Fractal geometry

Lewis Richardson, Seacoast line length

East seacoast 10 km 11 x 1km

East seacoast Seacoast line length k.n(k) lim k→0 k.n(k) = D

Weat seacoast

West seacoast lim k→0 k.n(k) =∞

Self-similarity

Koch snowflake Niels Fabian Helge von Koch ( – Stockholm)

Length of Koch snowflake 3 4/3 * 3 = 4 4/3*4/3*3 = 5,33 (4/3) 3 *3=7,11 (4/3) n *3 →∞

Sierpinski carpet

Area of Sierpinski carpet Hole area 1/9 8/9 * 1/9 (8/9) 2 * 1/9 (8/9) n * 1/9 Suma 1/9 * ∑(8/9) i = 1 Area of the carpet = 1 – hole area = 0

Menger sponge

Natural fractals

Natural self-similarity

Mathematical definition Fractal is a shape with Hausdorf dimension different of geometrical dimension

Non-fractal shapes Refining the gauge s-times The number of segments increase s D – times D is geometrical dimension

Dimension of Koch snowflake Koch curve –3 x refining => 4 x length –s = 3 => N = 4 –D = logN/logs = log4/log3 =

Other Hausdorf dimensions Sierpinski carpet 1,58 Menger sponge 2,72 Pean curve 2 Sea coastline 1,02 – 1,25

Polynomical fractals Polynomical recursive formula –K n+1 = f(k n ) The sequence depending on the origin k 0 –Coverges –Diverges –Oscillates

Mandelbrot set

Part of complex plane z 0 = 0, z n+1 = z n 2 + c If for given c the sequence –Converges  c is in Mandelbrot set –Diverges  c is not in Mandelbrot set –Oscillates  c is in Mandelbrot set

Examples CZ0Z0 Z1Z1 Z2Z2 Z3Z3 Z4Z i0,0 Conv In M.S. 1+0i0,01,02,05,026,0Div. Not in M.S. -1+0i0,0-1,00,0-1,00,0Osc. In M.S. -2+0i0,0-2,0 Conv. In M.S. -2, i 0,0……Div. Not in M.S.

Mandelbrot set

Juliovy množiny

Juliova množina pro dané komplexní číslo c Pro každý bod komplexní roviny z počítám z 0 = z Z n+1 = z n 2 + c (stejný vzorec jako u Mandelbrotovy množiny) Pokud posloupnost z n nejde do nekonečna, je bod z prvkem Juliovy množiny pro číslo c, Tuto množinu značíme J c

Pozorování Juliova množina J c vypadá v okolí bodu 0 podobně jako Mandelbrotova množina v okolí bodu c Pro body c uvnitř Mandelbrotovy množiny je (0,0) prvkem Juliovy množiny J c a Juliova množina J c souvislá Pro body c vně Mandelbrotovy množiny je Juliova množina J c nesouvislá, popřípadě prázdná.

Pozorování Pro body c „hodně uvnitř“ Mandelbrotovy množiny je Juliova množina J c nezajímavý souvislý útvar.

Pozorování Pro body c „hodně vně“ Mandelbrotovy množiny tvoří Juliovu množinu J c několik izolovaných bodů

Pozorování „Nejzajímavější“ Juliovy množiny vzniknou z bodů, které leží poblíž hranice Mandelbrotovy množiny, ať již zevnitř

Nebo zvenku