Derivace funkce. Velikost populace v čase t 0 je N (t 0 ). Velikost populace v čase t  t 0 je N ( t ). Přírůstek populace za jednotku času je [N(t) – N(t 0 )] / [t – t 0 ]. Blíží-li se t k t 0, pakje přírůstek funkce N v bodě t 0 a značí se a jedná se o (první) derivaci funkce f v bodě t 0. Poznámky.  Jestliže má funkce derivaci v bodě, která je konečná (vlastní), pak v tomto bodě a v okolí bodu je funkce definovaná.  Jestliže má funkce derivaci v bodě, která je konečná (vlastní), pak je v tomto bodě spojitá.  Obrácené tvrzení NEPLATÍ: existují funkce spojité, které nemají derivaci.  Protože je derivace funkce definovaná limitou, lze definovat derivace zleva a zprava pomocí jednostranných limit.  Derivace je opět funkce, o jejíž derivaci lze uvažovat. Tak se definuje 2. 3.,... derivace funkce v bodě.  Pokud derivace v bodě existuje, pak existuje právě 1. Derivace zleva se pak rovná derivaci zprava v tomto bodě.

Význam derivace funkce. Derivace v bodě má význam směrnice tečného vektoru ke křivce v bodě.

Další významy derivace. Derivace některých funkcí.

Operace s derivacemi. Nechť x  D(f)  D(g). Nechť existuje f / (x) a g / (x). Pak  (f ( x )  g ( x )) / = f ( x ) /  g ( x ) /  (f ( x ) g ( x )) / = f ( x ) / g ( x ) + f ( x ) g ( x ) /  Nechť g ( x )  0. Pak (f ( x ) / g ( x )) / = (f ( x ) / g ( x ) - f ( x ) g ( x ) / ) / (g ( x ) 2 ) Derivace složené funkce. Nechť f má vlastní (konečnou) derivaci v bodě x. Nechť g má vlastní derivaci v bodě y = f ( x ). Pak g ( f ( x ) ) / = g / ( y ) f / ( x ) Derivace inverzní funkce. Nechť f je spojitá a prostá na intervalu I  D ( f ). Označím g = f -1. Nechť f ( x ) = y. Jestliže f / ( x )  0, pak g / ( y ) = 1 / f / ( x ).

Příklady. Derivujte funkce. Derivace součtu je rovna součtu derivací. Proto: Jedná se o složenou funkci, D( f ) = R

Částice se pohybuje v čase t podle rovnice y = 3 + cos 2t. Určete okamžitou rychlost a zrychlení částice. Nechť f ( x ) = | x |. Určete f / ( 0 ). Derivace v bodě 0 neexistuje. Nechť f ( x ) = 1 / x. Určete f / ( 0 ). Derivace neexistuje, protože zde není funkce definována. Lze však vypočítat limitu derivace v tomto bodě. Derivace v nekonečnech se definuje limitou derivací:

Nechť f ( x ) = 1 / x 2. Určete f / ( 0 ). Funkce není v bodě definována. Předpokládejme, že velikost populace v čase t je dána vztahem. Dokažte, že platí Předpokládejme, že velikost populace v čase t je dána vztahem, kde N(0) je velikost populace v čase t = 0. Dokažte, že platí

Úlohy k procvičení. Zderivujte. Nechť křivka logistického růstu populace je kde K, r jsou kladné konstanty a N(0) je velikost populace v čase 0. Dokažte, že platí Určete derivaci funkce v bodě x 0