množina stavů (např. {Ano,Ne}) Σ je konečná množina vstupních symbolů, nazývaná abeceda (např. { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}). σ je tzv. přechodová funkce (též přechodová tabulka), popisující pravidla přechodů mezi stavy. Může má podobu S × Σ → S. s je počáteční stav, s je prvek S (V předchozím příkladu Ano). A je množina přijímajících stavů, A je podmnožina S (V předchozím příkladu Ano).

Sestrojte konečný automat ověřující dělitelnost 6   1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sestrojte konečný automat ověřující dělitelnost 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9