Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ IV/ LIMITA POSLOUPNOSTI MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová Zpracováno dne

Limita posloupnosti Limita posloupnosti 2 Znázorněte graficky dané posloupnosti a sledujte, co se děje s jejich členy:

Konvergentní posloupnost Limita posloupnosti 3 Znázorněte graficky dané posloupnosti a sledujte, co se děje s jejich členy: a 1 = 1212 a 2 = 2323 a 3 = 3434 a 4 = 4545 a 5 = 5656 n    a n  1 Posloupnost konverguje k 1.

Vlastní limita posloupnosti Limita posloupnosti 4 Znázorněte graficky dané posloupnosti a sledujte, co se děje s jejich členy: n anan a1a1 a2a2 a3a3 a4a4 a5a5 n    a n  1 Posloupnost má vlastní limitu a = 1.

Konvergentní posloupnost, limita posloupnosti Limita posloupnosti 5 Posloupnost je konvergentní, právě když ke každému kladnému číslu  existuje n 0  N tak, že pro všechna přirozená n  n 0 platí. Číslo a se nazývá limita posloupnosti.

Definice limity posloupnosti Limita posloupnosti 6 n anan a1a1 a2a2 a3a3 a4a4 a5a a = a +  a −   > 0 n 0 = 2

Definice limity posloupnosti Limita posloupnosti 7 n anan a1a1 a2a2 a3a3 a4a4 a5a a = a +  a −   > 0 n 0 = 2  ´<  n 0 = 3 a +  ´ a −  ´  R +  n 0  N ;  n  N, n  n 0 :.

Divergentní posloupnost Limita posloupnosti 8 Znázorněte graficky dané posloupnosti a sledujte, co se děje s jejich členy: b 1 = −1 b 2 = −2 b 3 = −3 b 4 = −4 b 5 = −5 n    b n  − 

Divergentní posloupnost Limita posloupnosti 9 Znázorněte graficky dané posloupnosti a sledujte, co se děje s jejich členy: c 1 = 1 c 2 = 2 c 3 = 3 c 4 = 4 c 5 = 5 n    c n  + 

Nevlastní limita Limita posloupnosti 10 n anan 1 c1c1 c2c2 c3c3 c4c4 c5c5 5 −1 −5 b1b1 b2b2 b3b3 b4b4 b5b5 Posloupnost má nevlastní limitu + . Posloupnost má nevlastní limitu − . Posloupnosti jsou divergentní.

Nevlastní limita Limita posloupnosti 11 n anan 1 c1c1 c2c2 c3c3 c4c4 c5c5 5 −1 −5 b1b1 b2b2 b3b3 b4b4 b5b5 Posloupnost má nevlastní limitu + . Posloupnost má nevlastní limitu − . Posloupnost má nevlastní limitu + , právě když ke každému K  R existuje n 0  N tak, že pro všechna přirozená n  n 0 je a n > K. Posloupnost má nevlastní limitu − , právě když ke každému L  R existuje n 0  N tak, že pro všechna přirozená n  n 0 je a n < L.

Divergentní posloupnost Limita posloupnosti 12 a 1 = − 1212 a 2 = 2323 a 4 = 4545 a 5 = − 5656 a 3 = − 3434 n    b n se neblíží k žádnému a  R, ani k  

Divergentní posloupnost Limita posloupnosti 13 n anan d2d2 d4d4 −1 d1d1 d3d3 d5d5 1 Posloupnost nemá vlastní ani nevlastní limitu. Posloupnost je oscilující.

Shrnutí Limita posloupnosti 14 Pro každou posloupnost nastane právě jeden z těchto případů: Posloupnost je konvergentní, její limitou je reálné číslo a. 1. Posloupnost je divergentní a má nevlastní limitu + . 2. Posloupnost je divergentní a má nevlastní limitu - . 3. Posloupnost je divergentní a nemá ani nevlastní limitu + , ani nevlastní limitu - . 4.

Shrnutí Limita posloupnosti 15 Pro každou posloupnost nastane právě jeden z těchto případů: lim a n = a 1. n  lim a n = +  2. n  lim a n = −  3. n  lim a n 4. n     a a

Použitá literatura Literatura JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Československá akademie věd, ISBN JARNÍK, Vojtěch. Integrální počet (2). 3. vyd. Praha: Československá akademie věd, ISBN KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN ODVÁRKO, Oldřich, Miloš BOŽEK a Marta RYŠÁNKOVÁ. Matematika: pro II. ročník gymnázií. 1. vyd. Praha: SPN, ISBN ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Funkce. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. 3. vyd. Prometheus, Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, ISBN VOCELKA, Jindřich. Maturujeme jinak. 1. vyd. Praha: Prometheus, ISBN X. Limita posloupnosti

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/ s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ SOUBOR PREZENTACÍ MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA